多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用

多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第一頁，共三十五頁，2022年，8月28日引言在一元函數(shù)積分學(xué)中,我們知道定積分是某種確定形式的和的極限.極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線及曲面上多元函數(shù)的情形，便得到重積分、曲線積分及曲面積分的概念.這種和的將函數(shù)在這些區(qū)域、曲線及曲面上的積分統(tǒng)稱為函數(shù)在幾何形體上的積分.第二頁，共三十五頁，2022年，8月28日第一節(jié)多元函數(shù)積分的概念與性質(zhì)1.物體質(zhì)量的計算設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布的物體，其密度是點M的函數(shù)如果函數(shù)f已知，怎樣求物體的質(zhì)量呢？第三頁，共三十五頁，2022年，8月28日在定積分中，一根線密度為的細(xì)直棒AB，它的質(zhì)量可通過分割、近似、求和、取極限四個步驟化為定積分第四頁，共三十五頁，2022年，8月28日平面薄板的質(zhì)量設(shè)它所占的平面區(qū)域為D，其密度為在D上連續(xù)，類似于對直棒的處理------“化整為零”可按如下步驟計算它的質(zhì)量.第五頁，共三十五頁，2022年，8月28日【分割】【近似】把D任意劃分為n個子域示面積）【求和】【取極限】（也表第六頁，共三十五頁，2022年，8月28日薄板的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量均可由相同形式的和式極限來確定.一般地，設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布在某一幾何形體G上的物體(G可以是直線段、平面或空間區(qū)域、一片曲面或一段曲線),其質(zhì)量可以按照以上四個步驟來計算：第七頁，共三十五頁，2022年，8月28日把G任意劃分為n個子域示度量）（也表【分割】【近似】【求和】【取極限】上質(zhì)量分布近似看作均勻第八頁，共三十五頁，2022年，8月28日2.多元函數(shù)積分的概念定義設(shè)G表示一個有界的可度量幾何形體，第九頁，共三十五頁，2022年，8月28日第十頁，共三十五頁，2022年，8月28日被積函數(shù)元素積分域被積式或積分微元積分號積分和第十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日當(dāng)G為不同的幾何形體時，對應(yīng)的積分有不同的名稱和表達(dá)式：（1）當(dāng)G是x軸上的閉區(qū)間[a,b],稱為定積分第十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日（2）當(dāng)G為平面有界閉區(qū)域（常記為D）時，（3）當(dāng)G為空間有界閉區(qū)域（常記為）時，稱為二重積分稱為三重積分第十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日（4）當(dāng)G為平面有限曲線段（常記為L）或空間有限曲線段（常記為）時，稱為對弧長的曲線積分稱為積分路徑，ds稱為弧長元素.第十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日（5）當(dāng)G為空間有限曲面片（常記為∑）時，稱為對面積的曲面積分稱為積分曲面，dS稱為曲面面積元素.第十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日例1討論二重積分的幾何意義.解D任意劃分為n個子域曲頂柱體第十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日小平頂柱體體積高×底面積小柱體體積無限累加得到以曲面為頂，區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積V.第十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日二重積分的幾何意義二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值.當(dāng)被積函數(shù)當(dāng)被積函數(shù)其投影D為底曲頂柱體的體積.二重積分是曲面第十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日3.多元函數(shù)積分的性質(zhì)多元積分的存在性與定積分類似：第十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)1（線性性質(zhì)）第二十頁，共三十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)2（區(qū)域可加性）定積分二重積分第二十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)3對于二重積分來說（積分區(qū)間的長度）定積分第二十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)4（比較性）二重積分：定積分第二十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)5(估值性）定積分二重積分：第二十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)6（積分中值定理）二重積分：定積分第二十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日例2估計積分的值,其中D是矩形域解在區(qū)域D上,由于有(確定被積函數(shù)在D上的最大值和最小值)所以又積分區(qū)域D的面積是由估值性質(zhì)(5)，第二十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日

多元函數(shù)積分可看作定積分推廣為多元函數(shù)在不同幾何形體上的積分.n重積分

(多元函數(shù)在n維空間中的

有界閉區(qū)域上的積分)曲面積分（多元函數(shù)在有限曲面片上的積分）曲線積分（多元函數(shù)在有限曲線段上的積分）小結(jié)第二十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日1.多元函數(shù)積分的定義定積分重積分第二十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日對弧長的曲線積分：對面積的曲面積分：第二十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日幾種幾何形體上的積分：D閉區(qū)間[a,b]L(平面有界閉區(qū)域)（平面有限曲線段）（有限曲面片）(空間有界閉區(qū)域)(空間有限曲線段)二重積分三重積分對弧長的曲線積分對面積的曲面積分第三十頁，共三十五頁，2022年，8月28日二、多元函數(shù)積分的性質(zhì)線性性、可加性、比較性、估值性、積分中值定理.第三十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日若一個非均勻物體，其形狀如上述幾何形體G，其密度為G上的函數(shù)，則在G的元素dg上，其質(zhì)量應(yīng)是于是該物體的總質(zhì)量為第三十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日二重積分的幾何意義：第三十三頁，共三十五頁，2022年，8月2