期權(quán)定價(jià)的二項(xiàng)式方法

期權(quán)定價(jià)的二項(xiàng)式方法

1).定價(jià)原理2).二項(xiàng)式定價(jià)的基本過(guò)程3).期權(quán)定價(jià)的二項(xiàng)式公式4).二項(xiàng)式定價(jià)公式推導(dǎo)5).美式期權(quán)的定價(jià)1).定價(jià)原理無(wú)套利定價(jià)原理:

具有相同收益不同頭寸的價(jià)格應(yīng)該相同。在到期日現(xiàn)金流完全相同的兩個(gè)組合，它們期初的現(xiàn)金流必定也完全相同(債券期貨為例).期權(quán)在到期日的執(zhí)行與否是不確定的，這種不確定性使得在到期日的收益變得不確定,因而難于直接利用無(wú)套利原理對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

克服困難不確定性,以便采用無(wú)套利原理對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià):

二項(xiàng)式定價(jià)方法，布萊克—舒爾斯定價(jià)方法,蒙特卡羅模擬法。二項(xiàng)式方法(二叉樹(shù)方法)把整個(gè)持有期分成若干個(gè)時(shí)間區(qū)間,并假定在每個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)股票的價(jià)格只有上升和下降兩種狀態(tài),且價(jià)格上升和下降的百分比也已知,這樣可以得出股票在期權(quán)到期日有限個(gè)確定的價(jià)格狀態(tài),從而克服了不確定性.期權(quán)的價(jià)格就可以利用無(wú)套利原理從這有限個(gè)確定的股票價(jià)格(期權(quán)的收益)來(lái)進(jìn)行估計(jì).表面看把股票價(jià)格的變動(dòng)只有兩種可能,現(xiàn)實(shí)中,股票價(jià)格可是千變?nèi)f化.不過(guò)我們可以通過(guò)增加期數(shù)來(lái)擴(kuò)大股票價(jià)格變動(dòng)的范圍.時(shí)間區(qū)間分得越小,在到期日確定的股票價(jià)格狀態(tài)越多,計(jì)算越復(fù)雜,所得期權(quán)價(jià)格估計(jì)越接近于真實(shí)的價(jià)格.2).二項(xiàng)式定價(jià)的基本過(guò)程

設(shè)有這樣一個(gè)以某股票為標(biāo)的資產(chǎn)的3月期歐式買(mǎi)入期權(quán)，股票現(xiàn)行的市場(chǎng)價(jià)格為30元，期權(quán)確定的執(zhí)行價(jià)格為31元。設(shè)已知3個(gè)月后股票價(jià)格要么上升10%，要么下降10%，市場(chǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%(年利率)，試確定該期權(quán)的價(jià)格。股票價(jià)格樹(shù):給出股票在不同階段不同狀態(tài)確定的價(jià)格.期權(quán)價(jià)值樹(shù):根據(jù)股票在不同階段不同狀態(tài)確定的價(jià)格以及期權(quán)確定的執(zhí)行價(jià)格,給出期權(quán)在相應(yīng)狀態(tài)的價(jià)值,其在初始狀態(tài)的價(jià)值就是要確定的期權(quán)價(jià)格.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益樹(shù):無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在不同階段不同狀態(tài)的價(jià)格,這是進(jìn)行無(wú)套利定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn).303327(a)股票價(jià)格樹(shù)11.0251.025(c)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益樹(shù)?20(b)期權(quán)價(jià)值樹(shù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在每個(gè)階段的收益率應(yīng)該根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的年收益率及每個(gè)階段的時(shí)間長(zhǎng)度來(lái)確定.在本例中,每階段無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為10%/4=0.025確定期權(quán)的價(jià)格無(wú)套利定價(jià):考慮組合買(mǎi)入A股該股票和賣(mài)出該股票的一份買(mǎi)入期權(quán)組成。要求組合在期權(quán)到期日的收益無(wú)論股票價(jià)格是升還是降都應(yīng)同無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資的收益相等。

買(mǎi)權(quán)未來(lái)價(jià)值是不確定的,有風(fēng)險(xiǎn).買(mǎi)權(quán)和股票組合可以消除這種風(fēng)險(xiǎn).同時(shí)來(lái)考慮是否能從中找到期權(quán)的價(jià)值.如果按比例持有股票和賣(mài)出相應(yīng)的期權(quán),股票上漲的收益可能被期權(quán)的損失彌補(bǔ)首先確定應(yīng)買(mǎi)入的股票數(shù)A使得組合在期末的收益在兩種狀態(tài)(價(jià)升或價(jià)降)下都相同。如果股票價(jià)格上升至33元，組合在到期日的價(jià)值為，其中2是期權(quán)被執(zhí)行后投資者的付出；如果股票價(jià)格下降至27元，期權(quán)不被執(zhí)行，組合的價(jià)值為。在到期日這兩個(gè)值應(yīng)相等，且應(yīng)等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資的收益。

令，解之得，即該組合應(yīng)由買(mǎi)入1/3股該股票和賣(mài)出一份該股票的買(mǎi)入期權(quán)組成。無(wú)論股票的價(jià)格是升還是降，組合在期末的價(jià)值根據(jù)無(wú)套利原原理，這就要要求無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投投資在期末的的收益同為9元，因而期期初用于無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)投資的資資金應(yīng)為這也應(yīng)該是期期初用于投資資組合的資金金，由此得買(mǎi)入期權(quán)的價(jià)價(jià)格應(yīng)該定為為1.22元元3).期權(quán)權(quán)定價(jià)的二項(xiàng)項(xiàng)式公式符號(hào):股票在期初的的價(jià)格,期權(quán)確定的執(zhí)執(zhí)行價(jià)格,股票價(jià)格在單單個(gè)時(shí)間階段段內(nèi)的上升因因子股票價(jià)格在單單個(gè)時(shí)間階段段內(nèi)的下降因因子(-)期權(quán)在股票價(jià)價(jià)格上升狀態(tài)態(tài)下的收益期權(quán)在股票價(jià)價(jià)格下降狀態(tài)態(tài)下的收益年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益益率期權(quán)的期限期權(quán)在股票價(jià)價(jià)格上升狀態(tài)態(tài)下的收益期權(quán)在股票價(jià)價(jià)格下降狀態(tài)態(tài)下的收益構(gòu)建一個(gè)組合合，買(mǎi)入A股股票，賣(mài)出出一份買(mǎi)入期期權(quán)組成，要要求在期權(quán)到到期日無(wú)論何何種情況出現(xiàn)現(xiàn)，組合的價(jià)價(jià)值相同根據(jù)無(wú)套利原原理,買(mǎi)入期期權(quán)的價(jià)格C應(yīng)滿足方程將A代入得市場(chǎng)的上升狀狀態(tài)價(jià)格因子子市場(chǎng)的下降狀狀態(tài)價(jià)格因子子上升狀態(tài)價(jià)格格因子和下降降狀態(tài)價(jià)格因因子僅同股票票價(jià)格在每個(gè)個(gè)階段的上升升因子、下降降因子、期權(quán)權(quán)有效期(每每個(gè)時(shí)段)的的長(zhǎng)短以及期期權(quán)有效期內(nèi)內(nèi)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收收益率有關(guān)，，而同股票價(jià)價(jià)格和期權(quán)確確定的執(zhí)行價(jià)價(jià)格無(wú)關(guān)。對(duì)上述例子的的應(yīng)用在期權(quán)價(jià)值樹(shù)樹(shù)上進(jìn)行計(jì)算算C1.22200.36420.61111計(jì)算期權(quán)價(jià)格格的價(jià)格樹(shù)(二叉樹(shù))四個(gè)時(shí)段的情情形考慮以某一股股票為標(biāo)的資資產(chǎn)、執(zhí)行期期限為T(mén)的買(mǎi)入期權(quán)，，設(shè)股票的現(xiàn)現(xiàn)行價(jià)格為元元，，期權(quán)確定的的執(zhí)行價(jià)格為為。。設(shè)把期權(quán)的的有效期分為為時(shí)間相同的的4個(gè)階段，，預(yù)計(jì)股票價(jià)價(jià)格在每階段段要么上升10%，要么么下降5%，，每階段內(nèi)無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率率為5%,確確定期權(quán)的的價(jià)格.生成股票價(jià)格格樹(shù)606672.679.8687.8465754.1562.751.442568.9759.56548.870465.521575.86756.5868股票價(jià)格樹(shù)到第四階段末末，即期權(quán)的的到期日，股股票價(jià)格已經(jīng)經(jīng)有5個(gè)狀態(tài)態(tài)。如果我們們把整個(gè)有效效期分成n個(gè)階段，那么么到期權(quán)的到到期日(最后后一個(gè)階段末末)，股票價(jià)價(jià)格將有n+1個(gè)可能的的狀態(tài)。計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)據(jù)根據(jù)期權(quán)確定定的執(zhí)行價(jià)格格以及股票在在最后階段不不同狀態(tài)的價(jià)價(jià)格，計(jì)算期期權(quán)在最后階階段各狀態(tài)的的價(jià)值.7.5710.313.7918.0322.8463.080.224.690.07.140.3300.521510.8670計(jì)算期權(quán)在不不同狀態(tài)的價(jià)價(jià)值期權(quán)價(jià)格樹(shù)4).二項(xiàng)項(xiàng)式定價(jià)公式式推導(dǎo)對(duì)于第3階段段各狀態(tài)的期期權(quán)價(jià)值有對(duì)于第2階段段各狀態(tài)期權(quán)權(quán)價(jià)值有對(duì)于第1階段段各狀態(tài)的期期權(quán)價(jià)值有期初的價(jià)值(期權(quán)的價(jià)格格)把持有期分成成n個(gè)相同時(shí)段的的情形假定每階段內(nèi)內(nèi)股票價(jià)格上上升或下降的的因子相同,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收收益率相同.歐式賣(mài)出期權(quán)權(quán)的二項(xiàng)式定定價(jià)公式例7：計(jì)算在在下列股票上上執(zhí)行期限為為一年的歐式式買(mǎi)入和賣(mài)出出期權(quán)的價(jià)格格，已知該股股票的現(xiàn)行價(jià)價(jià)格為60元元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年年收益率為5%，買(mǎi)入期期權(quán)的執(zhí)行價(jià)價(jià)格為62元元，賣(mài)出期權(quán)權(quán)確定的執(zhí)行行價(jià)格為61元。設(shè)把執(zhí)執(zhí)行期限等分分為兩個(gè)階段段，經(jīng)估計(jì)得得每階段股票票價(jià)格要么上上升8%，要要么下降4%。首先計(jì)算相相關(guān)參數(shù)對(duì)于買(mǎi)入期權(quán)權(quán)對(duì)于賣(mài)出期權(quán)權(quán)參數(shù)計(jì)算的簡(jiǎn)簡(jiǎn)化設(shè)每個(gè)階段的的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益益率則有在一般情況下下，假定無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)收益率是是幾何收益率率，則無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)資產(chǎn)在每個(gè)個(gè)時(shí)段的收益益率為為每個(gè)時(shí)段的的時(shí)間長(zhǎng)度又可設(shè)股票價(jià)價(jià)格的上升與與下降幅度完完全由其價(jià)格格的波動(dòng)率確確定，則價(jià)格格在每個(gè)時(shí)段段的上升因子子和下降因子子為分別將它們代代入得例:右表給出出了某股票過(guò)過(guò)去15周(包括本周)的收盤(pán)價(jià).現(xiàn)在有一以以該股票為標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn),期期限為3個(gè)月月(13周),執(zhí)行價(jià)格格為7.5元元的歐式買(mǎi)入入期權(quán),已知知無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)產(chǎn)的年收益率率為6%,試試把期限分成成13個(gè)時(shí)段段,用二項(xiàng)式式方法計(jì)算該該期權(quán)的價(jià)格格.計(jì)算過(guò)程:(1)先估計(jì)計(jì)股票價(jià)格的的波動(dòng)性,(2)計(jì)算算二項(xiàng)式公式式中的上升狀狀態(tài)因子和下下降狀態(tài)因子子,(3)計(jì)算股股票在期權(quán)到到期日各狀態(tài)態(tài)的價(jià)格,以以及期權(quán)在到到期日各狀態(tài)態(tài)的價(jià)值,(4)利用用二項(xiàng)式公式式計(jì)算期權(quán)的的價(jià)格.計(jì)算結(jié)果5).美式式期權(quán)的定價(jià)價(jià)買(mǎi)入期權(quán):用歐式買(mǎi)入期期權(quán)的定價(jià)公公式或方法.賣(mài)出期權(quán):由于在某些狀狀態(tài)下，提前前執(zhí)行會(huì)優(yōu)于于繼續(xù)持有期期權(quán)，因此在在美式賣(mài)出期期權(quán)定價(jià)的價(jià)價(jià)格樹(shù)上需要要確定期權(quán)在在每一個(gè)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)狀態(tài)的價(jià)值值時(shí)都要對(duì)持持有期權(quán)的價(jià)價(jià)值和執(zhí)行期期權(quán)的價(jià)值加加以比較，并并選取其中的的大者作為期期權(quán)在該結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的價(jià)值.表示期權(quán)在時(shí)時(shí)間t的某狀態(tài)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)處的價(jià)值期權(quán)在該狀態(tài)態(tài)結(jié)點(diǎn)的市場(chǎng)場(chǎng)價(jià)值，即持持有期權(quán)的價(jià)值期權(quán)在該結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的右端上方方相鄰結(jié)點(diǎn)的的價(jià)值期權(quán)在該結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的右端下方方相鄰結(jié)點(diǎn)的的價(jià)值期權(quán)在該結(jié)點(diǎn)點(diǎn)提前執(zhí)行的的價(jià)值上述三式結(jié)合合得出期權(quán)在在期權(quán)價(jià)格樹(shù)樹(shù)上某結(jié)點(diǎn)處處的價(jià)值美式賣(mài)出期權(quán)權(quán)定價(jià)的例:606672.65754.1562.7二階段股票價(jià)價(jià)格樹(shù)0.000.006.850.004.0

1.47美式賣(mài)出期權(quán)權(quán)價(jià)格樹(shù)謝謝1月-2301:28:5901:2801:281月-231月-2301:2801:2801:28:591月-231月-2301:28:592023/1/61:28:599、靜夜夜四無(wú)無(wú)鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中中黃葉葉樹(shù)，，燈下下白頭頭人。。。01:28:5901:28:5901:281/6/20231:28:59AM11、以我獨(dú)沈沈久，愧君君相見(jiàn)頻。。。1月-2301:28:5901:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。01:28:5901:28:5901:28Friday,January6,202313、乍見(jiàn)翻疑疑夢(mèng)，相悲悲各問(wèn)年。。。1月-231月-2301:28:5901:28:59January6,202314、他鄉(xiāng)生白發(fā)發(fā)，舊國(guó)見(jiàn)青青山。。06一月20231:28:59上午01:28:591月-2315、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。一月月231:28上上午午1月月-2301:28January6,202316、行動(dòng)動(dòng)出成成果，，工作作出財(cái)財(cái)富。。。2023/1/61:28:5901:28:5906January202317、做前，能能夠環(huán)視四四周；做時(shí)時(shí)，你只能能或者最好好沿著以腳腳為起點(diǎn)的的射線向前前。。1:28:59上上午1:28上上午01:28:591月-239、沒(méi)有失敗，，只有暫時(shí)停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結(jié)結(jié)果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變變也也沒(méi)沒(méi)有有。。。。01:29:0001:29:0001:291/6/20231:29:00AM11、成功就是是日復(fù)一日日那一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小努力力的積累。。。1月-2301:29:0001:29Jan-2306-Jan-2312、世間成事，，不求其絕對(duì)對(duì)圓滿，留一一份不足，可可得無(wú)限完美美。。01:29:0001:29:0001:29Friday,January6,202313、不知香香積寺，，數(shù)里入入云峰。。。1月-231月-2301:29:0001:29:00January6,202314、意志堅(jiān)強(qiáng)的的人能把世界界放在手中像像泥塊一樣任任意揉捏。06一月20231:29:00上午01:29:001月-2315、楚塞三湘接接，荊門(mén)九派派通。。。一月231:29上上午1月-2301:29January6,202316、少年年十五五二十十時(shí)，，步行行奪得得胡馬馬騎。。。2023/1/61:29:0001:29:0006January202317、空山新新雨后，，天氣晚晚來(lái)秋。。。1:29:00上午午1:29上午午01:29:001月-239、楊楊柳柳散散和和風(fēng)風(fēng)，，青青山山澹澹吾吾慮慮。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、閱讀一切好好書(shū)如同和過(guò)過(guò)去最杰出的的人談話。01:29:0001:29:0001:291/6/20231:29:00AM11、越是沒(méi)沒(méi)有本領(lǐng)領(lǐng)的就越越加自命命不凡。。1月-2301:29:0001:29Jan-2306-Jan-2312、越是無(wú)能的的人，越喜歡歡挑剔別人的的錯(cuò)兒。01:29:0001:2