高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)圓錐曲線單元測試

...wd......wd......wd...高二年單元考試試卷〔圓錐曲線〕一、選擇題〔60分〕1．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，那么雙曲線的漸近線方程為〔〕A.B.C.D.2．平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、.假設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，其中、，且，那么點(diǎn)的軌跡方程為A.B.C.D.3．拋物線上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，那么焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是〔〕A.4B.8C.16D.324．橢圓的離心率是，那么它的長軸長是〔〕A.1B.1或2C.2D.2或45．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的等軸雙曲線的焦點(diǎn)為，此雙曲線上一點(diǎn)滿足，那么的面積為〔〕A.B.C.D.6．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，那么直線的斜率為〔〕A.B.C.D.7．點(diǎn)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是〔〕A.2B.C.0D.18．橢圓〔〕上存在一點(diǎn)滿足，為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，那么橢圓的離心率的范圍是〔〕A.B.C.D.9．把離心率的曲線稱之為黃金雙曲線．假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，以虛半軸長為半徑畫圓，那么圓與黃金雙曲線〔〕A.無交點(diǎn)B.有1個(gè)交點(diǎn)C.有2個(gè)交點(diǎn)D.有4個(gè)交點(diǎn)10．，那么方程是與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖形可能是(〕ABCD11．設(shè)直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，假設(shè)，那么的值為〔〕A.B.C.D.12．橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，那么的最大值是〔〕A.B.C.2D.3二、填空題(20分)13．是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)．假設(shè)為的中點(diǎn)，那么____________．14．拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，假設(shè)△為等邊三角形，那么＝________15．橢圓離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為16，那么橢圓的方程為_______________16．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線與相交于兩點(diǎn)，與軸相交于，假設(shè)，那么橢圓的離心率等于.三、解答題17〔10分〕．設(shè)命題：方程表示雙曲線；命題：斜率為的直線過定點(diǎn)且與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．假設(shè)是真命題，求的取值范圍．18〔12分〕．〔1〕橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為4，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！?〕雙曲線過點(diǎn),且漸近線方程為,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。19〔12分〕．雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)。(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的A，B兩點(diǎn)，求AB的長。20〔12分〕．過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1時(shí)，.〔1〕求拋物線的方程；〔2〕假設(shè)直線的斜率為2，問拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，并說明理由.21〔12分〕．橢圓過點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①如果直線的斜率與的斜率之和為2，證明：直線恒過定點(diǎn).22〔12分〕．橢圓的離心率為，點(diǎn)，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕直線：被圓：所截得的弦長為，假設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．參考答案1．D【解析】由題得c=5,那么，即a=3,所以雙曲線的漸近線方程為，即，應(yīng)選D2．C【解析】設(shè),那么因此,選C.3．B【解析】∵橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，∴該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10，拋物線的準(zhǔn)線方程為，∴應(yīng)選B．4．D【解析】把橢圓方程轉(zhuǎn)化為：分兩種情況：①時(shí)橢圓的離心率那么：解得：m=進(jìn)一步得長軸長為4②時(shí)橢圓的離心率，那么：長軸長為2應(yīng)選：D點(diǎn)睛：在橢圓和雙曲線中，焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，勿忘分類討論.5．D【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為,因?yàn)檫^點(diǎn),所以從而,選D.6．A【解析】令y=1,代入，得，即,由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F(1,0),所以直線的斜率為，應(yīng)選A【答案】A【解析】橢圓，即為，那么橢圓的，那么由為的中線，即有，那么，可設(shè)，那么，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值，那么的最小值為，應(yīng)選A.8．C【解析】設(shè)，那么由得，因?yàn)?，所以，選C.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建設(shè)關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.9．D【解析】由題意知，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以圓與黃金雙曲線的左右兩支各有2個(gè)交點(diǎn)，即圓與黃金雙曲線由4個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)選D.10．A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當(dāng)和同號(hào)時(shí)，拋物線開口向左，方程表示橢圓，無符合條件的選項(xiàng)，當(dāng)和異號(hào)時(shí)，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，應(yīng)選A.11．B【解析】設(shè)，因?yàn)椋杂蓲佄锞€定義得，選B.12．A【解析】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實(shí)軸長為，那么根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：,，設(shè),那么，在中根據(jù)余弦定理可得到化簡得：該式可變成：,應(yīng)選點(diǎn)睛：此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，運(yùn)用基本知識(shí)點(diǎn)結(jié)合此題橢圓和雙曲線的定義給出與、的數(shù)量關(guān)系，然后再利用余弦定理求出與的數(shù)量關(guān)系，最后利用基本不等式求得范圍。13．【解析】如以下列圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，作與點(diǎn)，與點(diǎn)，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為，那么，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故．點(diǎn)睛:拋物線的定義是解決拋物線問題的根基，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)展等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化．14．【解析】由拋物線可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由于△為等邊三角形，設(shè)AB與y軸交于M,FM=P,,即，填。【點(diǎn)睛】對(duì)于圓錐曲線要先定位，再定量，此題的拋物線焦點(diǎn)是在y軸正半徑。所以求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，再把準(zhǔn)線方程與雙曲線組方程組算出B點(diǎn)坐，再由等邊三角形，可解的P,15．【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，故邊長為4，在橢圓上，，∴橢圓方程為：故答案為：16．【解析】試題分析：連接，∵，為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，又，∴.∴.設(shè)，那么，，∴.考點(diǎn)：橢圓離心率.【方法點(diǎn)晴】此題考察的是橢圓的幾何性質(zhì)〔離心率問題〕，屬于中檔題.此題的切入點(diǎn)就在原點(diǎn)上，利用平行關(guān)系，推出點(diǎn)也是中點(diǎn)，從而思路豁然開朗.解析幾何的中心思想就是數(shù)形結(jié)合，善于抓圖像的性質(zhì)，是解好解析幾何題的關(guān)鍵所在，特別是小題.離心率問題是重點(diǎn)題型，主要思路就是想方設(shè)法去建設(shè)的等或者不等的關(guān)系即可.17．【解析】試題分析：〔1〕命題p中式子要表示雙曲線，只需，對(duì)于命題q：直線與拋線有兩上不同的公共點(diǎn)，即設(shè)直線與拋物線方程組方程組，只需，解出兩個(gè)不等式〔組〕中k的范圍，再求出交集。試題解析：命題真，那么，解得或，命題為真，由題意，設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，要使得直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，需滿足，解得且假設(shè)是真命題，那么所以的取值范圍為18．〔1〕〔2〕【解析】試題分析：〔1〕由，先確定的值，進(jìn)而求出，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程〔2〕由可得雙曲線焦點(diǎn)在軸上且，將點(diǎn)代入雙曲線方程，可求出，即得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程試題解析：〔1〕由橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為4，得，即〔2〕試題分析：由雙曲線漸近線方程可知雙曲線方程可設(shè)為，代入點(diǎn)得，所以雙曲線方程為考點(diǎn)：雙曲線方程及性質(zhì)19．〔1〕〔2〕【解析】試題分析：〔1〕由橢圓過點(diǎn)(，0)得a，再由離心率求c，最后根據(jù)勾股數(shù)求b;〔2〕先根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線l方程，再與雙曲線聯(lián)立方程組，消y得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長公式求AB的長試題解析：〔1〕因?yàn)殡p曲線C：的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，所以，即〔2〕經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線l：與雙曲線聯(lián)立方程組消y得，由弦長公式解得點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求法計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.涉及中點(diǎn)弦問題往往利用點(diǎn)差法20．〔1〕；〔2〕存在點(diǎn).【解析】【試題分析】〔1〕運(yùn)用拋物線的定義建設(shè)方程求出；〔2〕借助題設(shè)條件建設(shè)方程，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系得到方程，通過對(duì)判別式的研究發(fā)現(xiàn)有解，即所設(shè)的點(diǎn)存在：解：〔1〕由拋物線的定義可得，故拋物線方程為；〔2〕假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)，那么設(shè)直線代入可得設(shè)，那么。因?yàn)椋敲从桑?，即，也即，所以，由于判別式，此時(shí)，那么存在點(diǎn)，即存在點(diǎn)滿足題設(shè)。21．(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：(1)由題意得到a,b的值即可確定橢圓方程；(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理分類討論即可證得題中的結(jié)論.試題解析：〔1〕由題意可得：，那么橢圓的方程為〔2〕設(shè)，直線方程為，，得：由韋達(dá)定理：，，由題意可知，即∴即∴或當(dāng)時(shí)，直線方程恒過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，直線方程恒過定點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意舍去，綜上所述，直線恒過定點(diǎn).點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建設(shè)一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建設(shè)有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22．〔1〕〔2〕當(dāng)，即時(shí)，面積取到最大值1．【解析】試題分析：利用離心率可以得出的關(guān)系，化為的關(guān)系，再利用的面積列出的方程，借助解出，寫出橢圓方程，聯(lián)立方程組，化為關(guān)于的一元二次方程，利用設(shè)而不求思想，借助根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長公式表示出弦長，寫出面積，利用換元法和配方法求出最值.試題解析：〔1〕由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，那么，所以，即