河南省鄭州市2023屆高三第三次質(zhì)量預(yù)測-數(shù)學(xué)理

2023年高中畢業(yè)年級第三次質(zhì)量預(yù)測理科數(shù)學(xué)試題卷第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，2.已知復(fù)數(shù)，，若復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.6 C. D.3.已知雙曲線，焦點(diǎn)在軸上，若焦距為，則等于（）A. B. C.7 D.4.已知，則的值等于（）A. B. C. D.5.設(shè)集合，，，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（）A.60 B.65 C.80 D.816.如圖是某個幾何體的三視圖，則這個幾何體體積是（）A. B.C. D.7.設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A.25 B.49 C.12 D.248.已知等比數(shù)列，且，則的值為（）A. B. C. D.9.若實(shí)數(shù)、、，且，則的最小值為（）A. B. C. D.10.橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)，，當(dāng)?shù)闹荛L最大時，的面積是（）A. B. C. D.11.四面體中，，，，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù)滿足，，則時，的最小值為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.中國有個名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如下表：表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是：，則5288用算籌式可表示為．14.若數(shù)列的前項和為，且，則的通項公式是．15.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)向雙曲線的一條漸進(jìn)線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的離心率．16.在中，，為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，為劣弧上一動點(diǎn)，且，則的取值范圍為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在中，角、、所對的邊分別是、、，已知，且.（1）當(dāng)，時，求、的值；（2）若角為銳角，求的取值范圍.18.為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)）、推理（能力指標(biāo)）、建模（能力指標(biāo)）的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標(biāo)的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：學(xué)生編號（1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率；（2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級不是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，記隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.19.如圖，在四邊形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.20.已知圓與直線相切，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，軸于點(diǎn)，且動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求動點(diǎn)的軌跡曲線的方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、且滿足以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段長度的取值范圍.21.已知函數(shù)，.（1）函數(shù)，，求函數(shù)的最小值；（2）對任意，都有成立，求的范圍.22.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，），曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)變化時，求的最小值.23.已知函數(shù).（1）若，使得成立，求的范圍；（2）求不等式的解集.2023年高中畢業(yè)年級第三次質(zhì)量預(yù)測數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題BDDBBAADDCCD二、填空題13.14.15.16.三、解答題17．解：由題意得,.(I)當(dāng)時，,解得(II)∴,又由可得所以.18.解：（I）由題可知：建模能力一級的學(xué)生是；建模能力二級的學(xué)生是；建模能力三級的學(xué)生是.記“所取的兩人的建模能力指標(biāo)相同”為事件，則（II）由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級：，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級的：；的可能取值為1,2,3,4,5.∴隨機(jī)變量的分布列為12345∴.19.解：(I)在梯形中，∵，設(shè)，又∵,∴，∴∴∴.∵，，∴，而，∴∵∴.(II)由(I)可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，令(),則(0，0，0)，(，0，0)，(0，1，0)，(，0，1)，∴=(-，1，0)，=(，-1，1)，設(shè)為平面的一個法向量，由得取,則=(1,,),∵=(1,0,0)是平面的一個法向量,∴∵,∴當(dāng)時，有最小值，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值為.20.解：（I）設(shè)動點(diǎn)，由于軸于點(diǎn)又圓與直線即相切，∴圓

由題意，，得即將代入，得曲線的方程為（II）（1）假設(shè)直線的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)聯(lián)立，可得由求根公式得（）

∵以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，即即化簡可得，將（）代入可得，即即，又將代入，可得∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．又由，，．（2）若直線的斜率不存在，因以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，故可設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立解得同理求得故．綜上，得．21.解:（I）.，令得.當(dāng)即時，在上，遞增，的最小值為.當(dāng)即時，在上，為減函數(shù)，在在上，為增函數(shù).∴的最小值為.當(dāng)即時，在上，遞減，的最小值為.綜上所述，當(dāng)時的最小值為，當(dāng)時的最小值為,當(dāng)時，最小值為.（II）設(shè)，.①當(dāng)時，在上，在遞增，的最小值為，不可能有.②當(dāng)時,令，解得：，此時∴.∴在上遞減.∵的最大值為，∴遞減.∴的最大值為，即成立.當(dāng)時，此時當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減.∴，又由于,∴在上，遞增，又∵,所以在上，顯然不合題意.綜上所述：.22.解