語言程序設計公共課-第0章數制和進制

進位計數制和數制轉換《C語言程序設計》課程補充材料數制進位計數制和數制轉換十進制數的表示和二進制數的表示任意進制數的表示二進制的特點二進制數和十進制數的轉換八進制數、十六進制數與二進制數的轉換十進制數的表示和二進制數的表示(1)十進制數基數：10使用數碼：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9計數規(guī)律：逢十進一十進制數N的表示法位置記數表示：(N)10=(an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m)10用按權展開式表示：

(N)10=an-1×10n-1+an-2×10n-2+…+a1×101+a0×100

+a-1×10-1+a-2×10-2+…+a-m×10-m

=十進制數的表示和二進制數的表示(2)二進制數基數：2使用數碼：0,1計數規(guī)律：逢二進一二進制數N的表示法位置記數表示：(N)2=(an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m)2用按權展開式表示：

(N)2=an-1×2n-1+an-2×2n-2+…+a1×21+a0×20

+a-1×2-1+a-2×2-2+…+a-m×2-m

=返回任意進制數的表示(1)基數：r使用數碼：0~r-1計數規(guī)律：逢r進一r進制數N的表示法位置記數表示：

(N)r=(an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m)r用按權展開式表示：

(N)2=an-1×rn-1+an-2×rn-2+…+a1×r1+a0×r0

+a-1×r-1+a-2×r-2+…+a-m×r-m

=任意進制數的表示(2)不同進位計數制的各種數碼返回十進制數二進制數八進制數十六進制數0000000010001011200100223001103340100044501010556011006670111077810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F二進制的特點只有０和１兩個數碼，任何具有兩個不同穩(wěn)定狀態(tài)的元件都可用來表示１位二進制數。運算規(guī)則簡單，其運算規(guī)則為：加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0（進位）減法規(guī)則：0-0=0，0-1=1（借位），1-0=1，1-1=0乘法規(guī)則：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1除法規(guī)則：0÷1=0，1÷1=1二進制數的數碼０和１，可與邏輯代數中邏輯變量的“假”和“真”對應起來，這樣在邏輯運算中可以使用邏輯代數這一數學工具。返回二進制數和十進制數的轉換(1)二進制數轉換成十進制數方法：將二進制數寫成按權展開式，并將式中各乘積項的積算出來，然后各項相加，即可得到與該二進制數相對應的十進制數。例子：

(11010.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20

+1×2-1+0×2-2+1×2-3

=16+8+2+0.5+0.125

=(26.625)10二進制數和十進制數的轉換(2)十進制數轉換成二進制數步驟：將待轉換的數分成整數部分和純小數部分，并分別加以轉換。原理：兩數相等，整數部分和小數部分須分別相等。整數轉換方法：“除２取余”法，把十進制整數除以２，取出余數作為相應二進制數的最低位；把得到的商再除以２，再取余數作為二進制數的次低位；依次類推，繼續(xù)上述過程，直到商為０，所得余數為最高位。（例子）純小數轉換方法：“乘２取整”法，把十進制小數乘以２，取其整數作為相應二進制小數的最高位；把乘積的小數部分再乘以２，再取整數作為二進制小數的次高位；依次類推，繼續(xù)上述過程，直到小數部分為０或達到所要求的精度。（例子）返回八進制數、十六進制數與二進制數的轉換八進制數的基數是8（8=23），十六進制數的基數是16（16=24）。二進制數、八進制數和十六進制數有2的整指數倍的關系，因而可以直接轉換。二進制數轉八進制數或十六進制數：從小數開始，分別向左、右３或４位分組，最后不滿３或４位的，需加０。將每組以對應的八進制數或十六進制數代替，即為等值的八進制數或十六進制數。例子：八進制 257.0554

二進制 010101111.000101101100

十六進制 AF.16C

則：(257.0554)8=(10101111.)2=(AF.16C)16返回整數轉換實例(58)10=2(an-1×2n-2+an-2×2n-3+…+a1)+a0，兩邊除以2，得(29)10=an-1×2n-2+an-2×2n-3+…+a1+a0/2，于是取a0=0；則(29)10=2(an-1×2n-3+an-2×2n-4+…+a2)+a1，兩邊再除以2，得(14+1/2)10=an-1×2n-3+an-2×2n-4+…+a2+a1/2，于是取a1=1……可以采用如下形式進行求解：

2|58 2|7 2|29…………余數0，a0 2|3…………余數1，a3 2|14…………余數1，a1 2|1…………余數1，a4 7…………余數0，a2 0…………余數1，a5因此，(58)10=(111010)2。返回純小數轉換實例(1)(0.625)10=a-1/2+(a-2×2-1+…+a-m×2-m+1)/2，兩邊乘以2，得(1.25)10=a-1+(a-2×2-1+…+a-m×2-m+1)，于是取a-1=1；則(0.25)10=a-2/2+(a-3×2-1+…+a-m×2-m+2)/2，再乘以2，得(0.5)10=a-2+(a-3×2-1+…+a-m×2-m+2)，于是取a-2=0……可以采用如下形式進行求解：

0.625 0.500

×)2

×)2

1.250……整數1，a-1

1.000……整數1，a-3

×)2

0.500……整數0，a-2因此，(0.625)10=(0.101)2。純小數轉換實例(2)將十進制0.18轉換成二進制數，精確到小數點后4位：

0.18 0.88

×)2

×)2

0.36……整數0，a-1

1.76……整數1，a-5

×)2

0.72……整數0，a-2

×)2

1.44……整數1，a-3

×)2

0.88……整數0，a-4因此，(0.18)10≈(0.0011)2。返回

碼制我們希望在計算機中表示任意進制的數，例如，存儲二進制和十進制數；前面的“進制”中講述的都是純數學的內容，與計算機沒有直接關系；但是解決辦法用代碼的方法來表示任意進制的數，例如，用內存一個位(bit)來表達正負數，

0代表正數，1代表負數數和字符的代碼表示帶符號數的代碼表示真值與機器數原碼、反碼和補碼機器數的加、減運算比較機器數的三種代碼表示數的定點表示和浮點表示數的定點表示數的浮點表示字符代碼附：邏輯變量與基本邏輯運算結束真值與機器數帶符號數字的組成部分：

數的符號，數的數值真值：直接用正號“+”和負號“-”來表示符號的二進制數。不能直接用于數字計算機。機器數：將真值中的符號數值化（即，用0表示正，用1表示負）后的二進制數?？梢詾橛嬎銠C所用。一般地，n位機器數，第一位表示符號，n-1位表示數值。返回原碼、反碼和補碼(1)——背景機器數在計算機中要進行加、減、乘、除四種運算。其中，乘法實際上是做移位加法；除法實際上是做移位減法。這就是說，在機器中只需要做加、減兩種運算。但如果直接實現減法，必須使用較復雜的邏輯電路來實現，運算時間較長。于是，人們提出了多種機器數的表示形式，以試圖使減法運算變成加法運算。原碼、反碼和補碼(2)——原碼原碼也稱為“符號－數值表示”。形成規(guī)則：最高位表示符號（正數符號位為0，負數符號位為1），其余位表示數值部分，為數值絕對值的二進制表示。[+0]原

=0.00…0，[-0]原=1.00…0原碼、反碼和補碼(3)——反碼反碼也稱為“對1的補數”。形成規(guī)則：正數的反碼表示完全等同于其原碼表示；對于負數，最高位為1（符號位），其余位（即數值部分）為相應原碼表示數值部分按位求反。[+0]反

=0.00…0，[-0]反=1.11…1原碼、反碼和補碼(3)——補碼補碼也稱為“對2的補數”。形成規(guī)則：正數的反碼表示完全等同于其原碼表示；對于負數，最高位為1（符號位），其余位（即數值部分）為相應反碼表示數值部分加1。[+0]補

=0.00…0，[-0]補=0.00…0原碼、反碼和補碼(5)——例子真值原碼反碼補碼

010011010011010011-01010101010110101110110返回charch=‘A’；01000001shortintm=65;0000000001000001int

n=65;00000000000000000000000001000001charch=2;00000010charch=

-2；11111110shortintm=-2;1111111111111110int

n=-2;11111111111111111111111111111110機器數的加、減運算原碼運算：原碼中的符號位僅用來表示數的正、負，不參加運算。補碼運算規(guī)則：[N1+N2]補=[N1]補+[N2]補

[N1-N2]補=[N1]補+[-N2]補反碼運算規(guī)則：[N1+N2]反=[N1]反+[N2]反

[N1-N2]反=[N1]反+[-N2]反例子：已知N1=-0.0011，N2=0.1011，

求：[N1+N2]原、[N1-N2]原、

[N1+N2]補、[N1-N2]補、

[N1+N2]反和[N1-N2]反。返回比較機器數的三種代碼表示原碼表示：簡單方便，但減法運算必須真正實施，不能用加法運算代替，于是增加了實現所需的邏輯電路的復雜度。同時原碼表示還有一個缺點，即具有兩個零。反碼表示：運算實現較簡單，減法運算可用加法運算代替。但是運算中若出現進位則需要兩次算術相加。另外，和原碼一樣，它也具有兩個零。補碼表示：運算實現較簡單，減法運算可用加法運算代替。運算中出現進位處理簡單。且只有一個零。返回數的定點表示定點表示：小數點在數中的位置固定不變。定點機：使用定點數的計算機。通常把小數點固定在數的符號位之后或固定在最低位之后。n位定點小數N，的數域為：2-n≤|N|≤1-2-n定點機中，運算數和運算結果都不能超出數域范圍，否則出現“溢出”（上溢或下溢）。符號·數值部分小數點符號·數值部分小數點返回數的浮點表示浮點表示：小數點在數中的位置不固定。一般表示形式：N=2JS

其中，S為N的尾數，J為階碼，2為J的基數浮點數中，指數部分反映了小數點浮動的位置；尾數部分則體現數的符號和有效數位。為提高運算精度，避免有效數字丟失，浮點數字一般表示成規(guī)格化數（使1/2≤|S|<1），例如：21010.0101→21000.1010階符階碼尾符尾數返回字符代碼ASCII碼（美國標準信息交換碼）是國際上廣泛使用的字符代碼，字符寬度為8位。常用的ASCII碼：

空格—32

0~9—48~57

A~Z—65~90

a~z—97~112字符采用8位存儲，僅能表示最多256個不同的字符，這樣對于表示中文、日文等遠東語言帶來了困難。于是統(tǒng)一代碼聯(lián)盟提出了字符表示的新標準。統(tǒng)一代碼（Unicode）字符的寬度是16位，總共有65535個可能的字符，從而輕易地容納了世界上所有語言，包括括號和技術符號。返回附：邏輯變量與基本邏輯運算邏輯變量的取值只有0或1兩種。三種基本邏輯運算或：邏輯問題中，如果決定某一事件發(fā)生的多個條件中，只要有一個或一個以上成立，時間便可發(fā)生，則這種因果關系稱之為“或”邏輯。與：邏輯問題中，如果決定某一個事件發(fā)生的多個條件必須同時具備，事件才能發(fā)生，則這種因果關系成之為“與”邏輯。非：邏輯問題中，如果某一時間的發(fā)生取決于條件的否定，即事件與事件發(fā)生的條件之間構成矛盾，則這種因果關系稱為“非”邏輯。返回N1=-0.0011，N2=0.1011求[N1+N2]原∵N1與N2異號，且有|N2|>|N1|∴只要做|N2|-|N1|，最終結果為正：

0.1011

-)0.0011

0.1000則[N1+N2]原=0.1000返回N1=-0.0011，N2=0.1011求[N1-N2]原∵[N1-N2]原=[(-0.0011)-0.1011]原

=[(-0.0011)+(-0.1011)]原∴只要做|N1|+|N2|，最終結果為負：

0.0011

+)0.1011

0.1110則[N1-N2]原=1.1110返回N1=-0.0011，N2=0.1011求[N1+N2]補[N1+N2]補=[N1]補+[N2]補=1.1101+0.1011

1.1101

+)0.1011

丟掉←10.1000則[N1+N2]補=0.1000返回N1