概率統(tǒng)計常見題型與方法總結

..常見大題：全概率公式和貝葉斯公式問題B看做"結果",有多個"原因或者條件"可以導致B這個"結果"發(fā)生,考慮結果B發(fā)生的概率,或者求在B發(fā)生的條件下,源于某個原因的概率問題全概率公式：貝葉斯公式：一〔12分今有四個口袋,它們是甲、乙、丙、丁,每個口袋中都裝有只紅球和只白球。先從甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再從乙口袋中任取一只球放入丙口袋,然后再從丙口袋中任取一只球放入丁口袋,最后從丁口袋中任取一球,問取到紅球的概率為多少？解表示從第個口袋放入第個口袋紅球,表示從第個口袋中任取一個球為紅球,2分則,2分2分依次類推2分二〔10分袋中裝有只正品硬幣,只次品硬幣〔次品硬幣的兩面均印有國徽,在袋中任取一只,將它投擲次,已知每次都出現國徽,問這只硬幣是次品的概率為多少？、解記={取到次品},={取到正品},={將硬幣投擲次每次都出現國徽}則,,―—５分三、〔10分一批產品共100件,其中有4件次品,其余皆為正品。現在每次從中任取一件產品進行檢驗,檢驗后放回,連續(xù)檢驗3次,如果發(fā)現有次品,則認為這批產品不合格。在檢驗時,一件正品被誤判為次品的概率為0.05,而一件次品被誤判為正品的概率為0.01?！?求任取一件產品被檢驗為正品的概率；〔2求這批產品被檢驗為合格品的概率。解設表示"任取一件產品被檢驗為正品",表示"任取一件產品是正品",則,,,〔1由全概率公式得〔2這批產品被檢驗為合格品的概率為四、在電報通訊中不斷發(fā)出信號‘0’和‘1’,統(tǒng)計資料表明,發(fā)出‘0’和‘1’的概率分別為0.6和0.4,由于存在干擾,發(fā)出‘0’時,分別以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’,以0.2的概率收為模糊信號‘’；發(fā)出‘1’時,分別以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’,以概率0.1收到模糊信號‘’。〔1求收到模糊信號‘’的概率；〔2當收到模糊信號‘’時,以譯成哪個信號為好？為什么？解設="發(fā)出信號",="收到信號"。由題意知,,,?！?由全概率公式得4分。2分〔2由貝葉斯公式得,3分3分隨機變量函數的分布及其邊緣密度及其獨立性的判斷記住如下知識點：常見分布律和概率密度：一般正態(tài)分布的計算轉化為標準正態(tài)分布去做：連續(xù)隨機變量X:二維隨機變量的分布函數：聯合密度：掌握如下解決隨機變量函數分布的解題方法：對于二維隨機變量函數的概率密度,注意：除了求隨機變量Z=X+Y的密度函數用公式：注意：先寫出聯合密度:,根據聯合密度寫出

或者,在平面x0z或者y0z上畫出被積函數不為零的區(qū)域,然后穿線通過區(qū)域確定x的上下限。他的函數Z=g<X,Y>的概率密度,只能使用分布函數法其步驟如下：第一步求聯合密度:,根據聯合密度寫出或者第二步求z的分布函數：難點是畫出二重積分的積分區(qū)域,然后把二重積分化為二次積分定上下限,畫圖：先畫出被積函數也就是聯合密度非零的區(qū)域,再確定區(qū)域與密度非零區(qū)域的重合區(qū)域就是二重積分的積分區(qū)域,穿線定積分限：然后左右穿或者上下穿個積分區(qū)域定內限,求出分布函數第三步求密度函數：分析：一、設總體服從上的均勻分布,是來自總體的一個樣本,最大順序統(tǒng)計量,1．求隨機變量的概率密度；解：,其分布函數為而的分布函數為,二、〔10分設二維隨機變量的概率密度為〔1求常數的值；〔2求與的協(xié)方差。解〔1由,得〔2三〔16分設二維隨機變量的概率密度為求邊緣密度函數,；求邊緣分布函數,；判斷與是否相互獨立；求。<1>,當≤0時,=0,于是=0當＞0時,=,所以的邊緣概率密度為=的邊緣概率密度當≤0時,=0當＞0時=4分〔24分〔3獨立4分〔34分四〔１０分設隨機變量的概率密度為求隨機變量的分布函數。當時,當時,所以的分布函數為中心極限定理的問題：用正態(tài)分布近似計算共兩類：一類是二項分布的近似計算問題,即,這個公式給出了n較大時二項分布的概率計算方法。另一類是除二項分布之外的其他分布的獨立變量連加和的計算問題,設獨立同分布,近似有連加和服從正態(tài)分布：一、<14分>設糧倉內老鼠的數目是一個服從泊松分布的隨機變量,且倉內無鼠的概率為?！?寫出隨機變量的分布律；〔2試用中心極限定理計算,在200個同類糧倉內老鼠總數超過350只的概率。解〔1；5分〔2表示任意老鼠個數,由中心極限定理3分3分3分二、〔１０分某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20%,以表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜而向保險公司索賠的數。〔1寫出的概率分布；〔2求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。[解]〔1,,〔2,根據棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理三〔10分某銀行的柜臺替每一位顧客的服務時間〔單位：分鐘服從參數的指數分布,且各位顧客的服務時間是相互獨立的,試用中心極限定理計算,對100位顧客的總服務時間不超過240分鐘的概率。解設分別表示每一位顧客的服務時間,則它們相互獨立相同分布,且-------------------------------5分點估計的問題：矩估計和似然估計似然函數的構造：例題分析：一、設總體的概率密度為是未知參數,是來自的樣本,1．求的矩估計量；矩估計法:,令,=>求的最大似然估計量；判斷,是否為無偏估計解：最大似然估計法：設為樣本的觀察值,則似然函數為,按似然估計的思想,當似然函數關于是增函數,故。的最大似然估計量為。二〔10分設為樣本,總體的概率密度為求參數的最大似然估計量；問它是否為的無偏估計量解設是相應的樣本值,則似然函數為=令為無偏估計量三、設是總體的樣本,的概率密度為其中.求和的最大似然估計量。設是的樣本值,則似然函數,當〔時,,令顯然,第二個等式是矛盾等式,所以由上述似然方程求不出和.由于,這表明是的嚴格遞增函數,注意到〔,因此當時最大.于是和的最大似然估計值,,于是和的最大似然估計量為,.四、〔10分設總體X的概率密度為其中是未知參數。設為總體的樣本?！?求參數的最大似然估計量；〔2判斷是否為的無偏估計量。解〔1設是的觀測值,則似然函數為,。令,得,解得的最大似然估計量為〔2由于,是的無偏估計量。五〔10分設電池的壽命服從指數分布,其概率密度為其中為未知參數,今隨機抽取5只,測得壽命如下：1150,1190,1310,1380,1420求電池的平均壽命的最大似然估計值。解似然函數,3分3分令得2分2分六、設總體X的概率密度為其中是未知參數.設為總體的樣本.求參數的矩估計量和最大似然估計量.解矩估計且,令,則從而的矩估計量最大似然估計設是的樣本觀測值,則似然函數為.取對數得,令,得,解得,所以,的最大似然估計量為.七、．設總體的分布律為,,其中為未知參數。現抽得一個樣本：,,,求參數的矩估計值和極大似然估計值。解,由,即,得參數的矩估計值為統(tǒng)計量的分布判斷問題：主要利用性質：獨立正態(tài)分布的線性組合還是正態(tài)分布三大分布的定義：例題分析：一、設是正態(tài)總體的樣本,1．試問服從什么分布〔指明自由度？且獨立,2．假定,求的分布。,,,又和相互獨立,故＝二．設是來自正態(tài)總體的樣本,分別記為的樣本均值和樣本方差,求的分布。解,,且與相互獨立,所以,由于,且與相互獨立,因此由分布的定義得三、,.<1>證明都是的無偏估計量；〔2判斷中哪一個估計量更有效.利用卡方分布：四設是來自正態(tài)總體的樣本,記,,,求統(tǒng)計量的分布？設為X的樣本,求統(tǒng)計量的分布.六、．設總體,是X的樣本,統(tǒng)計量,〔服從分布,求參數的值和的分布的自由度。解由,得且相互獨立,即,且相互獨立。于是且相互獨立。所以當時,該分布的自由度為2。假設檢驗和區(qū)間估計的題目類型：記住正態(tài)總體的抽樣分布定理,弄懂上分位數的含義,在密度曲線圖上用分位數給出各個分布的大概率區(qū)域和小概率區(qū)域能夠從圖上用分位數標出各種分布的雙側小概率區(qū)域和單側小概率區(qū)域,,。1〔10分某工廠生產銅線,根據長期積累的數據知,銅線的折斷力服從正態(tài)分布,方差為。今從某天生產的銅線中隨機抽取根,測得折斷力如下：,問該天生產的銅線折斷力與以往比較,其波動性有無顯著變化？檢驗假設,統(tǒng)計量,則當為真時,,拒絕域為或?，F在,,由于,即該天生產的銅線折斷力與以往比較,其波動性無顯著變化。2〔8分在某磚廠生產的一批磚中,隨機地抽取6塊,測量其抗斷強度<單位MPa>分別為3.3663.1063.2643.2873.1223.205設磚的抗斷強度服從正態(tài)分布,問能否認為這批磚的平均抗斷強度是3.250MPa？〔顯著性水平、解3分檢驗統(tǒng)計量,拒絕域3分算得2分接受3〔10分某化工廠一天中生產的化學制品產量〔單位：噸服從正態(tài)分布,今測得5天的產量分別為785,805,790,790,802。問是否可以認為日產量的均值顯著小于800？〔取解假設檢驗統(tǒng)計量-----------------------5分拒絕域,接受--4.是來自正態(tài)總體的樣本,其中參數和均未知,對于參數的置信度為的置信區(qū)間,試問當減少時該置信區(qū)間的長度如何變化？答：則μ的置信度為1－α的置信區(qū)間置信區(qū)間的長度,當樣本容量給定時,減小的值會增大的值,相應地變長。5、〔10分某燈泡生產車間為考察燈泡的壽命,從生產的一批燈泡中隨機抽取25只,測得平均壽命小時,標準方差小時。假設燈泡的壽命服從正態(tài)分布,〔1求總體方差的置信水平為95%的置信區(qū)間；〔2在顯著性水平條件下能否認為這批燈泡的平均壽命為2000小時？解〔1,,,。的置信水平為95%的置信區(qū)間為〔2在檢驗水平為5%的條件下檢驗假設,選取檢驗統(tǒng)計量,當原假設時,；該假設檢驗問題的拒絕域為由條件得由于,因此接受原假設,即在檢驗水平為5%的條件下可以認為這批燈泡的平均壽命為2000小時。6.假設某種產品來自甲、乙兩個廠家,為考查產品性能的差異,現從甲乙兩廠產品中分別抽取了8件和9件產品,測其性能指標X得到兩組數據,經對其作相應運算得假設測定結果服從正態(tài)分布,1．在顯著性水平下,能否認為？2．求的置信度為90%的置信區(qū)間,并從置信區(qū)間和假設