數(shù)學(xué)建模車燈問(wèn)題課件

主講：黃先玖賽前培訓(xùn)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)

MCM2002年A題問(wèn)題：汽車頭部的車燈形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，其對(duì)稱軸水平地指向正前方，并已知其開(kāi)口半徑為36毫米，深度為21.6毫米。經(jīng)過(guò)車燈的焦點(diǎn)F，在與對(duì)稱軸相垂直的水平方向上，對(duì)稱地放置一定長(zhǎng)度的均勻分布的線光源。要求在某一設(shè)計(jì)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)下確定線光源的長(zhǎng)度。該設(shè)計(jì)規(guī)范可簡(jiǎn)單描述如下：在焦點(diǎn)F正前方25米處的A點(diǎn)放置一測(cè)試屏，屏與FA垂直，用以測(cè)試車燈的反射光。在屏上過(guò)A點(diǎn)引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點(diǎn)的同側(cè)取B點(diǎn)和C點(diǎn)，使AC=2AB=2.6米。要求C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于某一額定值（可取為1個(gè)單位），B點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）。

我們需要解決的是：（1）滿足該設(shè)計(jì)規(guī)范的條件下，計(jì)算線光源長(zhǎng)度，使線光源的功率最小。（2）得到的線光源長(zhǎng)度，在有標(biāo)尺的坐標(biāo)系中畫(huà)出測(cè)試屏上反射光的亮區(qū)。（3）討論該設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性。1、線光源——寬度與其長(zhǎng)度相比小得多的發(fā)光體。2、光通量——光源在單位時(shí)間內(nèi)輻射出的光能，用國(guó)際規(guī)定的眼（對(duì)光適應(yīng)的眼）的靈敏度來(lái)估定。3、發(fā)光效率——光源每消耗1瓦特功率可輻射出的光通量，又叫光效。4、照度——單位面積所接受的光通量，單位為勒克斯。詞匯:

首先解決本問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)：由于問(wèn)題討論的主要對(duì)象是線光源，而線光源處理起來(lái)不太容易，因此想到用微元法將線光源劃分為若干小段（微元），每一段可視為一個(gè)點(diǎn)光源。這樣就將線光源的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了點(diǎn)光源的疊加問(wèn)題。分析:分析:由于該線光源照射到測(cè)試屏上，有兩種途徑：直射和反射。因此我們?cè)诳紤]某點(diǎn)的光強(qiáng)時(shí)，必須同時(shí)考慮兩種情況。現(xiàn)在我們還需解決的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是如何度量光強(qiáng)，光強(qiáng)的額定值為多少，如何建立起功率與光強(qiáng)的關(guān)系。假設(shè)1、

光在反射時(shí)及整個(gè)傳播過(guò)程中，能量均無(wú)損耗。2、

只計(jì)此線光源的長(zhǎng)度，其體積忽略不計(jì)。3、

此線光源均勻分布，各點(diǎn)同性。且任意一點(diǎn)向整個(gè)空間各個(gè)方向均勻輻射能量。

假設(shè)4、

光強(qiáng)額定值為1勒克斯5、

不考慮光的干涉、衍射等現(xiàn)象。6、

光強(qiáng)在某點(diǎn)疊加時(shí)，可直接取其代數(shù)和。7、

只考慮一次反射。變量定義（符號(hào)）

焦準(zhǔn)距（m）線光源的功率（W）

光通量（lm——流明

）發(fā)光效率（lm/W）照度（lx(lm/m2)——勒克斯（lx=1lm/m2））照度額定值（lx(lm/m2)）發(fā)光功率線密度（W/m）線光源長(zhǎng)度（m）模型的建立首先建立如圖坐標(biāo)系：證明:從上圖，我們可以看出此旋轉(zhuǎn)拋物面是由曲線(1)繞軸旋轉(zhuǎn)得到的。于是推出此旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為設(shè)(x0,y0,z0)為此拋物面上任意一點(diǎn)，求得過(guò)此點(diǎn)的切面方程為結(jié)論:在旋轉(zhuǎn)拋物面上，每個(gè)反射點(diǎn)的法線都與對(duì)稱軸相交。進(jìn)而得法線方程為

聯(lián)立對(duì)稱軸方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y0+c，0）將開(kāi)口半徑及深度等數(shù)據(jù)代入（1）式，得出焦距c/2=15mm=0.015（m）然后代入，推得該線光源的范圍為[－0.03,0.03]m。然后代入,y=0.015,推得該線光源的范圍為[－0.03,0.03]m。建立模型（1）計(jì)算線光源長(zhǎng)度首先說(shuō)明一點(diǎn)：以下我們將對(duì)B點(diǎn)進(jìn)行分析，對(duì)于C點(diǎn)，所用方法及運(yùn)算過(guò)程完全類似。①光源功率與照度的關(guān)系如果光源的發(fā)光強(qiáng)度為，光源與被照面的距離是r，光線方向與被照面法線的夾角為。那么，這個(gè)面上的照度就是可見(jiàn)，在點(diǎn)光源垂直照射的情況下，被照面上的照度跟光源的發(fā)光強(qiáng)度成正比，跟表面法線與光線方向之間夾角的余弦成正比，與光源到被照面問(wèn)的距離的平方成反比。通過(guò)查資料，可知光通量與發(fā)光強(qiáng)度之間有如下關(guān)系式：聯(lián)立得光源功率為即可推出對(duì)于功率線密度為瓦／米，發(fā)光效率為流明／瓦的線光源，在距它r米的物體表面，照度為(2)②微元法將線光源轉(zhuǎn)化為點(diǎn)光源對(duì)于線光源來(lái)說(shuō)，我們利用微元法的思想，將其分為若干小段（△l），每一段可視為一個(gè)點(diǎn)光源，各自獨(dú)立向四周輻射光能。而在測(cè)試屏上的任意一受光點(diǎn)的照度等于各點(diǎn)光源在此處的照度代數(shù)和。這樣我們就把對(duì)線光源的討論轉(zhuǎn)化成了對(duì)點(diǎn)光源的討論。③求直射光的強(qiáng)度線光源上任一點(diǎn)光源D直射到測(cè)試屏上B點(diǎn)處有且只有一條光線。因?yàn)镈發(fā)出的光是以球面波的形式向空間傳播的，設(shè)該點(diǎn)到B點(diǎn)的半徑為r，則在B點(diǎn)處的波面面積為據(jù)（2）式，可得任意一點(diǎn)光源直射到B點(diǎn)時(shí)該點(diǎn)的照度為：可以看出此量與距離有關(guān)，也就是說(shuō)，不同的點(diǎn)光源在B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的照度值不同。但注意到所有的差別太小，因此在實(shí)際計(jì)算中，我們對(duì)作近似處理，令它為一個(gè)常數(shù)：=25.034(米)于是得出此線光源的直射光在B點(diǎn)輻射出的總照度為而此時(shí)線光源所消耗的功率p=kL④求反射光的強(qiáng)度為了便于分析，我們將圖一抽象出來(lái)，并旋轉(zhuǎn)一定角度后得右圖。D—線光源上任一點(diǎn)N—對(duì)應(yīng)于D點(diǎn)的反射點(diǎn)G—法線與中軸線的交點(diǎn)對(duì)于線光源上的任意一點(diǎn)D（設(shè)坐標(biāo)為（t，0.015，0）），假設(shè)從它發(fā)出的光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面上的點(diǎn)N反射后，可以射到B點(diǎn)上。下面利用向量來(lái)推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)拋物面上滿足此條件的所有反射點(diǎn)N的坐標(biāo)。設(shè)反射點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y，z），由上文的證明可知，在旋轉(zhuǎn)拋物面上，每個(gè)反射點(diǎn)的法線都與對(duì)稱軸相交，且交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，y+c，0）。又已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1.3，25.015，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，0.015，0）。經(jīng)過(guò)分析，知道N點(diǎn)必須滿足以下三個(gè)條件：1）NG是∠BND的角平分線，即：∠BNG=∠DNGcos∠BNG=cos∠DNG（3）2）點(diǎn)G、B、N、D四點(diǎn)共面，所以：3）點(diǎn)N在拋物面上，所以應(yīng)該滿足拋物線方程：

聯(lián)立方程（3）、（4）、（5），即可求解出與線光源上一點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的所有的反射點(diǎn)N。（4）（5）但實(shí)際上我們并不關(guān)心N點(diǎn)的具體坐標(biāo)值，而看重的是線光源上每一點(diǎn)能發(fā)出多少光線經(jīng)拋物面反射后照到B或C點(diǎn)。由于光源發(fā)出的光能否反射受燈反射面幾何尺寸大小的限制，并且B、C點(diǎn)的位置相對(duì)燈而言是處在斜前方，所以，N點(diǎn)的位置并不具有對(duì)稱性。對(duì)于線光源上不同的點(diǎn)，與其對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)數(shù)目也不同。但在線光源上位置十分相鄰的兩點(diǎn)，可認(rèn)為它們對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)數(shù)目相同。即它們發(fā)出的光中有相同數(shù)目的光線經(jīng)拋物面反射后恰好照射到B點(diǎn)（或C點(diǎn)）。我們采用在小區(qū)域采集離散點(diǎn)的方法，使用Mathematic軟件，通過(guò)改變微小△l,得到線光源上當(dāng)前D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的反射點(diǎn)（即N點(diǎn)）的數(shù)目。以此作為此微小區(qū)域[l,l+△l]內(nèi)各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)數(shù)目。

t的取值到B的反射光的條數(shù)到C的反射光的條數(shù)t的取值到B的反射光的條數(shù)到C的反射光的條數(shù)0.000222-0.0002000.000422-0.0004000.000622-0.0006000.000862-0.0008000.001052-0.0010000.001252-0.0012000.001452-0.0014000.001654-0.0016000.001856-0.0018000.002046-0.002000t的取值到B的反射光的條數(shù)到C的反射光的條數(shù)t的取值到B的反射光的條數(shù)到C的反射光的條數(shù)0.002246-0.0022000.002445-0.0024000.002645-0.0026000.002846-0.0028000.003046-0.0030000.003245-0.0032000.003445-0.0034000.003646-0.0036000.003845-0.0038000.004045-0.0040000.004245-0.0042000.004445-0.0044000.004645-0.0046000.004844-0.0048000.005044-0.005000表中t為點(diǎn)光源的x坐標(biāo)。至此，我們已分別求得了于是我們可以得到至此，我們已分別求得了于是我們可以得到如果把整個(gè)線光源劃成個(gè)相等的微小區(qū)間，則由上述分析，第個(gè)微小區(qū)間的點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物面反射，如果能恰好射到B點(diǎn)（或者C點(diǎn)），那么在B點(diǎn)的照度為⑤求得長(zhǎng)度的優(yōu)化解

通過(guò)條件，建立線光源長(zhǎng)度的優(yōu)化模型：代入照度額定值(1勒克斯)、高壓毛細(xì)汞燈和鹵素?zé)舻膮?shù)，得到以下結(jié)果：材料發(fā)光效率（流明/瓦）功率線密度（瓦/毫米）B點(diǎn)照度（勒克斯）C點(diǎn)照度（勒克斯）線光源的長(zhǎng)度（毫米）高壓毛細(xì)汞燈50302.01211.36774．2鹵素?zé)?0202.12671.51227．9（2）反射光亮區(qū)的繪制線光源反射光的亮區(qū)可以近似的看作線光源上一系列離散的點(diǎn)光源的反射光亮區(qū)的疊加。我們通過(guò)如下方式產(chǎn)生線光源反射光的亮區(qū)：首先我們稱光能照射到的區(qū)域?yàn)榱羺^(qū)。我們以常用的高壓毛細(xì)汞燈為例（即=4.2mm），來(lái)繪制出測(cè)試屏上反射光的亮區(qū)。亮區(qū)圖的繪制步驟：1）

在線光源上等間距的選取一系列的點(diǎn)作為點(diǎn)光源;2）

在旋轉(zhuǎn)拋物面上產(chǎn)生均勻排列的網(wǎng)格作為反光點(diǎn)；3）

對(duì)于每一點(diǎn)光源，計(jì)算它到所有反光點(diǎn)的入射光的方向向量及其法線方向向量；4）

通過(guò)入射光方向向量及其法線方向向量計(jì)算反射光方向向量；5）

通過(guò)反射光方向向量及反射點(diǎn)的坐標(biāo)求出反射光的解析式，進(jìn)而求出反射光在測(cè)試屏上的投影坐標(biāo)，并在此處描點(diǎn)。其中，由入射光方向向量及其法線方向向量計(jì)算反射光方向向量具體過(guò)程如下：①將入射光方向向量X’及其法線方向向量Y均轉(zhuǎn)化為單位向量（如圖四所示）；②取入射光方向向量X’的反方向向量X；③由幾何關(guān)系可知：

圖四任一點(diǎn)光源的向量反射光路圖所以Z即為反射光的方向向量。亮區(qū)圖的繪制結(jié)果為：圖五測(cè)試屏上反射光的亮區(qū)圖（3）設(shè)計(jì)規(guī)范合理性的討論要解釋此設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性，就需要解釋清楚只選擇A、B、C點(diǎn)（即25米、1.3米、2.6米這些距離上的點(diǎn)）并要求這些受光點(diǎn)處的光強(qiáng)不小于某一額定值的原因這需要從幾個(gè)方面來(lái)闡述。從實(shí)際著眼，司機(jī)在夜晚行車，難免有一定的安全隱患，如前方突然出現(xiàn)一橫穿公路的行人，或者前方有影響正常、安全行駛的障礙物等等。要避免交通事故的發(fā)生，就需要在一定遠(yuǎn)的距離外，司機(jī)能看到這些突發(fā)事件并及時(shí)作出反應(yīng)，采取措施（如立即剎車等）。而司機(jī)在遇到突發(fā)事件后總有一定的反應(yīng)時(shí)間，因此剎車總距離(也稱停車視距)為司機(jī)反應(yīng)時(shí)間距離，剎車系統(tǒng)協(xié)調(diào)時(shí)間距離和剎車距離三者合一。為了確保安全，就必須保證進(jìn)入停車視距的突發(fā)事件被充分照亮（即該處所接受的光強(qiáng)不小于某一額定值）。下面我們將分兩種情況來(lái)計(jì)算停車視距。所以其停車視距為16.7+8=24.7（m）但由于剎車系統(tǒng)協(xié)調(diào)時(shí)間距離和剎車距離隨路面附著系數(shù)不同而不同，所以此種情況下的停車視距一般在24～30米之間波動(dòng)。因此可以看出保證25米處光強(qiáng)足夠大能在一定程度上確保安全性。情況一正前方發(fā)生突發(fā)事件，司機(jī)或者立即剎車，或者調(diào)整方向，繞道而行。司機(jī)反應(yīng)時(shí)間距離為（m）對(duì)這兩種救急措施，我們認(rèn)為其停車視距的計(jì)算可歸為一類，即計(jì)算上面定義的剎車總距離。資料顯示人的反應(yīng)時(shí)間一般為1s，普通公路上車速一般為60km/h，剎車系統(tǒng)協(xié)調(diào)時(shí)間距離和剎車距離一般為8m。下面來(lái)計(jì)算停車視距?；谇闆r一，我們進(jìn)一步深入。通過(guò)查資料，我們了解到一般公路的車道寬度為2.5～4米，我們以3米為例，這時(shí)若有行人處于相鄰車道的中線，且與車垂直距離為25米，正欲橫穿本車道，我們來(lái)計(jì)算一下：假定行人行走速度為1.5m/s，其余參數(shù)同上。則易算出行人在快要到達(dá)本車道中線時(shí)，車也剛剛駛到，自然會(huì)出現(xiàn)事故。因此必須照亮相鄰車道的部分情況來(lái)使司機(jī)提前采取應(yīng)急措施。針對(duì)不同的車道寬度，可算出此值為2.5～4米。這說(shuō)明僅照亮正前方25米還不夠，必須同時(shí)保證左右偏大約2.6米的地方也被照亮。情況二相鄰車道發(fā)生突發(fā)事件，司機(jī)立即剎車。

同時(shí)從經(jīng)濟(jì)的角度講，不選取更長(zhǎng)的距離作為規(guī)范，是因?yàn)樵谝呀?jīng)保證安全性的前提下，避免造成浪費(fèi)。以上的討論從實(shí)際、安全、經(jīng)濟(jì)多角度出發(fā)，說(shuō)明了該設(shè)計(jì)規(guī)范是合理的。6.1優(yōu)缺點(diǎn)評(píng)價(jià)1、運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具簡(jiǎn)單，模型清楚易懂，可讀性好，實(shí)用性強(qiáng)。2、運(yùn)用近似計(jì)算的思想，將運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，且對(duì)結(jié)果影響不大，增強(qiáng)了該模型的可運(yùn)行性和可移植性。3、引進(jìn)向量，使模型統(tǒng)一性好，巧妙地避開(kāi)了運(yùn)用初等幾何知識(shí)分析時(shí)需進(jìn)行的大量復(fù)雜的討論4、引入發(fā)光效率，照度等物理概念來(lái)準(zhǔn)確描述功率與光強(qiáng)的關(guān)系，受光強(qiáng)度等量，而且通過(guò)查資料得到一般測(cè)試光強(qiáng)的額定值等重要參數(shù)，實(shí)際背景較強(qiáng)。5、但在距離求和的運(yùn)算中，考慮到毫米與米在數(shù)量級(jí)上差4個(gè)單位，因此我們忽略了毫米的微小影響，這樣可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算精度的下降及結(jié)果在小范圍內(nèi)的偏差，但總的說(shuō)來(lái)，這個(gè)偏差是能夠接受的。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣1、此模型不僅可運(yùn)用于車燈線光源長(zhǎng)度的設(shè)計(jì)，還可改變其開(kāi)口半徑、深度等參數(shù)的值，將其推廣到實(shí)際生活中其它照明系統(tǒng)的光源長(zhǎng)度的優(yōu)化設(shè)計(jì)。2、在實(shí)際生活中，