河南省洛陽(yáng)市2023屆高三第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)試題

洛陽(yáng)市2023-2023學(xué)年高三年級(jí)第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A．B．C．D．2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且（其中），則（）A．B．C．2D．3.函數(shù)的圖像大致為（）4.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則滿足的概率是（）A．B．C.D．5.4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有（）A．24種B．36種C.48種D．60種6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．B．C.D．7.已知雙曲線，過左焦點(diǎn)的直線切圓于點(diǎn)，交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C.D．8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個(gè)近似公式，人們還用過一些類似的近似公式，根據(jù)，判斷下列近似公式中最精確的一個(gè)是（）A．B．C.D．9.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的取值范圍為（）A．B．C.D．10.設(shè)是半徑為2的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C.D．11.已知函數(shù)對(duì)任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A．B．C.D．12.已知球是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，則．14.數(shù)列首項(xiàng)，且，令，則的前2023項(xiàng)的和．15.的展開式中含有的項(xiàng)的系數(shù)為．16.若函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.如圖，是直角斜邊上一點(diǎn)，.（1）若，求角的大?。唬?）若，且，求的長(zhǎng).18.如圖，已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，底面，，且.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.19.已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)是，且.（1）求橢圓的方程；（2）直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值.20.為了引導(dǎo)居民合理用電，國(guó)家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià)，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.某市隨機(jī)抽取10戶同一個(gè)月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：（1）若規(guī)定第一階梯電價(jià)每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯每度0.8元，試計(jì)算居民用電戶用電410度時(shí)應(yīng)交電費(fèi)多少元？（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；（3）以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值.21.已知函數(shù).（1）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線，的公共點(diǎn)為.（1）求直線的斜率；（2）若點(diǎn)分別為曲線，上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求四邊形的面積.23.選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求的取值范圍.試卷答案一、選擇題1-5:BABDD6-10:ACDAA11、12：DB二、填空題13.14.15.-2116.三、解答題17.（1）在中，根據(jù)正弦定理，有，∵，∴，又，∴，于是，∴.（2）設(shè)，則，，，于是，，，在中，由余弦定理，得，即，，故.18.證明：（1）連接，交于點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴且，∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊行，∴，即，∵平面，平面，∴∵是菱形，∴，∵，∴平面，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵直線與平面所成角為，∴，∴，∴，故為等邊三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，∴設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，∴設(shè)二面角的大小為，由于為鈍角，∴即二面角的余弦值為.19.（1）設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，則點(diǎn).∵∴又解得∴橢圓方程為（2）由（1）知，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為，又（為三角形內(nèi)切圓半徑），∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積最大.設(shè)直線的方程為：，，則消去得，∴∴令，則，∴令，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，的面積最大值為3，結(jié)合，得的最大值為，∴內(nèi)切圓面積的最大值為.20.（1）元（2）設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,1,2,3故的分布列為∴（3）可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知（）解得：，∴當(dāng)時(shí)概率最大，∴.21.（1）法一：若時(shí)，則，令，在上單調(diào)遞增，則則在上單調(diào)遞增，①當(dāng)，即時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)，滿足題意②若，由在上單調(diào)遞增，由于，，故，使得，則當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，不恒成立，舍去，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.法二：若時(shí)，，①，令，則，在上單調(diào)遞增，則，故∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴成立.②若，由∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，，故，使得，則當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，不恒成立，舍去，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，即∴∴，即.22.（1）消去參數(shù)得曲線的普通方程（?。⑶€化為直角坐標(biāo)方程得：（ⅱ）由（ⅰ）-（ⅱ）化簡(jiǎn)得：，即為直線的方程，故直線的斜率為2.（2）由，知直線是以為圓心，半徑為1的圓，由，知曲線是以為圓心，半徑為2的圓，∵∴當(dāng)取