排列與組合公式整理查閱

排列數(shù)公式Anm=n(n1)(nm1)=！*，且mn)．n.(n，m∈N(nm)！注:規(guī)定0! 1.排列恒等式(1）Anm(nm1)Anm1;（2）AnmnAnm1;m3）AnmnAnm11;（4）nAnn Ann11 Ann;5）Anm1AnmmAnm1.(6) 1! 22! 33! nn! (n 1)!1.組合數(shù)公式Cnm=Anm=n(n1)(nm1)=n！(n∈N*，mN，且mn).Amm12mm！(nm)！組合數(shù)的兩個性質(zhì)Cnm=Cnnm;Cnm+Cnm1=Cnm1.注:規(guī)定Cn01.組合恒等式（1）Cnmnm1Cnm1;m（2）CnmnnCnm1;m（3）CnmnCnm11;nmCnr=2n;（4）r0（5）CrrCrr1Crr2Cn0C1nCn2C1nCn3Cn5C1n2Cn23Cn3(9)CmrCn0 Cmr1C1n

CnrCnr11.CnrCnn2n.Cn0Cn2Cn42n1.nCnnn2n1.Cm0rCnrCmrn.(10)(Cn0)2 (Cn1)2 (Cn2)2 (Cnn)2 C2nn.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系A(chǔ)nm m！Cnm.單條件排列以下各條的大前提是從n個元素中取m個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有Anm11種；②某（特）元不在某位有AnmAnm11（補集思想）An11Anm11（著眼位置）Anm1Am11Anm11（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：k(kmn)個元在固定位的排列有AkAmk種.knk②浮動緊貼：n個元素的全排列把k個元排在一起的排法有Annkk11Akk種.注：此類問題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有k、h個（kh1），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有AhAk1種.hh（3）兩組元素各相同的插空m個大球n個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當(dāng)nm1時，無解；當(dāng)nm1時，有Amn1Cmn1種排法.Ann（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為Cmnn.158．分配問題)將相異的m、n個物件等分給m個人，各得n件，其分配（1）(平均分組有歸屬問題方法數(shù)共有Nnnnnn(mn)!CmnCmnnCmn2nC2nCn(n!)m.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的m·n個物體等分為無記號或無順序的m堆，其分配方法數(shù)共有NCmnnCmnnnCmnn2n...C2nnCnn(mn)!m!m!(n!)m.（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm這m個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有NCpn1Cpn2n1...Cnnmmm!p!m!.n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm這m個數(shù)中分別有a、b、c、?個相等，則其分配方法數(shù)有NCpn1Cpn2n1...Cnnmmm!p!m!.a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分為任意的n1，n2，?，nm件無記號的m堆，且n1，n2，?，nm這m個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有Np!.n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分為任意的n1，n2，?，nm件無記號的m堆，且n1，n2，?，nm這m個數(shù)中分別有a、b、c、?個相等，則其分配方法數(shù)有Np!.n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的p（pn1+n2++nm）個物體分給甲、乙、丙，??等m個人，物體必須被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?時，則無論n1，n2，?，nm等m個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有NCpn1Cpn2n...Cnnmp!.1mn1!n2!...nm!159．“錯位問題”及其推廣貝努利裝錯箋問題 :信n封信與n個信封全部錯位的組合數(shù)為f(n)n![111(1)n1].2!3!4!n!推廣:n個元素與n個位置,其中至少有m個元素錯位的不同組合總數(shù)為f(n,m)n!Cm1(n1