多元時(shí)間序列分析

多元時(shí)間序列分析第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系2§10.1多元平穩(wěn)時(shí)間序列建模1976年，Box和Jenkins采用帶輸入變量的ARIMA模型為平穩(wěn)多元序列建模。構(gòu)造思想：假設(shè)輸出變量序列（因變量序列）{}和輸入變量序列（自變量序列）{}，{}，…，{}均平穩(wěn)，首先構(gòu)建輸出序列和輸入序列的回歸模型，如果有必要，使用ARMA模型繼續(xù)提取殘差序列{}中的相關(guān)信息。模型形為

第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系3例10.1

在天然氣爐中，輸入的是天然氣，輸出的是CO2，CO2的輸出濃度與天然氣的輸入速率有關(guān)?，F(xiàn)在以中心化后的天然氣輸入速率為輸入序列，建立CO2的輸出百分濃度模型。時(shí)序圖及樣本自相關(guān)圖直觀顯示輸入序列和輸出序列均平穩(wěn)第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系4第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系5不考慮輸入序列和輸出序列之間的關(guān)系，將它們分別作為一元時(shí)間序列進(jìn)行分析天然氣輸入速率序列模型為：CO2的輸出濃度序列為AR(1，2，4)疏系數(shù)模型：

第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系6考慮到輸出CO2濃度和輸入天然氣速率之間的密切關(guān)系，將輸入天然氣速率作為自變量考慮進(jìn)輸出序列的模型中，進(jìn)一步研究二者之間的關(guān)系。滯后k期協(xié)方差函數(shù)定義為滯后k期協(xié)相關(guān)系數(shù)為

第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系7輸入序列和輸出序列的協(xié)相關(guān)圖第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系8從協(xié)相關(guān)圖可以看出，輸出序列和輸入序列的滯后項(xiàng)有顯著的相關(guān)關(guān)系，且滯后階數(shù)比較多，考慮采用ARMA模型結(jié)構(gòu)，以減少待估參數(shù)的個(gè)數(shù)。通過反復(fù)嘗試，得出以下回歸模型第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系9再考慮回歸殘差序列{}的性質(zhì)，從殘差序列的時(shí)序圖和相關(guān)圖可以看出，殘差平穩(wěn)且不存在序列相關(guān)性，說明擬合模型有效。第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系10模型擬合效果圖

返回第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系11§10.2虛假回歸當(dāng)因變量序列{}和輸入變量序列（即自變量序列）{}，{}，…，{}都平穩(wěn)時(shí)，可以依據(jù)Box和Jenkins的理論和方法構(gòu)建以輸入變量為自變量的ARIMAX回歸模型來擬合相應(yīng)序列的變化。當(dāng)平穩(wěn)性條件不滿足時(shí)，我們就不能大膽地構(gòu)造ARIMAX模型，因?yàn)檫@時(shí)容易產(chǎn)生虛假回歸的問題。

返回第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系12§10.3單位根檢驗(yàn)DF檢驗(yàn)

ADF檢驗(yàn)

PP檢驗(yàn)

第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系13DF統(tǒng)計(jì)量

考慮1階自回歸序列：?jiǎn)挝桓鶛z驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：t統(tǒng)計(jì)量DF（Dickey-Fuller）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，其極限分布為：第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系14維納過程具有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系15DF檢驗(yàn)的等價(jià)表達(dá)

DF檢驗(yàn)可以通過對(duì)參數(shù)的檢驗(yàn)等價(jià)進(jìn)行：相應(yīng)的DF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中，為參數(shù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系16DF檢驗(yàn)方法的三種適用類型

第一種類型如式第二種類型如式第三種類型如式第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系17例10.2對(duì)某國(guó)1960年到1993年GNP平減指數(shù)的季度時(shí)間序列進(jìn)行DF單位根檢驗(yàn)。

1.直觀判斷：GNP平減指數(shù)的季度時(shí)間序列繪制時(shí)序圖，時(shí)序圖顯示序列顯著非平穩(wěn)。第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系182.對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行DF檢驗(yàn)第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系19ADF檢驗(yàn)

DF檢驗(yàn)只適用于1階自回歸過程的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，但是實(shí)際上絕大多數(shù)時(shí)間序列不會(huì)是一個(gè)簡(jiǎn)單的AR(1)過程。為了使DF檢驗(yàn)?zāi)苓m用于AR(p)過程的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了一定的修正，得到增廣DF檢驗(yàn)（AugmentedDickey-Fuller），簡(jiǎn)記為ADF檢驗(yàn)。第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系20ADF檢驗(yàn)的原理

對(duì)任意一個(gè)AR(p)過程AR(p)過程單位根檢驗(yàn)的假設(shè)：構(gòu)造ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：其中，為參數(shù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系21ADF檢驗(yàn)的三種適用類型

第一種類型第二種類型第三種類型第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系22例10.2續(xù)

對(duì)某國(guó)1960年到1993年GNP平減指數(shù)的季度時(shí)間序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果入下：第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系23PP檢驗(yàn)

針對(duì)序列可能存在高階相關(guān)的情況和可能的異方差情形，Phillips和Perron于1988年對(duì)ADF檢驗(yàn)進(jìn)行了非參數(shù)修正，提出了Phillips-Perron檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。PP檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量既可適用于異方差場(chǎng)合的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，又服從相應(yīng)的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布。第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系24例10.2續(xù)

對(duì)某國(guó)1960年到1993年GNP平減指數(shù)的季度時(shí)間序列進(jìn)行PP檢驗(yàn)，結(jié)果如下：

返回第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系25§10.4協(xié)整單整與協(xié)整

協(xié)整檢驗(yàn)

第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系26單整（integration）的概念

在單位根檢驗(yàn)的過程中，如果檢驗(yàn)結(jié)果顯著拒絕原假設(shè)，即說明序列顯著平穩(wěn)，不存在單位根，這時(shí)稱序列為零階單整序列，簡(jiǎn)記為。如果原序列1階差分后平穩(wěn)，說明原序列存在一個(gè)單位根，這時(shí)稱原序列為1階單整序列，簡(jiǎn)記為如果原序列至少需要進(jìn)行d階差分才能實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)，說明原序列存在d個(gè)單位根，這時(shí)稱原序列為d階單整序列，簡(jiǎn)記。第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系27單整序列的性質(zhì)

1．若，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a與b，有2．若，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a與b，有

3．若，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)

a與b，有4.若，，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)

a與b，有式中，第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系28協(xié)整（cointegration）的概念

協(xié)整理論是EngleandGranger在1987年首先提出來的。設(shè)隨機(jī)向量中所含分量均為d階單整，記為。如果存在一個(gè)非零向量，使得隨機(jī)向量，，則稱隨機(jī)向量具有d,b階協(xié)整關(guān)系，記為向量被稱為協(xié)整向量。第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系29協(xié)整檢驗(yàn)

Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗(yàn)法

Johansen協(xié)整檢驗(yàn)法

第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系30Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗(yàn)法

1．用ADF檢驗(yàn)各變量的單整階數(shù)。協(xié)整回歸要求所有的變量都是一階單整的，因此，高階單整變量需要進(jìn)行差分，以獲得序列。2．用OLS法估計(jì)長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)回歸方程，然后用AD檢驗(yàn)殘差估計(jì)值的平穩(wěn)性。第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系31Johansen協(xié)整檢驗(yàn)法

Johansen和Juselius提出的一種在VAR（向量自回歸）系統(tǒng)下用極大似然估計(jì)來檢驗(yàn)多變量之間協(xié)整關(guān)系的方法，通常稱為Johansen協(xié)整檢驗(yàn)。設(shè)一個(gè)VAR模型如下

第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系32向量誤差修正模型(VECM)協(xié)整關(guān)系的個(gè)數(shù)可通過下面兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量來計(jì)算：第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系33跡檢驗(yàn)：即至多有r個(gè)協(xié)整關(guān)系即有m個(gè)協(xié)整關(guān)系（滿秩）最大特征根檢驗(yàn)：第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系34例10.2續(xù)

我們以人均生活費(fèi)支出對(duì)數(shù)序列和可支配收入對(duì)數(shù)序列{}為例來說明如何進(jìn)行EG檢驗(yàn)。時(shí)序圖第三十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系35第一步：用ADF檢驗(yàn)分別對(duì)序列和進(jìn)行單整檢驗(yàn)第二步：用變量對(duì)進(jìn)行普通最小二乘回歸，得回歸模型如下：殘差序列時(shí)序圖

返回第三十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系36§10.5誤差修正模型誤差修正模型(ErrorCorrectionModel)簡(jiǎn)稱為ECM，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，也稱為DHSY模型。它常常作為協(xié)整回歸模型的補(bǔ)充模型出現(xiàn)。E-G兩步法建立誤差修正模型第一步，