數(shù)值分析第二章 插值法

第二章插值法§1引言

在生產(chǎn)和科研中出現(xiàn)的函數(shù)是多種多樣的，常遇到這樣的情況：在某個實際問題中，雖可斷定所考慮的函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上存在且連續(xù)，但卻難以找到它們的解析表達式，只能通過實驗和觀測得到在這有限個點上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表)來分析函數(shù)f(x)的性態(tài)，甚至直接求出其它一些點上的函數(shù)值可能是十分困難的。

在有些情況下，雖然可以寫出函數(shù)f(x)的解析表達式，但由于結(jié)構(gòu)相當復雜，使用起來很不方便。面對這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)復雜的解析表達式），構(gòu)造某個簡單函數(shù)P(x)作為

f(x)的近似。

插值法是解決這類問題的一種比較古老，然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實際和科學研究中，而且也是進一步學習數(shù)值分析計算方法的基礎(chǔ)。

插值函數(shù)類Φ的取法不同，所求得的插值函數(shù)p(x)逼近f(x)的效果就不同。而它的選擇主要取決于使用需要。常用的代數(shù)多項式、三角多項式和有理函數(shù)等。當選用代數(shù)多項式作為插值函數(shù)時，相應(yīng)的插值問題就稱為多項式插值。本章討論的即為此類問題。在多項式插值中，最常見、最基本的問題是：求一個次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式：使（2）（3）其中為變數(shù)意義同前滿足插值條件（3）的多項式（2）稱為函數(shù)f(x)在節(jié)點（i=0，1…n）

求函數(shù)f(x)的n次插值多項式的幾何意義是：通過曲線y=f(x)上的n+1個點（處的n次插值多項式。）（i=0,1…n）作一條n次代數(shù)曲線y=(x)作為曲線y=f(x)的近似。如下圖。設(shè)p(x)是形如（2）的插值多項式，用代表所有次數(shù)不超過n的

多項式集合，于是p(x)，所謂插值多項式p(x)存在唯一，就是

指在集合中有且只有一個p(x)滿足（3）。由（3）得：y0xba§2Lagrange插值一插值多項式的存在唯一性(4)

這是一個關(guān)于的n+1元線性方程組。

要證明插值多項式存在且唯一，只要證明方程組（4）存在唯一的解，也就是證明方程組（4）的系數(shù)行列式（5）不為零，式中稱為范德蒙（Vandermonde)行列式。

利用行列式性質(zhì)可得：定理1：若節(jié)點互不相同，則滿足插值條件（3）的n次插值多項式（2）存在且唯一。由定理1的證明可見，要求插值多項式p(x)，可以通過求方程組（4）的解:時由于，故所有因子，于是故方程組（4）存在唯一的一組解由此有結(jié)論：二線性插值與拋物插值得到。但這樣做不但計算復雜，而且難于得到P(x)的簡單表達式。為求得便于使用的簡單插值多項式p(x)，我們先討論n=1的情形。y0x要求線性插值多項式

假定已知區(qū)間（6）的線性組合得到的。其系數(shù)分別為（7）（點斜式）（兩點式）yx010xy1（j=k-1,k)

(j=k-1,k+1)(j=k,k+1)從而：同理可得：y10xy1xy01x定義1：若n次多項式(11)上面找的對n=1及n=2的情況，得到了一次與二次插值多項式(10)(12)(k=0,1…n)三拉格朗日插值多項式

四插值余項(15)(13)(14)（16）定理2：n=2，拋物插值的余項為：(17)

在許多情況下，直接用插值余項公式（16）來估計誤差是困難的。下面以線性插值為例，介紹另一種估計誤差的方法。(18)五插值誤差的事后估計法§3逐次線性插值法由（18）可見，可以通過兩個結(jié)果的偏差來估計插值誤差為克服這一缺點，通?？捎弥鸫尉€性插值方法求得高次插值。例如在前例中：則現(xiàn)在令表示函數(shù)關(guān)于節(jié)點的n-1次插值多項式，是零次多項式,,i1,…,in均為非負整數(shù)。一般地，兩k次插值多次式可通過線性插值得到（k+1）次插值多項式：(19)是關(guān)于x插值多項式，顯然

i=0，1，2~~~~~~k-1時而從而證明了插值多項式(19)滿足插值條件。我們稱(19)為AITKEN（埃特金）逐次線性插值多項式當k=0時為線性插值。k=1時插值節(jié)點為三點，公式為計算時可由k=0到k=n-1逐次求得所需的插值多項式。計算過程如下公式(19)也可以改成下面的計算公式(20)稱之為NEVILLE（列維爾）算法，計算過程如下從表上看每增加一個節(jié)點就計算一行，斜線上是1次到4次插值多項式的值，如精度不滿足要求，再增加一個節(jié)點，前面計算完全有效，這個算法適用于計算機上計算，且具有自動選節(jié)點并逐步比較精度的特點，程序也比較簡單。算例見教材(略）。

的線性組合，即可以把滿足插值條件P（xi）=yi的n次插值多項式寫成

由線性代數(shù)知，任何一個不高于n次的多項式都可以表示成函數(shù):§4均差與牛頓插值公式

其中ak(k=0,1,2…n)待定系數(shù)這種形式的插值多項式稱為NEWTON插值多項式。即牛頓插值多項式是插值多項式的另一種表示形式。與Lagrange插值多項式相比，它不僅克服了增加一個節(jié)點時整個計算工作必須重新開始的缺點，而且可以節(jié)省乘除法運算次數(shù)，另外，在牛頓插值多項式中用到的差分差商的概念又與數(shù)值計算的其他方面有著直接的關(guān)系。一向前差分與牛頓向前插值公式設(shè)函數(shù)f（x）的等距節(jié)點處的函數(shù)值f（xk）=yk為已知，h為正常數(shù)，稱為步長。稱倆個相鄰點xk+1與xk處函數(shù)值之差yk+1-yk為函數(shù)f（x）在點xk處以h為步長的一階向前差分（簡稱一階差分）記為從而函數(shù)f（x）在各節(jié)點處的一階差分依次是：又稱一階差分的差分為二階差分。一般的，定義函數(shù)f（x）在點x處的m階差分為:為便于計算常,采用下面表格形式計算差分在等距節(jié)點情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項式的系數(shù)，并將所得公式加以簡化。這是因為：由插值條件稱之為牛頓向前插值公式。則插值余項為:一般的，由可設(shè)：（利用歸納法證明）于是滿足插值條件的插值多項式為解：因0.12介于0.1與0.2之間。故取為求構(gòu)造插分表如下。表中各數(shù)依次是sinx在x=0.1處的函數(shù)值和各階差分。=0.09983+0.2X0.09884=0.11960若用線性插值求sin（0.12）的近似值有：牛頓向前插值公式適合于計算函數(shù)表表頭處附近的函數(shù)值。例：從給定的正弦函數(shù)表（見下表左邊倆列）出發(fā)計算sin(0.12)并估計截斷誤差。Sin(0.12)用二次插值得:用三次插值得因此很接近，且由插值表可以看出三階差分接近于常數(shù)，故取=0.11971為sin(0.12)的近似值此時由余項公式可知截斷誤差為：在等距節(jié)點下，還可以引入向后差分和中心差分。定義如下：y=f(x)在xk處以h為步長的一階中心差分和m階向后差分為二向后差分與牛頓向后插值公式y(tǒng)=f(x)在xk點處以h為步長的一階中心差分和m階中心差分:各階向后差分與中心差分的計算均可類似如向前差分，構(gòu)造向后差分與中心差分表來完成計算。

若將節(jié)點排列順序，則（1）可以寫為：利用向后差分也可用于構(gòu)造牛頓插值公式，導出類似牛頓向后插值公式。這是因為：利用插值公式的條件與導出（2）的方法類似可得一個向后差分表示的插值多項式：(其中

t<0),稱之為牛頓向后插值公式簡稱向后插值公式，（4）適合于計算函數(shù)值表表尾x處的函數(shù)值。例：已知函數(shù)表同上表，計算sin(0.58)的近似值，并估計截斷誤差.解：因x=0.58位于表尾附近，故用后插公式計算sin(0.58)的近似值。插值余項公式為:為了計算函數(shù)在處的各階向后差分，應(yīng)構(gòu)造向后差分表。但由向前向后差定義可見，對于同一函數(shù)表來說，構(gòu)造出來的向前差分向后差分再數(shù)值上完全相同，因此上表中的數(shù)據(jù)依次給出了sinx在x=0.6處的函數(shù)值和各階向后差分值。于是由后插公式（4）可得：因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進行計算，且由（5）可知截斷誤差為：三差商與牛頓基本多項式

與自變量之差

的比值設(shè)f(x)在一串互異點上的值依次表示為

當插值節(jié)點非等距分布時，就不能引入差分來簡化牛頓插值多項式。因此就要用到差商（又稱均差）這個新概念。,稱函數(shù)值之差為函數(shù)f(x)關(guān)于點的一階差商。記為一般的可用f(x)的m-1階差商定義f(x)的m階差商如下：

的二階差商記做如又稱為一階差商的差商為f(x)關(guān)于點又如：和計算差分類似，在計算差商時常采用表格形式如下所示：差商具有下列重要性質(zhì)：的線形組合表示

,且：（1）函數(shù)f(x)的m階差商可由函數(shù)值（2）差商具有對稱性，即任意調(diào)換差商的節(jié)點的次序，不會影響差商的值，例如引入差商的概念后可以像確定前插公式中的系數(shù)那樣逐步地確定（1）的系數(shù)：的n次插值多項式為：故滿足插值條件稱之為Newton的基本插值多項式。x一階均差二階均差

100101211114412解:利用此公式來計算非等距節(jié)點上的函數(shù)值?；静逯倒接嬎愕慕浦?。

Newton基本插值多項式的截斷誤差為：由表可見Newton基本插值多項式（6）中各系數(shù)依次為：故用線形插值所求的近似值為：用拋物插值所求的近似值為：這里所求結(jié)果與前面例中計算一致。但計算量卻明顯減少?？梢岳霉剑?）計算上例中的截斷誤差。是我們要計算的，故不能準確的計算出確值，只能作出一種估計，例如，當四階差商變化不大時

最后，我們指出，在帶有差商的差商型的插值公式中，為了計算差商需要進行多次除法，因此當節(jié)點等距時，應(yīng)當用差分代替差商，若節(jié)點是可以隨意取的，則自然應(yīng)當選為等距的。此外，利用差分作插值多項式，也要合理地決定差分的階數(shù)，以避免高階差分的誤差積累，而這種積累有時是很嚴重的。請看下例。例：求序列{0，0，0，，0，0，0}的差分表

表中僅有一個微小誤差，但在各階差分中，隨著差分的階數(shù)的增高，誤差影響增大很快，到了六階差分時，誤差積累已達.000000

通常差分階數(shù)選取的一般原則為，當差分表中的k階差分等于（或近似等于）0時，則插值多項式的差分階數(shù)只選取到k-1階。

上面討論差商時，節(jié)點彼此相異。下面引入帶重合節(jié)點的差商概念。若存在。則定義四帶重合節(jié)點的差商解：方法一：由于插值條件有5個，因此可令對于n+1個相同的節(jié)點，則定義利用帶重合節(jié)點差商的概念，為討論帶導數(shù)插值問題提供了一個方便的解決辦法。例：求一個次數(shù)不高于4的多項式P(x)使：（前一部分為Newton基本插值公式，后一部分為滿足導數(shù)要求及插值次數(shù)要求的最高形式）作差商表:0013339再利用題中給出的條件即可解方程組求出系數(shù)但此法很繁，不宜采用。方法三視重合節(jié)點為兩個節(jié)點，并注意可作差商表：可得出：A=1，B=0因此計算結(jié)果同方法二，但計算過程簡單得多。然后利用條件5，即P（3）=39定出A，但此過程不如方法三簡煉。另外，也可以用前面4個條件作出Hermite插值多項式H(x)，再

若由條件（1）直接求這2n+2個未知系數(shù)，其過程將非常復雜。因此，我們?nèi)圆捎肔agrange插值多項式的基函數(shù)方法。

不少實際問題不但要求在節(jié)點上的函數(shù)值相等，而且還要求它的導數(shù)值也相等，甚至高階導數(shù)也相等。滿足這種要求的插值多項式就是Hermite（埃爾米特）插值多項式?！?Hermite插值

下面只討論函數(shù)值與導數(shù)值個數(shù)相等的情況。設(shè)在節(jié)點從而滿足條件（1）的插值多項式H(x)=可寫成：(3)由條件（2）顯然下面就來求滿足條件（2）的基函數(shù)令：為此，利用Lagrange插值多項式

先求插值基函數(shù)每個基函數(shù)都是2n+1次多項式。滿足：(2)(4)由條件（2）有：整理得：同理可證(5)還可以證明滿足條件（1）的插值多項式是唯一的。定理：y=f(x)在插值區(qū)間[a,b]存在2n+2階導數(shù)。則Hermite插值公式的余項為：(6)利用反證法，設(shè)及上均有二重根，即有2n+2重根，但是不高于2n+1次的多項式。故。因此唯一性得證。均滿足條件（1）。由于在節(jié)點的二重零點。故對插值區(qū)間中任一定點x，可設(shè)此處k(x)為待定函數(shù)。令：有2n+3個零點.的二重零點，（二重零點按二個零點計）。利用洛爾定理:在插值區(qū)間[a,b]中是首項系數(shù)為1的2n+2次多項式，H(z)是2n+1次多項式，因此可取節(jié)點為插值多項式為滿足條件：作為帶導數(shù)的插值多項式（3）的重要特例是n=1的情形。這時相應(yīng)的插值基函數(shù)為它們滿足條件：由(4),(5)的一般形式可得：

于是滿足條件(7)的插值多項式是：插值余項例：求滿足的插值多項式及余項表達式。項式通過故其形式為：解：由給定條件可確定次數(shù)不超過3的插值多項式。由于此多其中A為待定系數(shù)，可由條件確定，通過計算可得：§7分段低次插值一多項式插值的問題-5實線虛線yx0圖2-11二分段線性插值三分段三次Hermite插值綜合示例X-2-10123-5111725X2.42.52.6f(x)0.0025-0.0484-0.0968Xy2.40.0025-0.05092.5-0.04840.00252.6-0.0968-0.0484X123y24123x

yf[0,1]f[0,1,2]f[0,1,2,3]122122435248312§8三次樣條插值一三次樣條插值函數(shù)的定義二邊界條件問題的提出與類型因此要定這4n個待定系數(shù)，還缺少兩個條件，這兩個條件常在插值區(qū)間[a,b]的邊界點a,b處給出，稱為邊界條件。雖然可利用方程組(1)和邊界條件求出所有待定系數(shù)從而得到三次樣條函數(shù)在的表達式，但這樣做工作量太大，不便于應(yīng)用，下面介紹一種簡便求法。設(shè)在節(jié)點處的二階導數(shù)為因為在子區(qū)間上是不高于三次的多項式，其二階導數(shù)必是線性函數(shù)（或常數(shù)），于是有：三三次樣條插值函數(shù)的求法

.在本例中，將代入整理后可得：故所求三次樣條插值函數(shù)為：上述三次樣條插值的基本思想和特點是：先利用一階導數(shù)在內(nèi)節(jié)點上的連續(xù)性以及邊界條件列出確定二階導數(shù)的線性方程組（力學上稱為三彎矩方組），由此解出，再用來表達S(x)。實際上，還可以通過別的途徑來求取三次樣條插值函數(shù)。如：可以先利用二階導數(shù)在內(nèi)節(jié)點上的連續(xù)性及邊界條件，列出確定一階導數(shù)的線性方程組（力學上稱為三轉(zhuǎn)角方程組），由此解出，再用表達S(x),在某些情況下，這種方法比前者更簡單適用，參見教材。

2.8正交多項式和最佳平方逼近

正交多項式是數(shù)值計算中的重要工具，這里只介紹正交多項式的基本概念、某些性質(zhì)和構(gòu)造方法。離散情形的正交多項式用于下節(jié)的數(shù)據(jù)擬合，連續(xù)情形的正交多項式用于生成最佳平方逼近多項式和下章的高斯型求積公式的構(gòu)造。它們在數(shù)值分析的其他領(lǐng)域中也有不少應(yīng)用。2.8.1離散點集上的正交多項式

設(shè)有點集，函數(shù)和在離散意義下的內(nèi)積定義為其中為給定的權(quán)數(shù)。在離散意義下，函數(shù)的2范數(shù)定義為(2.8.1)

有了內(nèi)積，就可以定義正交性。若函數(shù)和的內(nèi)積，則稱兩者正交。若多項式組在離散意義下的內(nèi)積滿足(2.8.2)(2.8.3)則稱多項式組為在離散點集上的帶權(quán)的正交多項式序列。下面給出離散點上正交多項式的構(gòu)造方法.

給定點集和權(quán)數(shù)，并且點集中至少有個互異，則由下列三項遞推公式

（2.8.4）給出的多項式序列是正交多項式序列，其中(2.8.5)

三項遞推公式（2.8.4）是構(gòu)造正交多項式的簡單公式，此外，還有其他的特殊的情形，這里，不進一步討論。

例2.10已知點集和權(quán)數(shù)試用三項遞推公式求關(guān)于該點集的正交多項式。解先令，由此得由此得從而有2.8.2連續(xù)區(qū)間上正交多項式

連續(xù)區(qū)間上的正交多項式的概念與離散點集上的正交多項式概念相似，只要將內(nèi)積的定義作相應(yīng)的改變。函數(shù)和在連續(xù)意義下的內(nèi)積定義為（2.8.6）其中的為給定的權(quán)函數(shù)。按連續(xù)意義下的內(nèi)積，若多項式組滿足條件(2.8.3)則稱它為區(qū)間上的帶權(quán)的正交多項式序列。

完全類似于離散情況下的正交多項式的構(gòu)造方法,連續(xù)區(qū)間上的正交多項式序列同樣可以由遞推公式(2.8.4)和(2.8.5)構(gòu)造,其中內(nèi)積按(2.8.6)式定義。

下面給出幾種常用的正交多項式。

(1)Legendre多項式。

Legendre多項式可由三項遞推公式(2.8.7)給出.它們是在區(qū)間上的帶權(quán)的正交多項式.前幾個Legendre多項式如下:它們的根都是在開區(qū)間上的單根,并且與原點對稱。(2)第一類Chebyshev多項式。第一類Chebyshev多項式可由三項遞推公式(2.8.8)它們的根都在開區(qū)間（-1，1）上的單根，并且與原點對稱。給出.它們是在區(qū)間上的帶權(quán)的正交多項式。前幾個第一類Chebyshev多項式如下:（3）Laguerre多項式。

Laguerre多項式可由三項遞推公式給出。它們是在區(qū)間[0，+∞)上帶權(quán)的正交多項式。前幾個Laguerre多項式如下:它們的根都是在區(qū)間（0，+∞）上的單根。(4)Hermite多項式Hermite多項式可由三項遞推公式給出。它們是在區(qū)間（-∞，+∞）上帶權(quán)的正交多項式。前幾個Hermite多項式如下：它們的根都在區(qū)間（-∞，+∞）上的單根，并且與原點對稱。2.8.3連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近

連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]上定義了內(nèi)積（2.8.6）就形成了一個內(nèi)積空間。在Rn空間中任一向量都可用它的線性無關(guān)的基表示，類似地，對內(nèi)積空間任一元素f(x)∈C[a,b]，也可用線性無關(guān)的基表示。

設(shè)在[a,b]上連續(xù)，如果當且僅當時成立，則稱在[a,b]上是線性無關(guān)的。對于函數(shù)組的線性無關(guān)性，有如下定理。

定理2.6

在[a,b]上線性無關(guān)的充要條件是它的Gramer行列式Gn≠０，其中

下面我們先討論在區(qū)間[a,b]上一般的最佳平方逼近問題。設(shè)是C[a,b]中的線性無關(guān)函數(shù)，記:對于f(x)∈C[a,b],若存在子集，使得

則稱是f(x)在子集中的最佳平方逼近函數(shù)。求等價于求多元函數(shù)的極小值。利用多元函數(shù)求極小值的必要條件有：按內(nèi)積的定義，上式可寫為這是關(guān)于ak的線性方程組，稱為法方程。由于線性無關(guān)，故（2.8.12）的系數(shù)矩陣非奇異，于是（2.8.12）有唯一解。從而得到該式滿足（2.8.11），即對任意，有事實上，由（2.8.12）知

因此，對任意，有，從而也有。于是這就證明了（2.8.14），從而也證明了f在子集

中的最佳平方逼近的存在唯一性。稱

(2.8.15)為平方誤差。

考慮特殊情形，設(shè)[a,b]=[0,1],。對于f∈C[a,b],在中最佳平方逼近多項式可以表示為相應(yīng)于法方程（2.8.12）中的系數(shù)矩陣為稱之為Hilbert矩陣例2.11設(shè)，求[0，1]上的一次最佳平方逼近多項式。平方誤差:

由于Hilbert矩陣是病態(tài)的（見后面的章節(jié)），用作基時，求法方程的解，舍入誤差很大。實用的辦法是采用正交多項式作基。解由于得方程組解得a0=0.934,a1=0.426。從而最佳平方逼近為

若是正交多項式組，則由（2.8.12）得。于是f(x)的最佳平方逼近多項式為。

例2.12設(shè)f(x)=ex,在[-1,1]上用Legendre多項式作f

的三次多次最佳平方逼近多項式。

解用Legendre多項式Pk(x)(k=0,1,2,3),可得:于是最佳平方逼近為。平方誤差2.9離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2.9.1最小二乘擬合對于已知的m+1的離散數(shù)據(jù)和權(quán)數(shù)，記。在連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]中選定n+1個線性無關(guān)的基函數(shù)，并記由它們生成的子空間。由求多元函數(shù)極值的必要條件有按內(nèi)積的定義，上式可寫為（2.9.3）這方程稱為法方程(或正規(guī)方程)。這里，

由于線性無關(guān)，故（2.9.3）的系數(shù)矩陣非奇異，方程組（2.9.3）存在唯一的解從而得可以證明，這樣得到的，對于任何，都有故是所求的最小二乘擬合。記，顯然，平方誤差或均方誤差越小，擬合的效果越好。平方誤差有與（2.8.15）相同形式的表達式2.9.2多項式擬合即在多項式空間中作曲線擬合，稱為多項式擬合。這是一種特定的線性模型，因此可用上面討論的方法求解。

前面討論了子空間中的最小二乘擬合。這是一種線性擬合模型。在離散數(shù)據(jù)的最小二乘擬合中，最簡單、最常用的數(shù)學模型是多項式

例2.13

用多項式擬合表2-7中的離散數(shù)據(jù)。yi0.100.350.811.091.96xi0.000.250.500.751.00i01234表2-7解作數(shù)據(jù)點的圖形如圖2-2，從圖形看出用二次多項式擬合比較合適。這時n=2，子空間的基函數(shù)。數(shù)據(jù)中沒有給出權(quán)數(shù)，不妨都取為1，即。oy1.961x****圖2-2按（2.9.3）有

解此方程組得。從而，擬合多項式為其平方誤差。擬合曲線的圖形見圖2-2。

在許多實際問題中，變量之間的關(guān)系不一定能用多項式很好的擬合。如何找到更符合實際情況的數(shù)據(jù)擬合，一方面要根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗來確定擬合曲線的形式，另一方面要根據(jù)數(shù)據(jù)點的圖形性狀及特點來選擇適當?shù)那€擬合這些數(shù)據(jù)。

例2.14已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表2-8。試選擇適當?shù)臄?shù)學模型進行擬合。yi4.006.418.018.799.539.8610.3310.4210.5310.61xi12346810121416i0123456789表2-8

解(1)觀察數(shù)據(jù)點的圖形(見圖2-3),選擇二次多項式作為擬合模型。取所有權(quán)數(shù)為1，按（2.9.3）有(2)從數(shù)據(jù)的圖形看，可以選用指數(shù)函數(shù)進行擬合。設(shè)，其中。這是一個非線性模型，不能直接用上面討論的方法求解。對于一般的非線性最小二乘問題，用常規(guī)方法求解的難度較大。這里的非線性模型比較簡單，可以把它轉(zhuǎn)化成線性模型，然后用上面討論的方法求解。對說函數(shù)的兩邊取自然對數(shù)，得。若令，則有z=A+βt。這是一個線性模型。將本題離散數(shù)據(jù)作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，見表2-9。解得，從而擬合函數(shù)為平方差