能量原理與變分法

能量原理與變分法§12-1外力功變形能外力功：彈性體在外力作用下發(fā)生變形，于是外力的作用點(diǎn)將沿外力的作用方向產(chǎn)生位移（相應(yīng)位移）。外力在相應(yīng)位移上所作的功稱為外力功。變形能：在外力作功的同時(shí)，彈性體因變形而具有了作功的能力，即彈性體因變形而儲(chǔ)存了能量。這種能量稱為變形能。外力功和變形能的關(guān)系：若外力從零平緩地增加到最終值，則變形中的彈性體每一瞬時(shí)都處于平衡狀態(tài)，故其動(dòng)能和其它能量損失不計(jì)，于是認(rèn)為全部外力共都轉(zhuǎn)變成變形能。即：能量法：利用外力功和變形能的概念，建立分析變形、位移、內(nèi)力的原理和方法，稱為能量法。2外力功的計(jì)算：§12-2外力功和變形能的計(jì)算F——廣義力

——廣義位移梁為非彈性體時(shí)：梁為彈性體時(shí)：在線彈性范圍內(nèi):3變形能的計(jì)算：

如果彈性體上作用幾個(gè)廣義力（包括力偶），產(chǎn)生相應(yīng)的廣義位移（包括角位移），那么非線性彈性體的變形能：線性彈性體的變形能：

克拉比隆（Clapeyron

）原理：彈性體的變形能等于廣義力與其相應(yīng)廣義位移乘積之半的總和。4?對(duì)于桿C先加再加特性1：計(jì)算U時(shí)不能用疊加原理。(a)(c)(b)例：現(xiàn)有a，b，c三根桿，已知其長(zhǎng)度l和剛度EA相等，

求：各桿的變形能。特性2：U只與載荷的最終數(shù)值有關(guān)；與加載方式無(wú)關(guān)。(a)(c)(b)對(duì)于桿C先加再加6

桿件在基本變形情況下的變形能：

變形形式外力功位移與力的關(guān)系變形能7組合變形情況下桿件的變形能：在所截取的微段內(nèi)，可以認(rèn)為內(nèi)力為常量。軸力、剪力、彎矩、扭矩對(duì)微段來(lái)說(shuō)是處于外力位置。所以整個(gè)桿的變形能注意：對(duì)以抗彎為主的桿件及桿系，因軸力和剪力遠(yuǎn)小于彎矩對(duì)變形的影響，所以在計(jì)算這類桿件的變形時(shí)通常不計(jì)軸力和剪力的影響。8思考：變形能的計(jì)算能不能用疊加原理9材料質(zhì)點(diǎn)（微單元體）能量原理與變分法靜力平衡變形幾何物理關(guān)系偏微分方程變分法整個(gè)變形體的能量積分方程（能量的變分為零）變分法是有限元方法的基礎(chǔ)變分法與微分方程的描述，兩者可以轉(zhuǎn)化10

靜力可能狀態(tài)物體Q，在內(nèi)部受體力(X，Y，Z)作用，在靜力邊界S上受面力(，，)作用

外力與內(nèi)力(應(yīng)力）處處（物體內(nèi)和邊界上）滿足平衡。11在物體內(nèi)滿足平衡微分方程在靜力邊界上滿足靜力邊界條件在位移邊界上，其反力由上式給出12在物體內(nèi)位移與應(yīng)變滿足幾何方程ud=vd=wd=在位移邊界Su上，滿足位移邊界條件變形協(xié)調(diào)變形可能狀態(tài)13靜力可能狀態(tài)（s）和變形可能狀態(tài)（d）是同一物體的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，兩者可以彼此完全獨(dú)立而沒(méi)有任何關(guān)系靜力可能狀態(tài)的應(yīng)力所給出的變形一般不滿足變形協(xié)調(diào)變形可能狀態(tài)給出的應(yīng)力一般不滿足平衡微分方程14

可能功原理外力（體力和面力，包括反力）在變形可能的位移上所做功

＝內(nèi)力（應(yīng)力）在變形可能的應(yīng)變上所做功15證明:散度定理16真實(shí)狀態(tài)（靜力可能狀態(tài)）虛位移狀態(tài)（變形可能狀態(tài)）虛位移（功）原理17外力虛功＝內(nèi)力虛功（1）虛功原理沒(méi)有涉及到物理方程，即沒(méi)有規(guī)定應(yīng)力與應(yīng)變之間的具體關(guān)系，因此，對(duì)彈性、塑性情況均適用。（2）虛位移原理完全等價(jià)于平衡微分方程和力邊界條件。使用可能功原理，并考慮到位移邊界上反力功為零18使用位移法求解，應(yīng)力、應(yīng)變等都通過(guò)幾何方程和物理方程看作是位移的函數(shù)。若位移及與之相應(yīng)的應(yīng)力與應(yīng)變滿足：（1）單值連續(xù)（由它給出的應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)條件），（2）位移邊界條件，（3）平衡微分方程，（4）靜力邊界條件，則該位移就是問(wèn)題的解，即為真實(shí)位移。

19僅滿足前兩個(gè)條件的位移場(chǎng)是變形可能的位移場(chǎng)，而后兩個(gè)條件等價(jià)于虛位移原理。故求解彈性力學(xué)問(wèn)題又可敘述為：

(1)在所有變形可能的位移場(chǎng)中，尋找所給出的應(yīng)力能滿足虛位移原理的位移場(chǎng)?；蛘?/p>

(2)真實(shí)的位移場(chǎng)除必須是變形可能的位移外，它所給出的應(yīng)力還應(yīng)滿足虛位移原理。20最小勢(shì)能原理

內(nèi)力虛功物體是彈性的，則單位體積內(nèi)的內(nèi)力虛功對(duì)于整個(gè)彈性體內(nèi)力虛功＝應(yīng)變能因虛位移而引起的改變21

外力虛功

如果作用的外力是保守力，大小和方向都不變，只是作用點(diǎn)的位置改變外力虛功＝外力勢(shì)能因虛位移而引起的改變22

稱為彈性體的總勢(shì)能，它是應(yīng)變能與外力勢(shì)能之和從彈性體的真實(shí)狀態(tài)出發(fā)產(chǎn)生虛位移，所引起的總勢(shì)能變分應(yīng)為零，即在真實(shí)狀態(tài)總勢(shì)能取極值。對(duì)于處于穩(wěn)定平衡的真實(shí)狀態(tài)，應(yīng)是取最小值，最小勢(shì)能原理：在所有變形可能的位移中，使總勢(shì)能達(dá)到最小值的位移，就是真實(shí)的位移。將上述結(jié)果代入虛功原理，得位移變分原理23（1）虛位移原理無(wú)論是彈性、還是塑性情況下都成立，但位移變分方程式僅對(duì)彈性保守系統(tǒng)有效。（2）變分與微分在數(shù)學(xué)上的意義等同都是指微小的變化，因此運(yùn)算方法相同，但它們的運(yùn)算對(duì)象不同：微分運(yùn)算中，自變量一般是坐標(biāo)等變量，因變量是函數(shù)。變分運(yùn)算中，自變量是函數(shù)，因變量是函數(shù)的函數(shù)，即數(shù)學(xué)上所謂的泛函?？倓?shì)能是位移函數(shù)的泛函。對(duì)泛函求極值的問(wèn)題，數(shù)學(xué)上稱之為變分法將求解彈性力學(xué)中偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解勢(shì)能變分問(wèn)題24（1）設(shè)滿足位移邊界的近似位移函數(shù)為 使用位移變分原理近似求解

=U＋V＝

(ak，bk，ck)

（2）求彈性體的總勢(shì)能 25

=ak＋bk＋＝0（3）總勢(shì)能變分為零，求待定系數(shù)26例題3用變分方法求簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的撓度解：（1）設(shè)位移函數(shù)為

w(x)=c1x(lx)+c2x2(l2x2)+

顯然，該撓度函數(shù)滿足位移邊界w(0)=

0，w(l)=0。（2）求總勢(shì)能 （3）求總勢(shì)能的極值27彈性力學(xué)基本方程一、平衡方程二、幾何方程三、本構(gòu)關(guān)系四、協(xié)調(diào)方程五、邊界條件(應(yīng)力,位移)位移應(yīng)力28虛位移原理

彈性體處于平衡狀態(tài)的必要與充分條件：對(duì)于任意的、滿足相容條件的虛位移，外力所做的功等于彈性體所接受的總虛變形功?？偺撟冃喂Γ簩?duì)于平面問(wèn)題：總外力虛功：29最小勢(shì)能原理在幾何可能的一切容