多元函數(shù)的基本概念

多元函數(shù)的基本概念第一頁，共五十六頁，2022年，8月28日

第九章第一節(jié)一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念第二頁，共五十六頁，2022年，8月28日平面點集的有關概念二維空間：二元有序?qū)崝?shù)組(x,y)的全體,即：記作：注二維空間的幾何意義—坐標平面二維空間的元素—坐標平面內(nèi)的點平面點集：二維空間的任一子集,記作：平面點集E通常是坐標平面上具有某種性質(zhì)的點的集合,記作：E={(x,y)|(x,y)具有性質(zhì)P}(1)(2)注或(一)平面點集第三頁，共五十六頁，2022年，8月28日例第一象限內(nèi)的點n維空間中的點集：記作：(1)y軸上的點(2)(3)單位圓內(nèi)的點n維空間：n元有序?qū)崝?shù)組的全體構(gòu)成的集合,即：n維空間中的元素：或中的一個點或一個n維向量中的任一子集第四頁，共五十六頁，2022年，8月28日1.鄰域點P0

的去心鄰域記為注設的距離小于的點P(x,y)的全體,稱為點P0

的鄰域.是xoy平面上的一個點,是某一正數(shù).與點記作即：也就是：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,鄰域也可寫成若在空間中,(球鄰域)(圓鄰域)第五頁，共五十六頁，2022年，8月28日在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.第六頁，共五十六頁，2022年，8月28日2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設有點集

E

及一點

P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點;則稱P為E的邊界點.的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.E的邊界點的全體稱為E的邊界，記為第七頁，共五十六頁，2022年，8月28日(2)

聚點、孤立點若對任意給定的

,點P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為孤立點：E

的邊界點)內(nèi)點一定是聚點；說明：設點P∈E如果存在點P

的去心鄰域第八頁，共五十六頁，2022年，8月28日點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點但不屬于集合．邊界上的點都是聚點也都屬于集合．

再如：設平面點集滿足一切點(x,y)都是E的內(nèi)點；滿足的一切點(x,y)都是E的邊界點，它們都不屬于E；滿足的一切點(x,y)也是E的邊界點，它們都屬于E；點集E以及它的邊界上的一切點都是E的聚點.第九頁，共五十六頁，2022年，8月28日D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;。。

整個平面

是最大的開域,也是最大的閉域；第十頁，共五十六頁，2022年，8月28日例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域點集是開集，但非區(qū)域.o第十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日有界集：對于平面點集E，如果存在某一正數(shù)r，使得，其中O是坐標原點，則稱E為有界集.無界集：一個集合若非有界集，就稱為無界集.例如，集合是有界閉區(qū)域;集合是無界開區(qū)域；集合是無界閉區(qū)域.

包括部分邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為半開區(qū)域.如果區(qū)域延伸到無窮遠處，稱為無界區(qū)域，否則稱為有界區(qū)域.第十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標.記作即一個點,當所有坐標稱該元素為中的零元,記作O.第十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日

設x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)為Rn中任意兩個元素，規(guī)定n維空間中的線性運算的距離記作規(guī)定為與零元O

的距離為第十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日設如果則稱變元經(jīng)x在中趨于固定元a

，記作

在n維空間中定義了距離以后，就可以定義中變元的極限：中點

a

的

鄰域為內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義．第十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式第十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日

f

稱為對應規(guī)則或函數(shù)，f(x,y)稱為f在點(x,y)處的函數(shù)值。函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f

的值域，記作函數(shù)與選用的記號無關，如則稱f

是D

上的二元函數(shù),記為

1、二元函數(shù)的定義第十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日

把定義1中的平面點集D換成n維空間內(nèi)的點集D，映射就稱為定義在D上的n元函數(shù)，通常記為變元的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域.也可記為或簡記為第十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日例1

求的定義域．解所求定義域為第十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日2、二元函數(shù)的幾何意義：

設二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域為xoy面上的某一區(qū)域D，對于D上的每一點P(x,y)，在空間可以作出一點M(x,y,f(x,y))與它對應；當點P(x,y)在D中變動時，點M(x,y,f(x,y))就在空間作相應地變動，它的軌跡是一個曲面.第二十頁，共五十六頁，2022年，8月28日例如,

二元函數(shù)定義域為圓域圖形為中心在原點的上半球面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球第二十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日一元函數(shù)極限回顧：二元函數(shù)的極限：如果在的過程中

f(x,y)無限接近一個確定常數(shù)

A

，就稱

A

是f(x,y)

當時的極限，記為三、多元函數(shù)的極限第二十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日定義2

設函數(shù)的定義域為D,P0是D的聚點則稱A

為函數(shù)若存在常數(shù)A,當記作對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),也即都有或第二十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日說明：（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．（1）定義中的方式比的方式復雜的多不同于二次極限第二十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日說明：(4)不研究函數(shù)在P0(x0

,y0)處的狀態(tài)，僅研究點

(方式任意)的過程中，函數(shù)f(x,y)的變化趨勢.所以，定義規(guī)定函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0

,y0)的某個鄰域內(nèi)有定義，不要求函數(shù)在點P0(x0

,y0)有定義.(5)極限值A應是一個確定的常數(shù)，它與P(x,y)趨近P0(x0,y0)的方式無關.也就是說：P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時，函數(shù)都無限接近于A.第二十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日相同點多元函數(shù)和一元函數(shù)極限的概念的相同點和差異一元函數(shù)在某點的極限存在的充要?定義相同.不同點必需是點P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨而多元函數(shù)于P0時,條件是左右極限都存在且相等;都有極限,且相等.第二十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日例2.

設求證：證:故總有要證第二十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日例3.

設求證：證：故總有要證第二十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日例4.求極限

解其中第二十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日例5.

考察函數(shù)這也是一種特殊方式(2)當點P(x,y)沿y軸趨于點(0,0)時,解：(1)當點P(x,y)沿x軸趨于點(0,0)時,這是一種特殊的趨近方式在(0,0)處的極限.第三十頁，共五十六頁，2022年，8月28日(3)當點P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0)時例5.

考察函數(shù)在(0,0)處的極限.

若當點趨于不同值或有的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限以不同方式趨于不存在.函數(shù)第三十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.注.二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例5知它在(0,0)點二重極限不存在.第三十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日(2)再來分析當點(x,y)沿過原點的直線

因此

不存在.趨向于有時,由此看出:累次極限與二重極限有本質(zhì)區(qū)別再如解（1）對任意的研究

有有同理:第三十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日證（2）取此時，仍不能確定極限是否存在．（1）P(x,y)沿

x

軸趨于(0,0)，此時y=0,x0例6.

證明不存在．

第三十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日證（3）取極限值隨k的不同而變化，故極限不存在．例6.

證明不存在．

第三十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日確定極限不存在的常用方法：第三十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日求二元函數(shù)極限（重極限）常用的方法：（1）用定義驗證其存在或不存在；（2）利用適當放縮或變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；（3）消去分子分母中極限為0的因子；（4）利用極限運算性質(zhì)或法則，例如夾逼準則（與一元函數(shù)相似）；（5）利用函數(shù)的連續(xù)性第三十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：例7：求極限第三十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日例8.

求:第三十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：例9：求極限第四十頁，共五十六頁，2022年，8月28日四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點

.則稱n

元函數(shù)連續(xù).連續(xù),第四十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日二元函數(shù)的連續(xù)性定義4.

設二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域為D，為D的聚點，且.如果則稱函數(shù)f(x,y)在點P0(x0

,y0)處連續(xù)，否則稱為間斷.

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D上每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在定義域D上連續(xù)，或者稱f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù).第四十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

二元函數(shù)在點P0(x0

,y0)處的連續(xù)，要求有以下三個條件成立，即：(1)函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0

,y0)的某個鄰域內(nèi)有定義，且在點P0(x0

,y0)處也有定義.(2)函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)有極限.(3)函數(shù)z=f(x,y)

在點P0(x0

,y0)處的極限值等于該點函數(shù)值，即：第四十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點.在聚點圓周其定義域為其定義域為整個平面，(0,0)為其聚點,第四十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日的不連續(xù)點,若在D內(nèi)某些個別點,沒有定義,或沿D內(nèi)某些曲線,但在D內(nèi)其余部分,都有定義,則在這些點或這些曲線上,即間斷點.函數(shù)都是函數(shù)

二元連續(xù)函數(shù)的圖形是一片無裂縫無點洞的曲面結(jié)論：

如果函數(shù)f(P)在D的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)f(P)在D上連續(xù)，或者稱f(P)是D上的連續(xù)函數(shù)。第四十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量表達的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算所構(gòu)成的可用一個式子表示的多元函數(shù)。（3）一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．關于多元函數(shù)連續(xù)性的說明一切一元基本初等函數(shù)，作為一個二元或二元以上的多元函數(shù)時，在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。（4）利用多元函數(shù)的連續(xù)性可計算在連續(xù)點處的極限。（1）（2）第四十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日

例10.證明在全平面連