【人教A版】高中數(shù)學必修5同步輔導與檢測：第三章3.4第1課時基本不等式(含答案)

第三章不等式3.4基本不等式：qabwa2~b第1課時基本不等式 高效演練知能提升 A級基礎鞏固一、選擇題.下列各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是( )A.lg(x2+1)Alg(2x) B.x2+1>2xC.1xC.1x2+11 1cD.x+->2x解析：對于A,當xW0時，無意義，故A不恒成立；對于B,當x=1時，x2+1=2x,故B不成立；對于D,當x<0時，不成立.對TOC\o"1-5"\h\zc - 1于C,x2+1A1,所以1―：W1成立，故選C.答案：C.若a>0,bA0且a+b=2,則( ). .1 _ . 1A.ab<2 B.abn2C,a2+b2>2 D.a2+b2<3解析：因為a2+b2A2ab,所以(a2+b2)+(a2+b2)n(a2+b2)+2ab,即2(a2+b2)A(a+b)2=4,所以a2+b2>2.答案：C3.四個不相等的正數(shù)所以a2+b2>2.答案：C3.四個不相等的正數(shù)a,b,c,d成等差數(shù)列，則(A.a+d~^TbcbcC.a+d

~^T=bca+d 一B.-2-<bcca+d—D.-2~<bc解析：因為a,b,c,d成等差數(shù)列，則a+d=b+c,又因為a,b,c,d>0且不相等，b,c,d>0且不相等，所以b+c>2Vbc,故a+d>bc.答案：Aa,b6R,則a2+b2與21abi的大小關系是( )A,a2+b2>2|ab| B.a2+b2=2|ab|C,a2+b2<2|ab| D.a2+b2>2|ab|解析：因為a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2>0,所以a2+b2n21abi(當且僅當|a|=|b|時，等號成立).答案：A.設f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(Vab),q=fa-2^>r=2(f(a)+f(b)),則下列關系式中正確的是( )q=r<pC.p=r<qq=r<pC.p=r<qq=r>pD.p=r>qa+b——解析：因為0<a<b,所以一廠>Yab,又因為f(x)=lnx在(0,十°°)上為增函數(shù),

故fa-2-b>f(Vab),即q>p.「 1. 1 11 1又r=2(f(a)+(b))=2(lna+Inb)=glna+萬Inb=ln(ab)2=f(\'ab)=p.故p=r<q.選C.答案：C二、填空題.設正數(shù)a,使a2+a-2>0成立，若t>0,貝成logatloga'吳(填“尸n"y或V)解析：因為a2+a—2>0,所以a>1或a<—2(舍)，所以y=logax是增函數(shù)，t+1廠 t+1 廠1又一2-A\t,所以lOga-2->loga>/t=2logat.答案：<.已知a,b€R,如果ab=1,那么a+b的最小值為;如果a+b=1,那么ab的最大值為.a+b ——解析：因為a,b6R,所以-2~n、ab,所以a+b>2\ab=2.故當ab=1時，a+b取最小值2,止匕時a=b=1.又當a+b=1Bt,\：ab<又當a+b=1Bt,\：ab<―2-=2.所以ab<4.

一1答案：241.右0<a<b且a+b=1,試判斷萬，a、b、2ab、a2+b2的大小順序.解析：因為0<a<b,a+b=1,TOC\o"1-5"\h\z~， 1所以a<2<b2ab<a2+b2F面尋找②中數(shù)值在①中的位置.a+b 1因為a2+b2>2(—2-)2=2，a2+b2=aa+b2<ab+b2=(1—b)b+b2=b,… 1cc所以5ca2+b2<b.a+b1 1又2ab<2(-2-)2=2,2ab>2x2a=a,1 1所以a<2ab<].所以a<2abe2ca2+b2<b.，— 1 0 °答案：a<2ab<1<a2+b2<b三、解答題9.已知a,b,c為正數(shù),證明:2b+3c—aa+3c—2ba+2b—3c

a+9.已知a,b,c為正數(shù),證明:>3.證明：左式=2b3ca3ca2b2ba

a+a-+2b+2b—1+3c+3c-1=a+2b證明：左式=3ca3c2b 2ba3ca3c2bo+7+3C+2b+金-3>2\la2b+2\a3c+2\2b3c-3=3,當且僅當a2=4b2=9c2,即a=2b=3c時，等號成立.10.已知a,b,c為不全相等的正實數(shù)，則abc=1.求證:— — 求證:— — -111va+vb+vc<a+b+c.證明：因為a,b,c都是正實數(shù)，且abc=1,以上三個不等式相加，得以上三個不等式相加，得21+h+r>2(Va+Vb>+Vc),ac111即也+4b+，c<a+b+c.B級能力提升1.若a>b>0,則下列不等式中總成立的是（ ）A2aba+bA2aba+br—J〈一痛a+br2abB『EAab-a+bt-a+bt2abC.^>Vab>a7b2aba+bD.朝<aZb〈亍a+ba+b解析：a>b>0,-2->\ab,怎"<3^=a.從而g">Vab

a+b2ab 2

2aba+b答案：C1),.已知a、b都是正實數(shù)，函數(shù)y=2aex+b的圖象過點（0,1),則1+1的最小值是ab 解析：依題意得2aex+b=2a+b=1,1+1=1+1（2a+b尸abab' /3+a+2a、八八3+a+~rn3+2、/--—=b ab3+2\2,當且僅當b=2f,即a=1-平,ab 2b=\2-1時取等號，因此1+1的最小值是3+2\2.ab答案：3+22.設a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1.證明:(1)ab+bc+ac<1;3證明：(1)由a2+b2n2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca.得a2+b2+c2>ab+bc+ca.由題設得（a+b+c）2=1,即a2+