決策理論的基本模型講義

第三講：決策理論的基本模型

主要內(nèi)容：1.決策的基本模型2.個(gè)體偏好假設(shè)

3.效用存在性定理4.相關(guān)問題討論

1.決策的基本模型

不確定性下的決策通?？捎孟率鰞蓚€(gè)模型之一描述。1）概率模型(ProbabilityModel)；2）狀態(tài)變量模型(State-variableModel)。在每一種模型中，我們所說的決策者都是在彩票(lotteries)中進(jìn)行選擇的人，兩者的區(qū)別僅在于其對(duì)彩票的定義不同。在概率模型中，彩票是彩金的概率分布；而在狀態(tài)變量模型中，彩票是從可能狀態(tài)集到彩金集的函數(shù)。這兩個(gè)模型各自有其最為合適的應(yīng)用領(lǐng)域。概率模型適用于描述彩金依賴于具有明顯客觀概率的事件這一類的賭博，我們稱這樣的事件為客觀未知(objectiveunknowns)事件。這類賭博有安斯庫姆和奧曼(1963)的“輪盤彩票”(roulettelotteries)和奈特(Knight，1921)的“風(fēng)險(xiǎn)”(risk)等。例如，依賴于擲一枚勻質(zhì)的硬幣、輪盤的自旋，或者從裝有同樣大小而顏色不同的球的甕中隨機(jī)地抽取一個(gè)球(各色球的總體已知)之類的賭博都可以用概率模型充分地描述。在概率模型中，用到一個(gè)重要的假定是：

就決策的目的而言，具有相同概率分布的兩個(gè)客觀未知是完全等價(jià)的。例如，如果用“以各自l／2的概率得到100美元或0美元的彩金”來描述一張彩票，我們假定彩金是由擲一枚勻質(zhì)的硬幣來決定還是由從一個(gè)裝有50個(gè)白球和50個(gè)黑球的甕中抽取一個(gè)球來決定，都是無關(guān)緊要的。許多事件不具有明顯的的概率，如一個(gè)未來來運(yùn)動(dòng)賽事的的結(jié)果或者股股票市場(chǎng)未來來的行情等，，這類事件我我們稱為主觀未知(subjectiveunknowns)事件。例如，安斯庫庫姆和奧曼(1963)的“賽馬彩票”(horselotteries)或奈特特(1921)的“不確確定性”(uncertainty)都相當(dāng)于于是依賴主觀觀未知事件的的賭博。上述事件可用用狀態(tài)變量模模型來描述，，因?yàn)樵撃Ｐ托驮试S我們描描述彩金是如如何由不可預(yù)預(yù)見事件決定定的，而不必必事先對(duì)這些些事件明確其其概率。對(duì)于任何一個(gè)個(gè)有限集Z，用表表示集Z上的概率分布布集，即用X表示決策者最最終可能獲得的彩彩金(prize)所組成的的集；用表表示示可能的狀態(tài)(state)所組成的的集，其中之之一將是世界界真實(shí)狀態(tài)(truestateoftheworld)。。為了簡化描述述，我們假定定X和兩兩者都是有限限集。我們將彩票定定義為某個(gè)函函數(shù)f，對(duì)X中的每個(gè)彩金金s和中的的每個(gè)狀態(tài)t，f都給出一個(gè)非非負(fù)實(shí)數(shù)，，使得得對(duì)中中的每個(gè)t都有令L表示所所有這這樣的的彩票票所組組成的的集合合，即即對(duì)中中的任任一狀狀態(tài)t和L中的任任一彩彩票f，表表示在在狀態(tài)態(tài)t下由f確定的的X上的概概率分分布，，即因此，，這里里的每每個(gè)數(shù)數(shù)都都可以以被理理解為為：若t是世界界真實(shí)實(shí)狀態(tài)態(tài)，則則由彩彩票f得到彩彩金x的客觀觀條件件概率率是。為使上上述解解釋合合乎情情理，，狀態(tài)必必須被被定義義得足足夠的的廣泛泛，以致致于包括所所有可可能影影響到到彩金金獲得得的主主觀未未知事事件。從而，，一旦旦確定定了狀狀態(tài)，，余下下的只只是客客觀概概率，，而對(duì)于任任何一一個(gè)規(guī)規(guī)范界界定的的賭博博而言言，其其可能能彩金金集的的客觀觀概率率分布布總是是可以以被計(jì)計(jì)算出出來的的。因此，，我們們對(duì)彩彩票的的上述述規(guī)范范定義義，可用于于表示示任何何一個(gè)個(gè)彩金金既依依賴于于客觀觀未知知事件件又依依賴主主觀未未知事事件的的賭博博。所以以，概概率模模型和和狀態(tài)態(tài)變量量模型型中的的彩票票都只只是上上述彩彩票的的特例例。我們所所說的的彩金可可以是是任何何的商商品組組合或或資源源配置置。我們們假定定，定定義X中的彩彩金時(shí)時(shí)，已已經(jīng)使使得這這些彩金是是互不不相同同的，且窮盡了了決策策者各各種決決策的的可能能結(jié)果果。更進(jìn)一一步，，我們們假定定X中的一一個(gè)彩彩金表示了決策策者在由其其決策導(dǎo)致致的局勢(shì)中中他所關(guān)心心的各方面面的一個(gè)完完備描述。因而，給定決策者者關(guān)于世界界真實(shí)狀態(tài)態(tài)的任一信信息，他應(yīng)應(yīng)該能給出出其在彩票票集上的偏偏好序。決策者關(guān)于于世界真實(shí)實(shí)狀態(tài)可能能擁有的信信息可以用用一個(gè)事件件(event)來來描述，每個(gè)事件件都是的的一個(gè)非空空子集。用用表示所有事事件組成的的集，則對(duì)于L中的任意兩兩個(gè)彩票f和g，以及中中的的任一事件件S，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)，如果決決策者知道道了世界真真實(shí)狀念在在S中，則對(duì)他他來說，f至少是和g一樣的理想想選擇時(shí)，，則有也就是說，，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)決策者在在只知道事事件S已經(jīng)發(fā)生而而又必須在在f和g之間擇其一一時(shí)，選擇擇了彩票f，才有應(yīng)注意：對(duì)于中中任何何可能發(fā)生生的事件S，假定決策策者在彩票票集上都具具有定義完完善的偏好好。在決策理論論的一些論論述中，一一個(gè)決策者者的條件偏偏好是在做做任何觀察察之前，由由他所確定定的先驗(yàn)偏偏好(用貝貝葉斯公式式)推導(dǎo)而而來的，但但是，這種種推導(dǎo)不能能在先驗(yàn)概概率為0的的事件下給給出彩票的的優(yōu)劣關(guān)系系。在博弈論的的領(lǐng)域內(nèi)，，這一疏漏漏并不像看看上去那樣樣無關(guān)緊要要。Kreps和wilson，(1982)已經(jīng)證明明，一個(gè)理理性決策者者在觀察到到零概率事事件后的信信念和偏好好特征對(duì)分分析一個(gè)博博弈可能會(huì)會(huì)起到至關(guān)關(guān)重要的作作用。為了解釋釋上述定定義，考考慮從一一個(gè)甕中中取一個(gè)個(gè)球，甕甕中黑球球的比例例是，，白白球的比比例是(1－)。設(shè)想想若取出出的是黑黑球，則則決策者者賭f，而若取取出的是是白球，，則這個(gè)個(gè)決策考考將賭g。于是，如如果t是真實(shí)狀狀態(tài)，該該決策者者最終得得到彩金金x的概率是是因而，表示這個(gè)個(gè)基于f和g，并按照照這個(gè)隨隨機(jī)的彩彩票選擇擇過程而而生成的的復(fù)合彩票票。對(duì)任一彩彩金x，我們令令[x]表示示一個(gè)總總是肯定定給出彩彩金x的彩票。。即對(duì)每每個(gè)狀態(tài)態(tài)t有：2個(gè)體偏偏好假設(shè)一個(gè)理性決決策者的偏偏好所應(yīng)滿滿足的一些些基本性質(zhì)質(zhì)可以用以以下公理3.1～3.8表示示。公理3.1A(完完備性)：：公理3.1B(傳傳遞性)：：公理3.1A和3.1B斷定定了偏好在彩票集上上構(gòu)成完備備的傳遞序序。公理3.2(相關(guān)關(guān)性)：公理3.2斷言，只有可能狀狀態(tài)才是與與決策者相相關(guān)的，因此，給給定事件S，對(duì)于只在在S以外的狀態(tài)態(tài)有所不同同的兩個(gè)彩彩票對(duì)決策策者而言將將是無差異異公理3.3(單調(diào)調(diào)性)：公理3.3認(rèn)為：得到一個(gè)較較好的彩票票的概率總總是越高越越好。公理3.4(連續(xù)性性)：基于公理3.3、公公理3.4可以認(rèn)為為：總是隨著增增大而連續(xù)續(xù)地變得越越來越好，，因此，對(duì)偏好次序序介于f和h之間的任一一彩票，總總存在某個(gè)個(gè)由f和h隨機(jī)化產(chǎn)生生的一個(gè)復(fù)復(fù)合彩票與與之一樣好好。公理3.5A(客觀觀替代性)：公理3.5B(嚴(yán)格格客觀替代代性)：：公理3.6A(主觀觀替代性)：公理3.6B(嚴(yán)格格主觀替代代性)：：替代性公理理(也被稱稱為獨(dú)立性性公理或肯肯定性公理理)在下述述意義上或或許是公理理系中最最重要的——個(gè)：即使沒有其其他的公理理，替代性性公理也能能對(duì)決策者者偏好應(yīng)具具有的性質(zhì)質(zhì)產(chǎn)生很強(qiáng)強(qiáng)的限制。。上述公理表表達(dá)了這樣樣的思想：：即如果決策策者必須在在兩個(gè)選擇擇中取其一一，又存在在兩個(gè)互斥斥事件且其其中之一必必然發(fā)生，，而他在每每個(gè)事件下下都偏好于于第一個(gè)選選揮，那么么，在知道道哪個(gè)事件件發(fā)生之前前，他一定定偏好于第第一個(gè)選擇擇(否則，他他將表現(xiàn)出出一種偏好好，按照這這種偏好，，必然存在在某個(gè)事件件使得他在在知道該事事件是真實(shí)實(shí)的之后，，他肯定想想顛倒偏好好順序而偏偏好于第二二個(gè)選擇)。公理3.7(利害性性)：公理3.7要求決策者絕不不會(huì)對(duì)所有有的彩金都都是無差異異的。該公理只是是一個(gè)正則則性條件以以保證在每每個(gè)狀態(tài)下下決策者都都會(huì)多少有有點(diǎn)利害關(guān)關(guān)系發(fā)生。。公理3.8(狀態(tài)中中性)：：公理3.8斷言，決策者在世世界所有狀狀態(tài)下對(duì)客客觀賭博總總是具有相相同的偏好好序。如果上述公公理不成立立，那是因因?yàn)橥瑯拥牡牟式鹪诓徊煌臓顟B(tài)態(tài)下可以有有不同的評(píng)評(píng)價(jià)值。3.3效效用存在性性定理上的一個(gè)條條件概率函函數(shù)(conditional-probabilityfunction)是是任何一個(gè)個(gè)這樣的函函數(shù)：它能對(duì)中中的每每個(gè)狀態(tài)t和每個(gè)事件件S都具體指定定非負(fù)的條條件概率，，且使使得給定任一這這樣的條件件概率函數(shù)數(shù)，有定理公公理3.1～3.7同時(shí)滿滿足的充要要條件是存存在一效用用函數(shù)和一個(gè)條件件概率函數(shù)數(shù)使得(3.1)式、、(3.2)式和(3.3)式成立。。定理3.2公理3.1～3.8同時(shí)滿足足的充要條條件是：式式(3.1)～(3.3)對(duì)一個(gè)狀狀態(tài)獨(dú)立的的效用函數(shù)數(shù)也成立。。為了能在實(shí)實(shí)踐中應(yīng)用用上述結(jié)論論，我們需需要一個(gè)對(duì)對(duì)所有x、t和S來確定效用用和概率的的程序。。雷費(fèi)(1968)證證明：上述述程序確實(shí)實(shí)存在，它它們構(gòu)成了了實(shí)際決策策分析的基基礎(chǔ)。2.4相相關(guān)問題討討論1）決策者者的目標(biāo)決策者追求求期望效用用最大化而而非期望貨貨幣最大化化?？疾霦llsberg游戲。。連續(xù)擲一枚枚勻質(zhì)的硬硬幣，直到到出現(xiàn)反面面為止。若若連續(xù)出現(xiàn)現(xiàn)正面的次次數(shù)為n，則擲硬幣幣者可得元元現(xiàn)現(xiàn)金。Ellsberg游游戲的期望望現(xiàn)金收益益趨于無窮窮大，但現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中很少少有人愿意意出較大的的一筆錢（（如50元元）去玩該該游戲。2）貝葉葉斯決策模模型的不足足（1）效用用函數(shù)的不不適用性。?？疾煲粋€(gè)著著名的悖論論——Allais悖論。這此人或許許感到1200萬美美元明顯地地好于100萬美元元，所以，，與與相相比，彩彩金低些的的彩票即使使中彩概率率稍稍高一一點(diǎn)也是沒沒有吸引力力的。另一方面，，它們寧可可按受，，中肯定的的100萬萬美元，而而不愿意接接受，，即即以1％的的概率一無無所獲作為為代價(jià)去換換取10％將其其彩金從100萬美美元提高到到1200萬美元的的誘惑。上述偏好無法法用任何效用用函數(shù)去解釋釋。這是因?yàn)闉椋海?）主觀概概率的不適用用性?？疾煜铝秀Ｕ撜摗猂aiffa悖論論。假設(shè)A表示美州隊(duì)將將在下一次全全明星賽(美美國棒球賽事事)中獲勝這這個(gè)狀態(tài)，而而N表示聯(lián)盟隊(duì)將將在下一次全全明星賽中獲獲勝這個(gè)狀態(tài)態(tài)(假設(shè)這兩兩個(gè)隊(duì)中間必必然有一個(gè)隊(duì)隊(duì)在全明星賽賽中獲勝)。。許多對(duì)美國捧捧球賽幾乎一一無所知的人人都表示如下下偏好：也就是說，他他們將嚴(yán)格地地偏好通過擲擲一枚公正的的硬幣并以100美元賭賭正面朝上勝勝于以100美元賭全明明星賽中哪個(gè)個(gè)隊(duì)會(huì)獲勝。。這樣的偏好好是不能用上上任何何主觀概率分分布來解釋的的。由于中中至少有一個(gè)個(gè)狀態(tài)的發(fā)生生概率必定大大于或等于0.5，故賭賭這個(gè)狀態(tài)下下勝隊(duì)所給出出的期望效用用一定至少與與賭擲一枚公公正的硬幣所所給出的期望望效用一樣大大。事實(shí)上，注意意（3）決策模模型的不適用用性?？疾炜崧馗ニ够ｃＵ摗１容^下列選擇擇情形。情形A：你準(zhǔn)準(zhǔn)備觀看戲劇劇表演，為此此你已經(jīng)花40美元買了了一套票，在在你將到劇院院之際，突然然發(fā)覺票從口口袋中丟失了了，你必須決決定是再花40美元去另另買一套票(還有類似座座位的票出售售)還是簡單單地回家。情形B：你準(zhǔn)準(zhǔn)備到劇院觀觀看演出，票票的價(jià)格是每每套40美元元，你沒有事事先買好票，，而在臨行時(shí)時(shí)放了40美美元在口袋中中，在你將到到劇院之際，，突然發(fā)覺錢錢從你的口袋袋中丟失了，，你必須決定定是用賒帳卡卡(尚在)買買票還是簡單單地回家。正如卡尼尼曼和特特弗斯基基所指出出的，大大多數(shù)人人都說在在情形A中他們們會(huì)簡單單地回家家，但在在情形B中會(huì)買買票。然然而，在在這兩種種情形的的每一種種情形中中，由兩兩個(gè)選擇擇所得到到的最后后結(jié)果都都是：要要么觀看看演出并并支出了了80美美元，要要么沒有有觀看演演出而支支出了40美元元。對(duì)于現(xiàn)有有的決策策模型（（即期望望效用最最大化）），只要要它假定定在這兩兩種情形形中，決決策者所所關(guān)心的的所有因因素只是是貨幣財(cái)財(cái)富水平平和戲劇劇消費(fèi)水水平，都都不可能能對(duì)這樣樣的行為為做出解解釋。3.凸凸出擾動(dòng)動(dòng)分析某給定決決策問題題的一個(gè)個(gè)擾動(dòng)(perturbation)就是是任何另另一個(gè)(在某種種意義上上)與之之非常相相似的決決策問題題。對(duì)任何一一個(gè)給定定的決策策問題，，如果實(shí)實(shí)際面臨臨這個(gè)決決策問題題的人很很可能會(huì)會(huì)采取其其在某個(gè)個(gè)擾動(dòng)決決策問題題中一樣樣的行動(dòng)動(dòng)，我們們就說這這個(gè)擾動(dòng)動(dòng)是凸出出的(salient)。當(dāng)人們發(fā)發(fā)現(xiàn)某個(gè)個(gè)決策問問題難以以理解而而且擾動(dòng)動(dòng)情形又又與他們們通常體體驗(yàn)的情情形很相相像時(shí)，，這個(gè)決決策問題題的特定定擾動(dòng)可可能也是是凸出的的。如果我們們能對(duì)個(gè)個(gè)人決策策問題的的凸出擾擾動(dòng)進(jìn)行行預(yù)測(cè)，，那么在在這個(gè)凸凸出擾動(dòng)動(dòng)中最大大化決策策者期望望效用的的決策可可能會(huì)是是對(duì)其行行為的一一個(gè)準(zhǔn)確確預(yù)測(cè)。。重新考慮慮前述賭賭美國全全明星賽賽哪個(gè)隊(duì)隊(duì)會(huì)獲勝勝的問題題。假設(shè)以下下彩票集集被無增加加信息地地提供給給決策者者，也就就是當(dāng)決決策者被被提供上上述選項(xiàng)項(xiàng)時(shí)，沒沒有關(guān)于于狀態(tài)集集中真實(shí)實(shí)狀態(tài)的的任何新新的信息息。在一般情情況下，，人們只只有在擁擁有一些些特殊信信息或信信念時(shí)才才去打賭賭。因此此，對(duì)于于某個(gè)對(duì)對(duì)棒球賽賽知之其其少的人人來說，，當(dāng)有人人提供給給他的打打賭選項(xiàng)項(xiàng)中有賭賭美州隊(duì)隊(duì)勝這個(gè)個(gè)選擇時(shí)時(shí)，他通通常會(huì)認(rèn)認(rèn)為：對(duì)對(duì)方（賭賭項(xiàng)提供供者）有有信息表表明美州州隊(duì)可能能會(huì)輸。。因此，一一個(gè)去賭賭全明星星賽中某某方獲勝勝的機(jī)會(huì)會(huì)應(yīng)該(由貝葉葉斯公式式)讓一一個(gè)對(duì)棒棒球賽一一無所知知的人降降低其對(duì)對(duì)該方獲獲勝的主主觀概率率，因此此他可能能更愿意意去賭一一枚公正正的硬幣幣。在受控實(shí)實(shí)驗(yàn)中，，實(shí)驗(yàn)對(duì)對(duì)象被盡盡可能無無信息地地提供賭賭項(xiàng)，其其至被告告知這些些賭項(xiàng)是是無附加加信息地地提供的的。但這這會(huì)被實(shí)實(shí)驗(yàn)對(duì)象象認(rèn)為是是很不自自然的，，以致實(shí)實(shí)驗(yàn)對(duì)象象反而會(huì)會(huì)以為：：實(shí)驗(yàn)人人員只會(huì)