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文檔簡介
一、n維空間n維空間:表示為:一般地,設(shè)n為一個取定的正整數(shù),n元有序?qū)崝?shù)組的全體所構(gòu)成的集合.12:56:2417.2多元函數(shù)的基本概念n維空間中的點:n元有序數(shù)組其中,數(shù)稱為該點的第i個坐標.n維空間中兩點間的距離:
注:當n=1,2,3時,上式即是數(shù)軸、平面及空間
兩點間的距離
.其中,點為和12:56:242一、n維空間
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密碼:123456jx47.2多元函數(shù)的基本概念12:56:24曲面平面二次曲面一般方程空間直角坐標系空間解析幾何復習12:56:24球面柱面橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面圓錐面雙曲拋物面67.2多元函數(shù)的基本概念12:56:24
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7.2多元函數(shù)的基本概念12:56:247
一、多元函數(shù)的基本概念
二、多元函數(shù)的極限
三、多元函數(shù)的連續(xù)性目的要求
1.了解平面區(qū)域、點的鄰域、開區(qū)域與閉區(qū)域等概念
2.理解多元函數(shù)的概念,會求二元函數(shù)的定義域重點1.二元函數(shù)的概念2.二元函數(shù)的連續(xù)性的概念
3.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)7.2多元函數(shù)的基本概念12:56:248
在一元函數(shù)的微積分中,所討論的對象都是一元函數(shù)y=f(x),即函數(shù)只依賴于一個自變量。
在數(shù)學上,這種由多個因素才能確定的變量,就是多元函數(shù)。
但在很多實際問題中,往往牽涉到多方面的因素,反映到數(shù)學上,就是一個變量依賴于多個變量的情形。12:56:2497.2多元函數(shù)的基本概念
一元函數(shù)的定義域是在數(shù)軸上討論,一般是一個區(qū)間(開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間)。平面上進行討論,二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域在幾何上表示一個平面區(qū)域。量多了一個,它的定義域很自然地要擴充到但是對于二元函數(shù)而言,由于自變二、平面區(qū)域12:56:24107.2多元函數(shù)的基本概念(不包含圓周),為半徑的圓的內(nèi)部d為一正數(shù),d1、鄰域(一)平面區(qū)域二、平面區(qū)域去心鄰域,稱為點鄰域,(neighborhood)12:56:2411E的邊界。2、區(qū)域(region)(boundary)12:56:2412例:2、區(qū)域(region)12:56:2413
如果點集E內(nèi)任意兩點都能用全屬于E的折線或曲線連接起來,則稱E為連通的.
連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域.(5)連通:(6)區(qū)域:例如,例如,區(qū)域及其它的邊界所成的集合稱為閉區(qū)域.2、區(qū)域(region)12:56:2414例例為無界開區(qū)域.區(qū)域區(qū)域(7)有界與無界區(qū)域:否則稱E為無界區(qū)域.為有界閉區(qū)域.2、區(qū)域(region)12:56:2415注:n維空間中鄰域、區(qū)域等概念內(nèi)點、邊界點、區(qū)域等概念也可定義.鄰域:2、區(qū)域(region)12:56:2416
導言:多元函數(shù)是多元函數(shù)微積分學研究的對象.同一元函數(shù)類似對于多元函數(shù)也有極限、連續(xù)等基本概念.三、多元函數(shù)的概念在多元函數(shù)中的推廣,它與一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容類似且密切相關(guān),在這部分內(nèi)容的學習中應(yīng)注意與一元函數(shù)的對比.在研究方法上把握一般與特殊之間辯證關(guān)系.這些內(nèi)容作為一元函數(shù)12:56:24177.2
多元函數(shù)的基本概念矩形面積S與長x,寬y之間關(guān)系為其中長x和寬y是兩個獨立的變量,
例2著名的生產(chǎn)函數(shù)為,這里為常數(shù),S=xy(x>0,y>0)例1矩形面積S
有惟一確定值對應(yīng).當x,y
的值取定后,內(nèi),在它們變化范圍Q就
有惟一確定的值相對應(yīng).值取定后,當K,L的Q是一個依賴于K和L的變化而變化的量.Q表示產(chǎn)量,分別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量,在西方經(jīng)濟學中,三、多元函數(shù)的概念12:56:24187.2多元函數(shù)的基本概念其中稱為自變量,設(shè)D為中的一個非空點集,zDyxzf記為實數(shù)z的取值范圍稱為值域,記為的變化范圍D稱為函數(shù)的定義域,量,z稱為因變又記為記為f:D→R,二元函數(shù),則稱映射f為定義在D上的一確定的實數(shù)z與之對應(yīng),都有惟使得對于D中每一個有序?qū)崝?shù)對射f,若有一個映1.定義三.多元函數(shù)的概念12:56:2419類似地可定義三元及三元以上函數(shù).定義域D(f)、對應(yīng)法則f函數(shù)的表示法:(1)二元顯函數(shù)z=f(x,y)(2)二元隱函數(shù)F(x,y,z)=0確定函數(shù)的兩要素:多元函數(shù).三.多元函數(shù)的概念12:56:2420
2.二元函數(shù)的定義域
當用某個解析式表達二元函數(shù)時,凡是使解析式有意義的自變量所組成的平面點集為該二元函數(shù)的定義域,例1解所以函數(shù)的定義域為xy二元函數(shù)的定義域通常為平面區(qū)域.要使函數(shù)有意義須滿足有界閉區(qū)域三.多元函數(shù)的概念(自然定義域)12:56:2421例2解函數(shù)的定義域為要使函數(shù)有意義須滿足無界開集
2.二元函數(shù)的定義域12:56:2422例3解要使函數(shù)有意義,必須故所求定義域為有界閉區(qū)域
2.二元函數(shù)的定義域12:56:2423Solution.Solution.例4例5換元法12:56:2424
3.二元函數(shù)的幾何圖形
設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D.平面上的投影.而定義域D正是這曲面在Oxy該幾何圖形通常是一張曲面.這個點集稱為二元函數(shù)的圖形.得到空間點集D上的一切點時,當(x,y)
取遍確定空間一點這樣,就對應(yīng)的函數(shù)值為點對于任意取定的D一元函數(shù)表示
x
y平面上的一條曲線y=f(x)12:56:2425例2例1
3.二元函數(shù)的幾何圖形12:56:2426例4圖形如右圖.例3如右圖,為球面.單值分支:
3.二元函數(shù)的幾何圖形12:56:24274.多元函數(shù)的定義一個自變量.兩個自變量.三個自變量.n個自變量.n元函數(shù)在幾何上表示n+1維空間上的一般曲面.三.多元函數(shù)的概念12:56:2428注意
(1)
多元函數(shù)也有單值函數(shù)和多值函數(shù),如在討論過程中通常將其拆成幾個單值函數(shù)后再分別加以討論.(2)
多元函數(shù)也有分段函數(shù),如(3)點函數(shù)u=f(P)能表示所有的函數(shù).(4)函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復合運算(略)三.多元函數(shù)的概念12:56:2429
(5)一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用,但有界性的定義仍然適用.三.多元函數(shù)的概念12:56:2430(2)
多元函數(shù)也有分段函數(shù),如(3)點函數(shù)u=f(P)能表示所有的函數(shù).(4)函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復合運算(略)四.多元函數(shù)的極限
設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點的某一去心方式趨于定點
時,或記作的極限,則稱A為函數(shù)z=f(x,y)常數(shù)
A,
函數(shù)值f(x,y)
趨于一個確定如果動點
P(x,y)
在該鄰域內(nèi)以任意鄰域內(nèi)有定義,1.定義(一)二元函數(shù)的極限(二重極限)12:56:2431指當P(x,y)以任意方式與方向趨于定點P0(x0,y0),二元函數(shù)極限的說明:
(2)對于二元函數(shù)極限的不存在,以不同路徑趨于點時,
在某一路徑上點P(x,y)
趨于點的極限不存在,則可以斷定函數(shù)在點的極限不存在.特征.即極限趨近方式具有任意性于A.
函數(shù)都無限接近(1)對于二元函數(shù)極限的存在是或函數(shù)趨于不同的值;則有若當點P(x,y)(兩種路徑)四.多元函數(shù)的極限12:56:2432
例1考察函數(shù)在處的極限是否存在.
xy
-1.0-0.5-0.200.20.51.0-1.00.000.600.921.000.920.600.00-0.5-0.600.000.721.000.720.00-0.60-0.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.000.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920.5-0.600.000.721.000.720.00-0.601.00.000.600.921.000.920.600.00做出函數(shù)在點附近的函數(shù)值表,如下函數(shù)在處的極限不存在.四.多元函數(shù)的極限
12:56:2433
例1證明函數(shù)在處的極限不存在.讓沿直線而趨于,它將隨k的不同而具有不同的值.極限不存在.證則有因此,四.多元函數(shù)的極限12:56:2434例2討論函數(shù)解
當P(x,y)沿x
軸趨于(0,0)時,
當P(x,y)沿y軸趨于(0,0)時,當(x,y)→(0,0)時的極限。三.多元函數(shù)的極限12:56:2435當P(x,y)沿
y=kx()趨于(0,0)時,.當k取不同值時,取不同值,三.多元函數(shù)的極限12:56:2436確定極限不存在的方法:
(2)找兩種不同趨近方式,此時也可斷言),(yxf在點若極限存在,但兩者不相等,例3證明不存在.處極限不存在.12:56:2437例3證明不存在.證取其值隨k的不同而變化,故極限不存在.確定極限不存在的方法:12:56:2438不存在.觀察播放確定極限不存在的方法:12:56:24392.二元函數(shù)極限的計算
對于未定型,不再有L`Hospital法則,須化成確定型.
二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有類似的性質(zhì)與運算法則.
計算二元函數(shù)的極限時,常把二元函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限問題,再利用四則運算法則、夾逼定理、作變量代換、兩個重要極限、無窮小替換、對函數(shù)作恒等變換約去零因子、還可利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性.
三.多元函數(shù)的極限12:56:2440解:例4
求2.二元
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