2023屆高考數(shù)學專項練習導數(shù)解密36專題y專題25 極值點偏移之積(x1x2)型不等式的證明含答案_第1頁
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文檔簡介

當x∈(－∞，0)時，h′(x)<0，h(x)單調遞減，當x∈(0，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)單調遞增，所以h(x)min＝h(0)＝a＋1，所以a＋1<0，所以a<－1，當x→－∞時，h(x)→＋∞；當x→＋∞時，h(x)→＋∞所以a<－1時，函數(shù)y＝f′(x)的圖象與直線y＝x有且只有兩個交點．(2)g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x2＋1＝ex－eq\f(1,2)x2－ax，g′(x)＝ex－x－a，因為函數(shù)g(x)有兩個極值點x1，x2，方程g′(x)＝0有兩個不同的實數(shù)解x1，x2，由(1)知，h(x)＝ex－x＋a，h(x1)＝h(x2)＝0，且x1<0<x2，所以g(x)在區(qū)間(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增，在區(qū)間(x1，x2)上單調遞減，且得a＝－x2，所以h(－x2)＝＋x2－a＝－＋2x2．設k(x)＝－＋2x(x>0)，則k′(x)＝－－＋2<0，所以k(x)在(0，＋∞)上單調遞減，所以k(x)<k(0)＝0，h(x2)＝h(－x2)<0，所以x1<－x2<0．又因為g(x)在(x1，0)單調遞減，所以g(x1)>g(－x2)，要證g(x1)＋g(x2)>2，只須證g(－x2)＋g(x2)>2，即證＋－－2>0，設r(x)＝＋－－2，則r′(x)＝－－2x，令p(x)＝r′(x)＝－－2x，則p′(x)＝＋－2>0，所以p(x)在(0，＋∞)單調遞增，p(x)>p(0)＝0，即r′(x)>0，所以r(x)在(0，＋∞)單調遞增，r(x)>r(0)＝0，故當x>0時，＋－－2>0，即＋－－2>

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