1直線與平面垂直

第十一章立體幾何初步空間中的垂直關系直線與平面垂直課后篇鞏固提升基礎鞏固1.如圖所示,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數(shù)為() 解析因為?BC⊥PC,所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.故選A.答案A2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,則點P到BC的距離是()A.5 5 5 5解析由題PB=PC=82+52=89,則P到BC的距離d=PB2答案D3.下列命題中,正確的有()①如果一條直線垂直于平面內的兩條直線,那么這條直線和這個平面垂直.②過直線l外一點P,有且僅有一個平面與l垂直.③如果三條共點直線兩兩垂直,那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面.④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面.⑤過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內.個 個 個 個解析②③④⑤正確,①中當這兩條直線平行時,可能直線平行平面或在平面內.答案C4.一條直線和平面所成角為θ,那么θ的取值范圍是()A.(0°,90°) B.[0°,90°]C.(0°,90°] D.[0°,180°]解析由線面角的定義知B正確.答案B5.在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中,與AA1垂直的面的個數(shù)是() 解析僅有平面ABCD和平面A1B1C1D1與直線AA1垂直.答案B6.直線a與平面α所成的角為50°,直線b∥a,則直線b與平面α所成的角等于()° ° ° °解析根據兩條平行直線和同一平面所成的角相等,知b與α所成的角也是50°.答案B7.(多選題)如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結論正確的是()∥平面CB1D1⊥BD⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°解析∵BD∥B1D1,A正確;∵AC⊥BD,BD⊥CC1,∴BD⊥面ACC1,得BD⊥AC1,知B正確;由AC1⊥BD,∴AC1⊥B1D1.又B1C⊥BC1,B1C⊥AB,得B1C⊥平面ABC,∴B1C⊥AC1,得AC⊥平面CB1D1,故C正確;D中顯然異面直線AD與CB1所成的角為45°.故選ABC.答案ABC8.空間四邊形ABCD的四條邊相等,則對角線AC與BD的位置關系為.

解析取AC中點E,連BE,DE.由AB=BC,得AC⊥BE.同理AC⊥DE,所以AC⊥面BED.因此,AC⊥BD.答案垂直9.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,則平行四邊形ABCD一定是.

解析由于PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC?平面PAC,PA?平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC,所以BD⊥AC.又四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形ABCD是菱形.答案菱形10.如圖所示,M,N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中點.(1)則MN與CD1所成的角為.

(2)則MN與AD所成的角為.

解析(1)由圖易知MN∥AD1,∵△ACD1構成正三角形.∴AD1與CD1成60°角,∴MN與CD1成60°角.(2)AD1與AD成45°角,而MN∥AD1,∴MN與AD成45°角.答案(1)60°(2)45°11.線段AB在平面α的同側,A,B到α的距離分別為3和5,則AB的中點到α的距離為.

解析如圖,設AB的中點為M,分別過A,M,B向α作垂線,垂足分別為A1,M1,B1,則由線面垂直的性質可知,AA1∥MM1∥BB1,四邊形AA1B1B為直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1為其中位線,∴MM1=4.答案412.如圖,在三棱錐A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD,點E為垂足,作AH⊥BE于點H.求證:AH⊥平面BCD.證明取AB的中點F,連接CF,DF.∵CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB.∵CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF.∵CD?平面CDF,∴AB⊥CD.又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE.∵AH?平面ABE,∴CD⊥AH.∵AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.能力提升1.如圖所示,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF,則下列結論不正確的是()∥平面PAF⊥平面PAF∥平面PAB⊥平面PAD解析由CD∥AF得CD∥平面PAF,A正確;由DF⊥AF,DF⊥PA得B正確;由CF∥AB得C正確;∵CF與AD不垂直,∴CF與平面PAD不垂直,得D不正確.答案D2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且EF=12,則下列結論中錯誤的是(⊥BE∥平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.△AEF的面積與△BEF的面積相等解析由AC⊥平面DBB1D1,BE?平面DBB1D1知A正確;由EF?平面A1B1C1D1且平面A1B1C1D1∥平面ABCD知B正確;由△BEF面積S=12×1×12=14.VA-BEF=13×22×14=224知答案D3.將圖(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD[如圖(2)],則在空間四面體ABCD中,AD與BC的位置關系是()A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.異面且垂直 D.異面但不垂直解析在圖(1)中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則AD⊥BC,翻折后如圖(2),AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段均與AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC,選C.答案C4.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F,G分別為棱A1D1,A1A,A1B1的中點,下列命題中正確的是()⊥B1C∥平面EFG⊥平面EPGD.異面直線FG,B1C所成角的大小為π解析如圖,連接AD1,則EF∥AD1∥BC1,而BC1⊥B1C,則EF⊥B1C,故A正確;∵BC1∥EF,EF?平面EFG,BC1?平面EFG,∴BC1∥平面EFG,故B正確;A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E,∴A1C⊥平面EFG,故C正確;FG∥AB1,∴∠AB1C為異面直線FG,B1C所成角,連接AC,可得△AB1C為等邊三角形,則∠AB1C=π3,即異面直線FG,B1C所成角的大小為π3,故D錯誤.故選答案ABC5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長相等,側棱垂直于底面,點D是側面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C所成角的大小是()° ° ° °解析如圖,取BC的中點E,連接AE,則AE⊥平面BCC1B1.故∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角.設各棱長為a,則AE=32a,DE=12∴tan∠ADE=3.∴∠ADE=60°.答案C6.如圖,三條相交于點P的線段PA,PB,PC兩兩垂直,點P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于點H,則垂足H是△ABC的()A.外心 B.內心C.垂心 D.重心解析∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB.又∵AB?平面PAB,∴AB⊥PC.又∵AB⊥PH,PH∩PC=P,∴AB⊥平面PCH.又∵CH?平面PCH,∴AB⊥CH.同理BC⊥AH,AC⊥BH.∴H為△ABC的垂心.答案C7.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AD1異面且與AD1所成的角為90°的面對角線(面對角線是指正方體各個面上的對角線)共有條.

解析與AD1異面的面對角線分別為A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角為90°.答案18.等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內,若AC與α所成的角為30°,則斜邊上的中線CM與α所成的角為.

解析如圖,設C在平面α內的射影為O點,連結AO,MO,則∠CAO=30°,∠CMO就是CM與α所成的角.設AC=BC=1,則AB=2,∴CM=22,CO=1∴sin∠CMO=COCM∴∠CMO=45°.答案45°9.△ABC的三個頂點A,B,C到平面α的距離分別為2cm,3cm,4cm,且它們在α的同側,則△ABC的重心到平面α的距離為.

解析如圖,設A,B,C在平面α上的射影分別為A',B',C',△ABC的重心為G,連接CG并延長交AB于中點E,又設E,G在平面α上的射影分別為E',G',則E'∈A'B',G'∈C'E',EE'=12(A'A+B'B)=52,CC'=4,CG∶GE=2在直角梯形EE'C'C中,取GC,G'C'中點H,H',設GG'=x1,HH'=x2,則x1=x2+522,答案3cm10.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M為AC的中點.(1)求證:PM⊥平面ABC;(2)求直線BP與平面ABC所成的角的正切值.(1)證明∵PA=PC,M為AC的中點,∴PM⊥AC.①又∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AM=MC=MB=12AC=5在△PMB中,PB=13,MB=5.PM=PC2-∴PB2=MB2+PM2,∴PM⊥MB.②由①②可知PM⊥平面ABC.(2)解∵PM⊥平面ABC,∴MB為BP在平面ABC內的射影,∴∠PBM為BP與底面ABC所成的角.在Rt△PMB中tan∠PBM=PMMB11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°.G為線段PC上的點.(1)證明:BD⊥平面APC;(2)若G為PC的中點,求DG與平面APC所成角的正切值;(3)若G滿足PC⊥平面BGD,求PGGC的值(1)證明設點O為AC,BD的交點.由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分線段AC.所以O為AC的中點,BD⊥AC.又因為PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC.(2)解連接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,則DG在平面APC內的射影為OG,所以