《0°45°60°角的三角函數(shù)值》設(shè)計(jì)

30°，45°，60°角的三角函數(shù)值課題30°，45°，60°角的三角函數(shù)值授課人教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能1.記住特殊角(30°，45°，60°)的三角函數(shù)值；2.能由特殊角求三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求角度.3.了解互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)思考在探究特殊角的三角函數(shù)值的基礎(chǔ)上既要會(huì)由角度求三角函數(shù)值，又要會(huì)由三角函數(shù)值求角度，同時(shí)注意思考角的度數(shù)的變化引出的三角函數(shù)值的變化．問題解決通過觀察、測(cè)量直角三角形的30°，45°，60°角的各邊的長(zhǎng)度，探究出特殊角的三角函數(shù)值，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．情感態(tài)度培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力和探究問題的能力，體驗(yàn)三角函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值．教學(xué)重點(diǎn)特殊角的三角函數(shù)值.教學(xué)難點(diǎn)準(zhǔn)確計(jì)算由特殊角的三角函數(shù)組成的式子的值．授課類型新授課課時(shí)1課時(shí)教具多媒體教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧1.已知：如圖23－1－62，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sinA＝__eq\f(a,c)__，cosA＝__eq\f(b,c)__，tanA＝__eq\f(a,b)__．圖23－1－62圖23－1－632.如圖23－1－63，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝2，那么c＝__4__，b＝__2_eq\r(3)__.學(xué)生回憶并回答，為本課的學(xué)習(xí)提供遷移或類比方法.活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課【課堂引入】1．設(shè)你手上的30°角的三角板的最短邊長(zhǎng)是1，則最長(zhǎng)邊長(zhǎng)是__2__，第三邊長(zhǎng)是eq\r(3)，那么sin30°＝__eq\f(1,2)__，cos30°＝__eq\f(\r(3),2)__，tan30°＝__eq\f(\r(3),3)__；sin60°＝__eq\f(\r(3),2)__，cos60°＝__eq\f(1,2)__，tan60°＝__eq\r(3)__．2．設(shè)你手上的45°角的三角板的直角邊長(zhǎng)是1，則斜邊長(zhǎng)是__eq\r(2)__，那么sin45°＝__eq\f(\r(2),2)__，cos45°＝__eq\f(\r(2),2)__，tan45°＝__1__.鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立解決問題，讓學(xué)生初步感受30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，同時(shí)讓學(xué)生根據(jù)三角板活記這些特殊角的三角函數(shù)值.活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知【探究1】如圖23－1－64，觀察一副三角板：圖23－1－64它們共有幾個(gè)銳角？分別是多少度？(1)sin30°等于多少？(2)cos30°等于多少？(3)tan30°等于多少？與同伴交流你是怎么想的，又是怎么做的．α30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)(5)sin45°，sin60°等于多少？(6)cos45°，cos60°等于多少？(7)tan45°，tan60°等于多少？【活動(dòng)總結(jié)】1.本探究的設(shè)計(jì)意圖在于引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究，合作交流，對(duì)具體問題從形象到抽象認(rèn)識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)．旨在培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，提高學(xué)生的抽象思維能力．同時(shí)不妨設(shè)兩個(gè)三角板的最短邊長(zhǎng)為單位1，推導(dǎo)出特殊角的三角函數(shù)值.2.對(duì)于特殊角的三角函數(shù)表，最好讓學(xué)生自己填寫，并記住.活動(dòng)二：實(shí)踐探究交流新知【探究2】已知銳角α，那么下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(A)(1)sinα的值比0大，但比1??；(2)tanα的值是正值；(3)0＜cosα＜1；(4)sin2α＋cos2α＝1.A．4B．3C．2D．1圖23－1－65[解析]把銳角α放在Rt△ABC中，如圖23－1－65，(1)∵sinα＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(BC,AB)＞0，BC＜AB，∴sinα＜1；(2)∵tanα＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(BC,AC)，∴tanα＞0；(3)∵cosα＝eq\f(AC,AB)＞0，AC＜AB，∴0＜cosα＜1；(4)∵sinα＝eq\f(BC,AB)，cosα＝eq\f(AC,AB)，BC2＋AC2＝AB2.∴sin2α＋cos2α＝eq\f(BC2,AB2)＋eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(BC2＋AC2,AB2)＝1.∴(1)(2)(3)(4)均正確，故選A.【活動(dòng)總結(jié)】1．互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系：sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．2．同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；tanα＝eq\f(sinα,cosα).教師深入到學(xué)生中對(duì)需要幫助的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo).3.同角的三角函數(shù)間的關(guān)系可針對(duì)學(xué)生的情況，酌情添加.活動(dòng)三：開放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用【應(yīng)用舉例】1．利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算例1計(jì)算：(1)2sin30°＋3cos60°＋tan45°＝__eq\f(7,2)__；(2)sin30°＋cos30°＝__eq\f(1＋\r(3),2)__；(3)eq\r(sin260°－2sin60°＋1)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－sin30°))＝__eq\f(3－\r(3),2)__．2．已知特殊角的三角函數(shù)值求銳角例2(1)已知sinA＝eq\f(1,2)，則∠A＝__30°__；(2)已知tanA＝1，則∠A＝__45°__；(3)已知cosB＝eq\f(1,2)，則∠B＝__60°__；(4)eq\f(\r(3),2)＝sin__60°__＝cos__30°__；1.熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答此類題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地計(jì)算此類問題，教學(xué)中要特別強(qiáng)調(diào)準(zhǔn)確．(5)已知β為銳角且eq\r(3)sin(β－15°)＝eq\f(3,2)，則β＝__75°__；(6)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)sinA－1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tanB－\f(\r(3),3)))＝0，∠A，∠B為△ABC的內(nèi)角且為銳角，則∠C＝__105°__；(7)已知α為銳角，且tan2α－(1＋eq\r(3))tanα＋eq\r(3)＝0，則α＝__45°或60°__．3．利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求三角函數(shù)值例3已知sinA＝eq\f(3,5)，∠A是銳角，求：(1)cosA；(2)tanA.解：(1)因?yàn)閟in2A＋cos2A＝1，所以cos2A＝1－sin2A.所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq\f(4,5).(2)因?yàn)閠anA＝eq\f(sinA,cosA)，所以tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(3,4).2.可以安排學(xué)生做些前邊的變式題，例3酌情講解.【拓展提升】例4計(jì)算：eq\f(1,sin60°－cos45°)＋eq\f(1,sin45°＋cos30°).[答案]4eq\r(3)例5[湛江中考]閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：sin30°＝eq\f(1,2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，則sin230°＋cos230°＝__1__；①sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，則sin245°＋cos245°＝__1__；②sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，則sin260°＋cos260°＝__1__；③…觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．④(1)如圖23－1－66，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對(duì)∠A證明你的猜想；(2)已知∠A為銳角(cosA＞0)且sinA＝eq\f(3,5)，求cosA.圖23－1－66圖23－1－67[解析]先具體計(jì)算，從計(jì)算中歸納出規(guī)律，再進(jìn)行證明，最后再加以運(yùn)用．解：(1)如圖23－1－67，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，例4通過復(fù)雜三角函數(shù)值的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致的計(jì)算能力．例5主要是借助特殊角的三角函數(shù)值培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和歸納探究能力.

(續(xù)表)活動(dòng)三：開放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用則BH2＋AH2＝AB2，sinA＝eq\f(BH,AB)，cosA＝eq\f(AH,AB)，∴sin2A＋cos2A＝eq\f(BH2,AB2)＋eq\f(AH2,AB2)＝eq\f(BH2＋AH2,AB2)＝1.(2)∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝eq\f(3,5)，∴cos2A＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(16,25).∵cosA>0，∴cosA＝eq\f(4,5).活動(dòng)四：課堂總結(jié)反思【當(dāng)堂訓(xùn)練】1.課本P118中的練習(xí)．2.課本P119中的練習(xí)．當(dāng)堂檢測(cè)，及時(shí)反饋學(xué)習(xí)效果.【課堂小結(jié)】特殊角的三角函數(shù)值表三角函數(shù)銳角αsinαcosαtanα30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系：sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出.【教學(xué)反思】①[