北師大版選擇性必修第一冊5-3組合問題學(xué)案

§3組合問題［筆記教材］新課程標準新學(xué)法解讀通過實例，理解組合的概念，能利用計數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式..理解組合與組合數(shù)的概念，正確認識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系..會推導(dǎo)組合數(shù)公式，并會應(yīng)用公式進行計算..理解組合數(shù)的兩個性質(zhì)，并會求值、化簡和證明.知識點一組合及組合問題（1）組合一般地，從〃個元素中，任取且加，〃￡N+）個為一組，叫作從〃個不同元素中取出m個元素的一個組合.（2）組合問題有關(guān)求的問題叫作組合問題.答案：（1）不同元素（2）組合的個數(shù)知識點二組合數(shù)與組合數(shù)公式〃?(〃一])?(〃-2)…[〃一(m一])]答案：所有組合的個數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出且"2,〃&N+）個元素的，叫作從〃個不同兒系中取出團（加W“，且相，N+）個元素的組合數(shù)表示法C*組合數(shù)公式乘積形式5-Ktn—階乘形式Cf!；=性質(zhì)⑴c#=，(2)C1i=備注①〃￡N+,且〃②規(guī)定C9=mJ況討論.其一：同+同+田|+|%4|+網(wǎng)=1,此時，從Xi,X2,X3,X4,刖中任取一個讓其等于1或一1,其余等于0,于是有CgC4=10（種）情況；其二：|刈+悶+悶+|刈+阿=2,此時，從Xi,X29X3,X4,心中任取兩個讓其都等于1或都等于一1或一個等于1、另一個等于-1,其余等于0,于是有2Cg+CgQ=40（種）情況;其三:|刈+|刈+阿+|犬4|+網(wǎng)=3,此時，從X|,X2,X3,X4,X5中任取三個讓其都等于1或都等于一1或兩個等于1、另一個等于一1或兩個等于一1、另一個等于1,其余等于0,于是有2Cg+Cga+CK3=8O（種）情況.由于10+40+80=130,故答案為D.［巧歸納］對于復(fù)雜的排列問題，先選出符合要求的元素，再考慮元素的順序，實質(zhì)是運用排列的定義，把事件分為兩個步驟完成，這種方法常稱之為“先選后排法”.［練習(xí)5］某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，其中4個數(shù)字互不相同的牌照號碼共有（）A.（CkPA%個B.A%A%個C.（C%）21（）4個D.A961O4個答案：A解析：英文字母可以相同，故有（C^）2種選法，而數(shù)字有。?9共10個，不允許重復(fù)，故有A%種排法，由分步乘法計數(shù)原理，滿足要求的牌照號碼共有（CkPAfo個，故選A.研習(xí)6兩個計數(shù)原理在排列、組合綜合問題中的應(yīng)用［典例6］用5種不同的顏色給圖中A,B,C,。四塊區(qū)域涂色,要求相鄰的區(qū)域顏色不同，每塊只涂一種顏色，共有多少種不同的涂色方法？［解］方法一（分步涂色）：第一步，給人區(qū)域著色有C4種方法.第二步，給8區(qū)域著色有C1種方法.第三步，給。區(qū)域著色.若。區(qū)域用A區(qū)域的顏色，則。區(qū)域有CL種涂法.若C區(qū)域的顏色與4,8區(qū)域不同，則有CJ種涂法，則。區(qū)域也有CI種涂法.故共有涂法CkCMCl+GO=260（種）.方法二（按用色種數(shù)分類）：第一類：用5色中的兩色，則A,C同色，B,。同色，共有C*A之種涂法.第二類：用5色中的3色，選取3種顏色有種選法，三色中的一種顏色涂4有C4種涂法，一種顏色涂B有G種方法，若余下的一種顏色涂C,則。與5同色.若余下的一種顏色涂。，則。與A同色.故最后一種顏色有兩種涂法,本類有NCCX2種涂法.第三類：用5色中的4色，有C$A3種涂法.由分類加法計數(shù)原理，共有涂法Cg-A2+CgCC><2+C4,A3=260（種）.［巧歸納］1.“分類”與“分步”的區(qū)別（1）分類就是能“一步到位”——任何一類中任何一種方法都能完成這件事情，簡單地說分類的標準是“不重不漏，一步完成”.（2）分步則只能“局部到位”——任何一步中任何一種方法都不能完成這件事情，只能完成事件的某一部分，只有當(dāng)各步全部完成時，這件事情才完成.簡單地說步與步之間的方法“相互獨立，多步完成”.2.解決排列組合應(yīng)用題的常用方法：（1）合理分類，準確分步；（2）特殊優(yōu)先，一般在后；（3）先取后排，間接排除；（4）集團捆綁，間隔插空；（5）抽象問題，構(gòu)造模型；（6）均分除序，定序除序.［練習(xí)6］把4個男同志和4個女同志平均分成4組，到4輛公共汽車里參加售票勞動，如果同樣兩人在不同汽車上服務(wù)算作不同情況.（1）有幾種不同的分配方法？（2）每個小組必須是一個男同志和一個女同志，有幾種不同的分配方法？（3）男同志與女同志分別分組，有幾種不同的分配方法？（1）解：男女合在一起共有8人，每個車上2人，可以分四個步驟完成.先安排2人上第一輛車,共有C林中，再上第二輛車共有C湃中，再上第三輛車共有C3種，最后上第四輛車共有C3種，按分步乘法計數(shù)原理有3G?C3?=2520（種）.（2）解：要求男女各1人，因此先把男同志安排上車，共有A3種不同方法，同理，女同志也有A3種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，車上男女各1人的不同分配方法為A%AX=576（種）.（3）解：男女分別分組,4個男的平均分成兩組共有異=3（種）分法,4個女的平均分成兩組也有異=3（種）不同分法，這樣分組方法就有3X3=9（種），對于其中每一種分法上4輛車，又有AW種分法，因而不同分配方法為9-A?=216（種）..（Goo+C%）：Aioi的值為（）A.6B.101C.tD.TTrro101答案：C解析:原式=（Goo+Goo）：A%i=Go］：Aioi=，j=，..甲、乙兩人計劃從4,B,C三個景點中各選擇兩個游玩，則兩人所選景點不全相同的選法共有（）A.3種B.6種C.9種D.12種答案：B解析：本題用排除法.甲、乙兩人從A,優(yōu)C三個景點中各選兩個游玩，共有C%0=9種，但兩人所選景點不能完全相同，所以排除3種完全相同的選擇，故有6種.故選B..在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息.若所用數(shù)字只有。和1,則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為（）A.1（）B.11C.12D.15答案：B解析：與信息（）11（）至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：第一類，與信息0110恰有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，即從4個位置中選2個位置相同，其他2個不同，有&=6（個）；第二類，與信息0110恰有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，即從4個位置中選1個位置相同，其他3個不同，有Cl=4（個）；第三類，與信息0110沒有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，即4個對應(yīng)位置上的數(shù)字都不同，有C9=l（個）.由加法原理知，與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為6+4+1=11..若A」”=120C?j則n—.答案：3120〃（〃-1）*解析：2〃（2〃-1）（2〃-2）（2〃-3）=2，解仔〃=3或幾=一1（舍去），所以〃=3..房間里有5個電燈，分別由5個開關(guān)控制，至少開一個燈用以照明，則不同的開燈方法種數(shù)為.答案：31解析：5個電燈5個開關(guān)控制，“至少一個燈開”事件總數(shù)為Cg+Cg+Q+Cg+Cg=31.［誤區(qū)警示］重復(fù)計數(shù)與遺漏計數(shù)致錯［示例］4個不同的小球放入編號為123,4的4個盒子中，則恰好有1個空盒子的放法有多少種？［錯解］錯解一：從4個小球中任取3個小球，有G種取法，從4個盒子中任取3個盒子，有C0種取法.先將3個小球放入取出的3個盒子中，有A］種放法，再把余下的1個小球放入3個盒子中的1個，有3種放法.所以滿足題意的放法有心??A+3=288（種）.錯解二：先將3個小球放入4個盒子中，有A?種放法，再把余下的1個小球放入3個盒子中的1個，有3種放法，所以滿足題意的放法有Ai-3=72（種）.［錯因分析］導(dǎo)致上述兩種錯解的原因如下：錯解一解答錯誤的原因是重復(fù)計數(shù)；錯解二解答錯誤的原因是遺漏計數(shù).分析如下：設(shè)4個不同的小球為4,b,c,d,從4個小球中取出3個，若取出的是。，b,c,則d與mb,c搭配，有d；b,d；c,d.若取出的是〃，c,d,則o與b,c,d搭配，有伉〃；c,a；d,以其中md與d,。是同一種情況，這就是錯解一解答出錯的地方.取3個小球，如a,b,cy則d與a,b,c搭配，有a,d；b,d；c,d.但遺漏了mb；Cl,c；b,。這3種情況，這就是錯解二解答出錯的地方.［正解］由題意知，必有1個盒子內(nèi)放入2個小球，從4個小球中取出2個小球，有CZ種取法，此時把它看作1個小球，與另2個小球共3個小球放入4個盒子中，有Aj種放法，所以滿足題意的放法有CiA?=144（種）.［題后總結(jié)］計數(shù)問題中，首先要分清楚是排列問題還是組合問題，即看取出的元素是“合成一組”還是“排成一列”，不能將二者混淆.若將排列問題誤認為是組合問題，會導(dǎo)致遺漏計數(shù)，反之，會導(dǎo)致重復(fù)計數(shù).〃！小〃一m1?/XI丁?〃1m!(〃一〃?)！知識點三簡單計數(shù)的排列、組合問題的處理策略.捆綁法在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”,例如，一般地,〃個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有A層a?A加個.其中AQ；由是一個“整體排列”，而A2則是“局部排列”..插空法先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空當(dāng)中，此法主要解決“元素不相鄰問題”..“元素分析法”與“位置分析法”從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則..定序法當(dāng)某些元素次序一定時,可用此法.解題方法是：先將〃個元素進行全排列有種，皿加＜〃)個元素的全排列有A；；；種.由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調(diào)序的作用，即若〃個元素排成一列，其中〃？個元素次序一定，共有有種排列方法.記憶規(guī)律是：順序一定作除法.［重點理解］.組合概念的理解(1)組合的概念中有兩個要點：①取出元素，且要求n個元素是不同的；②“只取不排”，即取出的m個元素與順序無關(guān).無序性是組合的特征.(2)兩個組合相同：只要兩個組合中的元素完全相同，那么無論元素的順序如何，都是相同的組合，兩個組合中的元素不完全相同（即使有一個元素不同）就是不同的組合.（3）組合與排列的共同點：從〃個不同的元素中任取加個元素；不同點：對于排列，取出元素后還需對所取出的元素進行排列（對順序有要求），而組合對取出的元素?zé)o需排列，只需組成一組即可（對順序無要求）.可總結(jié)為：有序排列，無序組合..組合數(shù)1）組合數(shù)的理解①同“排列”與“排列數(shù)”，“組合”與“組合數(shù)”也是兩個不同的概念，“組合”是指“從〃個不同的元素中，任取〃且〃2,〃￡N+）個元素并成一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；“組合數(shù)”是指“從〃個不同元素中取出皿加且加,〃￡N+）個元素的所有組合的個數(shù)”，它是一個數(shù).②我們可以從集合的角度來理解組合數(shù)的概念，從〃個不同元素中取出〃且〃2,〃WN+）個元素并成一組是一個組合，任取〃2個元素組成的組合的全體構(gòu)成一個集合，例如：從3個不同元素4,b,C中任取2個的所有組合構(gòu)成的集合為ac,he}.所謂組合數(shù)就是這個集合的元素的個數(shù).2）組合數(shù)公式的理解①組合數(shù)公式（連乘形式）的特點：分子是〃？個數(shù)相乘，且第一個因數(shù)是〃，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1,最后一個因數(shù)是m—（m—1）］；分母是m的階乘.②注意組合數(shù)公式中“，〃滿足的條件.③在學(xué)習(xí)組合數(shù)公式時，要注意與排列數(shù)公式進行對比，組合數(shù)公式公=〃（〃二『）（〃二2”?小二（仁1）］一般用于組合數(shù)公式mlC?=~-一般用于含有字母的組合數(shù)的式子的變形或證明.mI（nm）!［自我排查］.判斷正誤.（正確的打“J”，錯誤的打“”）（1）從135,7中任取兩個數(shù)相除可以得C3個商.（）（2）Cg=5X4X3=60.（）（3）a81$=Cloi7=2017.（7）.某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有（）A.27種B.48種C.21種D.24種答案：D.從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽樣方法數(shù)為（）A.224B.112C.56D.28答案：B.從10名學(xué)生中選出2名學(xué)生參加一個座談會，有種不同的選法.答案：45.計算Q8+C^=.答案：161700研習(xí)1組合數(shù)公式［典例1］（2022重慶西南大附中模擬）（多選題）下列關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的等式中，正確的是（）A.（〃+l）Ah=A?］iB.機［答案］ABD［解析］對于A,(〃+1)A；?=(〃+1)〃(〃-1)z+1)=A熠,

fi!—］)J故A正確；對于B,CP=m(〃一.)!，Cl，=("?一］)!(〃_〃?)！，“〃“〃(〃—1)!所以"=麗二于(〃_刈“〃(〃—1)!所以"=麗二于(〃_刈“〃(〃—1)!所以"=麗二于(〃_刈〃X(〃-1)!tn(m-1)!(h-m)!UxcM,所

IlLAWAW以小=〃CM,故B正確；對于C,"=漏=#，故C錯誤；對于D，土A；9=±><〃“〃(〃—1)!所以"=麗二于(〃_刈〃X(〃-1)!tn(m-1)!(h-m)!UxcM,所

IlL八八〃(〃一1)(〃一2)1)］［巧歸納］1.公式C；7=J(〃￡N,m￡N,/〃W")一般用于求值計算.nI.公式C片一.」-一般用于化簡、證明.ml(nm)!.在解有關(guān)組合數(shù)的方程或不等式時，必須注意隱含條件，即C7中的〃為正整數(shù)，機為自然數(shù)，且〃2機因此求出方程或不等式的解后，要進行檢驗，將不符合的解舍去..性質(zhì)"C；'=C；f”的意義及作用.要注意C%i=C?+C廠的順用、逆用及其變形應(yīng)用.順用是將一個組合數(shù)拆成兩個；逆用則是“合二為一”；變形一般為0門=CI—C凡它為某些項相互抵消提供了方便，在解題中要注意靈活運用.[練習(xí)1]⑴計算:C映+C鼎；(2)化簡：w+a+G+a+cB+Go；(3)求證：C；；,+2=C；；,+2C；；；-,+C；；r2.(1)解：C?8o+CI88=Ctoo+cioo=100^"+200=4950+200=5.(2)解：CW+Ca+G+C2+CG+Go=cg+ca+G+a+c8+cM=cHa+a+ca+c?o=-=c?i=ai.（3）證明：由組合數(shù)的性質(zhì)C?+i=C，+C廠可知，右邊=（C；；,+C。）+（cr'+cr2）=c；；I+1+cu,i=c，2=左邊.所以原式成立.研習(xí)2有限制條件的組合［典例2］某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴災(zāi)區(qū)救災(zāi)，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家.問：（1）抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？（2）抽調(diào)的6名專家中至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？（3）抽調(diào)的6名專家中至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？（1）［解］分步：首先從4名外科專家中任選2名，有CZ種選法，再從除外科專家外的6人中選取4人，有C2種選法，所以共有=90（種）抽調(diào)方法.（2）|Ml方法一：（直接法）按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有CICN種選法；②選3名外科專家，共有Ci?&種選法；③選4名外科專家，共有CJC專種選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有aG+G?cg+cid=i85（種）抽調(diào)方法.方法二：（間接法）不考慮是否有外科專家，共有C%種選法，考慮選取1名外科專家參加，有c/ca種選法；沒有外科專家參加，有CE種選法，所以共有c%—Cia—Cg=185（種）抽調(diào)方法.（3）［解］“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答.①沒有外科專家參加，有CE種選法；②有1名外科專家參加，有C，ca種選法；③有2名外科專家參加，有C3G種選法.所以共有cg+cic+ac=115（種）抽調(diào)方法..［巧歸納］有限制條件的抽（選）取問題，主要有兩類：一是“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù)；二是“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：①直接分類法，但要注意分類要不重不漏；②間接法，注意找準對立面，確保不重不漏.［提示］解決有約束條件的組合問題遵循“誰特殊誰優(yōu)先”的原則，當(dāng)直接法中分類較復(fù)雜時，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略.［練習(xí)2］某校從8名教師中選派4名去某個偏遠地區(qū)支教，其中甲和乙不能都去，則不同的選派方案共有種(用數(shù)字作答).答案：55解析：由于“甲和乙不能都去”，故要分三類完成：第一類，甲去乙不去，有C2種選派方案；第二類，乙去甲不去，有Cg種選派方案；第三類，甲、乙都不去，有C才種選派方案.故共有C2+C?+C?=55(種)不同的選派方案.研習(xí)3與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題［典例3］以正方體的頂點為頂點，可確定多少個四面體？［解|正方體的8個頂點可構(gòu)成在個四點組，其中共面的四點組有正方體的6個表面及正方體6組相對棱分別所在的6個平面的4個頂點.故可以確定四面體12=58(個).［巧歸納］幾何中的計數(shù)問題(1)在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時，應(yīng)先明確幾何中的點、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決.(2)解答幾何組合應(yīng)用題的思考方法與一般的組合應(yīng)用題基本一樣，只要把圖形隱含的條件視為組合應(yīng)用題的限制條件即可.計算時可用直接法，也可用間接法，要注意在限制條件較多的情況下，需要分類計算符合題意的組合數(shù).［練習(xí)3］設(shè)0，4是兩個平行平面，在。內(nèi)取4個點，在夕內(nèi)取5個占(1)這些點最多能確定幾條直線？幾個平面？(2)以這些點為頂點最多能作多少個三棱錐？

解：（I）在9個點中，除了。內(nèi)的四點共面和尸內(nèi)的五點共面外，其余任意四點不共面且任意三點不共線時，所確定的平面和直線才能達到最多.此時，最多能確定直線C3=36（條）.又因三個不共線的點確定一個平面，故最多可確定aCg+ClCg+2=72（個）平面.（2）解：同⑴題，在其余任意四點不共面且任意三點不共線時，所作三棱錐才能達到最多，此時最多能作CiCg+C久a+ClCg=120（個）三棱錐.按下列要求各有多少種不同的分法:每人兩本；一份兩本，一份三本；一人一本，一人兩本，一人三本.每人至少一本.研習(xí)4分組、分配問題［典例4］6本不同的書，（1）分給甲、乙、丙三人，⑵分成三份，每份兩本；（3）分為三份，一份一本，（4）分給甲、乙、丙三人，按下列要求各有多少種不同的分法:每人兩本；一份兩本，一份三本；一人一本，一人兩本，一人三本.每人至少一本.（DI解?根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得caa=9o（種）.（2）［解］分給甲、乙、丙三人，每人兩本有crz?種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有X種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有陽種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得所以無=第0=15.因此分為三伽每份兩本，一共有15種方法.（3）［解］這是“不均勻分組”問題，一共有CACWG=60（種）方法.（4）|解］在（3）的基礎(chǔ)上再進行全排列，所以一共有CACgC?/=360（種）方法.（