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文檔簡介
一、等可能概型二、典型例題三、幾何概率四、小結(jié)第四節(jié)等可能概型(古典概型)1.定義一、等可能概型(古典概型)
設(shè)試驗E的樣本空間由n個樣本點構(gòu)成,A為E的任意一個事件,且包含
nA
個樣本點,則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計算公式稱此為概率的古典定義.
3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1
設(shè)袋中有4只白球和
2只黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只球,求這2只球都是白球的概率.解基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為(2)有放回地摸球問題2
設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為課堂練習1o
電話號碼問題
在7位數(shù)的電話號碼中,第一位不能為0,求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.
2o
骰子問題
擲3顆均勻骰子,求點數(shù)之和為4的概率.4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無限問題1
把
4個球放到
3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設(shè)每個杯子可放任意多個球.
4個球放到3個杯子的所有放法因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為(2)每個杯子只能放一個球問題2
把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,求第1至第4個杯子各放一個球的概率.解第1至第4個杯子各放一個球的概率為2o
生日問題
某班有20個學生都是同一年出生的,求有10個學生生日是1月1日,另外10個學生生日是12月31日的概率.
課堂練習1o
分房問題
將張三、李四、王五3人等可能地分配到3間房中去,試求每個房間恰有1人的概率.解二、典型例題在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有例3
在1~2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?
設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”,則所求概率為解于是所求概率為例4將
15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的概率是多少?解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù):(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為例5
某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.
假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777
故一周內(nèi)接待12次來訪共有小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四進行的共有故12次接待都是在周二和周四進行的概率為例6
假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個人中至少有2人生日相同的概率.64個人生日各不相同的概率為故64個人中至少有2人生日相同的概率為解說明我們利用軟件包進行數(shù)值計算.定義
當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且任意一點落在度量(長度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為說明當古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個時,就歸結(jié)為幾何概型.三、幾何概型
那么
兩人會面的充要條件為例7
甲、乙兩人相約在0到T這段時間內(nèi),在預(yù)定地點會面.先到的人等候另一個人,經(jīng)過時間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解故所求的概率為若以x,y
表示平面上點的坐標,則有例8
甲、乙兩人約定在下午1時到2時之間到某站乘公共汽車,又這段時間內(nèi)有四班公共汽車,它們的開車時刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定(1)見車就乘;(2)最多等一輛車.求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達車站的時刻是互相不牽連的,且每人在
1時到2時的任何時刻到達車站是等可能的.見車就乘的概率為設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達的時刻,則有解最多等一輛車,甲、乙同乘一車的概率為蒲豐投針試驗例9
1777年,法國科學家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗問題.平面上畫有等距離為a(a>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b(b<a)的針,試求針與某一平行直線相交的概率.解蒲豐資料由投擲的任意性可知,這是一個幾何概型問題.蒲豐投針試驗的應(yīng)用及意義歷史上一些學者的計算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長時間試驗者利用蒙特卡羅(MonteCarlo)法進行計算機模擬.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出最簡單的隨機現(xiàn)象古典概型
古典概率
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