數(shù)學美學欣賞

華中農(nóng)業(yè)大學理學院鄒庭榮ztr@

2011-11-18數(shù)學之美學欣賞華中科技大學新聞網(wǎng)報道天地有大美而不言德謀克利特：生活需要美的享受序馬克思

：社會的進步就是人類對美的追求的結(jié)晶

數(shù)學是壯麗多彩，千姿百態(tài)，引人入勝的

--華羅庚“正確地說，數(shù)學不僅擁有真理，而且還擁有至高的美。著名數(shù)學家羅素

美是自然，數(shù)學作為書寫宇宙的文字，反映著自然，數(shù)學中當然存在著美大數(shù)學家克萊茵

數(shù)學是人類最高超的智力成就也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)情懷

繪畫使人賞心悅目詩歌能動人心弦哲學使人獲得智慧科學可改變物質(zhì)生活

而數(shù)學能給予以上的一切伽利略

然而，有些數(shù)學系的同學認為

上大學是走對了路，到數(shù)學系是進錯了門…;數(shù)學枯燥，難學，想起來都害怕.數(shù)學何美之有？這一點非常重要。先看看這個圖像。一、從曼德伯羅伊特圖說起它是用一個2次的復數(shù)疊代出來的一個圖形。這里可以看到一個像葫蘆形的東西，外面有些須須;可是我們?nèi)绻麖娜魏我粋€地方進去的話，你看它的形象，它的局部和整體非常相像，曼德伯羅伊特圖…是曼德伯羅伊特

用計算機來做了之后，就慢慢地發(fā)現(xiàn)了原來自相似性。數(shù)學就不再是幾條公式,定理，它跟我們?nèi)祟惖纳?，跟信息時代，我們的一些欣賞習慣等等都可以有密切的聯(lián)系。

這僅僅只是外在的美，而數(shù)學之美更多的是在于其內(nèi)在的美；這也是數(shù)學之美的實質(zhì)所在。像這樣的圖形，

它已經(jīng)把數(shù)學跟藝術(shù)都連在一起了。8我們說數(shù)學之美：是我們能看到它的美，能體會它的美；

會欣賞它的美；否則，“數(shù)學是枯燥的”

比如，對于數(shù)字e和，不同的人會有截然不同的看法：因為這兩個似乎風馬牛不相及的常數(shù)，會有那么多令人不解的數(shù)字現(xiàn)象。漂亮！1、枯燥，無味，難記；

2、通過觀察發(fā)現(xiàn)，美極了！把數(shù)學中最重要的5個數(shù)1、0、e、i、聯(lián)系在了一起

（五虎大將，五朵金花）美極了！曾獲得“最美的數(shù)學定理”稱號。這個等式被評為2003年全世界自然科學界十大最美公式中的第一名。它美在哪兒？“1”是自然數(shù)中最基本的正整數(shù)，“0”是復數(shù)系中最關(guān)鍵的整數(shù)，“π、e”是最常用、最重要的無理數(shù)，“i”卻是虛數(shù)單位。這樣幾個復數(shù)系中最重要、最特殊的數(shù)又簡潔、又和諧、又奇異地統(tǒng)一在同一個等式中，多么奇妙、多么精彩、多么迷人，大有“神來之筆”之感，令人拍案叫絕。這不僅僅是數(shù)學家的一個偉大發(fā)現(xiàn)，而是數(shù)學本身所具有的內(nèi)在美，這就是數(shù)學美。前六位有效數(shù)字314159是個素數(shù)，把它反過來

951413還是素數(shù)；314159恰好是三個素數(shù)31、41、59連寫而成，這三個素數(shù)的和，它們的立方和，以及五次方和也都是素數(shù).我國橋梁專家茅以升少年時記憶100位一日本人3小時內(nèi)背誦15151位，達20頁二、數(shù)字美學欣賞奇妙無窮的數(shù)字世界畢達哥拉斯學派：對于數(shù)字的崇拜達到“神話”的程度；他們崇拜“4”,因為它代表四種元素：火，水，氣，土；他們把“10”看成是“圣數(shù)”，因為10是由前四個自然數(shù)1,2，3，4結(jié)合而成。他們還認為：“1”表示理性，因為理性是不變的；“2”表示意見；“4”代表公平，因為它是第一個平方數(shù)；“5”代表婚姻，因為它是第一個陰數(shù)2與第一個陽數(shù)3的結(jié)合。…人們喜歡數(shù)字“8”,是因為它意味著“發(fā)”，也有人喜歡“6”,因為那意味著“六六大順”。人們不惜出高價搶注末尾是“8”或“6”的汽車牌號、移動電話號碼等。

上海市出租汽車公司的電話號碼為25800000，該公司的宣傳廣告語“讓我撥五個零”。就是借助上海方言對數(shù)的諧聲讓能牢記住這個號碼。可見，數(shù)字中蘊涵著豐富的文化、蘊涵著美。美國紐約的火警電話號碼為“911”，恐怖分子制造了“9.11事件“，就是利用這個號碼來統(tǒng)一行動。（一）親和數(shù)(相親數(shù))的奇妙性質(zhì)1.

（284，220）的美麗傳說——遠古部落的故事2.《圣經(jīng)》中的數(shù)字文化——以掃與雅各的故事這里的220和284實際是雅各在向哥哥傳遞和好的信號，以提醒以掃念及手足之情。又是一個284與220也許有人認為，這樣的“吻合”極其偶然，抹去迷信的色彩，很難有什么規(guī)律蘊涵于其中。恰恰相反，這偶然的“吻合”引起了數(shù)學家們極大的關(guān)注，他們花費了大量的精力進行研究、探索，終于發(fā)現(xiàn)這種數(shù)對“不是唯一的。它們在自然數(shù)中構(gòu)成了一個獨特的數(shù)系。人們稱具有這種性質(zhì)的兩個數(shù)為親和數(shù)（或相親數(shù)對）。兩個數(shù)被稱為親和數(shù)對，如果其中任意一個數(shù)的所有約數(shù)之和等于另外一個數(shù)。這里，220和284就是一對親和數(shù)。該學派宣稱人之間講友誼，數(shù)之間也有“相親相愛”。據(jù)說，一個門徒向畢達哥拉斯提出這樣一個問題：“我結(jié)交朋友時，存在著數(shù)的作用嗎？”畢達哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，就是你中有我、我中有你，要象220和284一樣親密?！?/p>

正是由于親和數(shù)對這種“你中有我，我中有你，水乳交融”的特殊性質(zhì)，教會初期的幾百年間有一個習慣：第二對相親數(shù)（17296,18416）于1636年由法國天才數(shù)學家費馬找到了，當時只有16歲；兩千多年后：

關(guān)于親和數(shù)的研究是數(shù)論研究的一個重要內(nèi)容是否還有別的親和數(shù)（當然：找親和數(shù)不是一件容易的事），就是為了表達兩個人的友誼，每人各佩戴220和284這兩個數(shù)字中的一個。第三對相親數(shù)（9363548,9437056）于1638年被法國數(shù)學家笛卡兒發(fā)現(xiàn)；迄今為止，人們已經(jīng)找到了1200對“親和數(shù)”，他們要么兩個都是偶數(shù)，要么兩個都是奇數(shù)，1750年，偉大數(shù)學家歐拉一個人就找到了

59個相親數(shù)對.（2620,2924）是其中最小的一對。

是否存在一奇一偶的親和數(shù)呢？34×5×11×528119×29×89×(2×1291×528116-1),34×5×11×528119×(23×33×52×1291×528119-1);到1974年為止，人們所知的一對最大的親和數(shù)是：更有趣的是親和數(shù)鏈:(1)

﹛2115324,3317740,3649556,2797612

﹜;(2)﹛1264460,1547860,1727636,1305184﹜.如果….第一個問題是：您是否還會認為數(shù)字很枯燥？

122=1441022=104041122=125441222=148841132=12769輪換一下212=4412012=404012112=445212212=488413112=96721更一般的（100…02)2=10…040…04倒一下

(200…01)2=40…040…01第二個問題是：您能否回答這是為什么？(二)下面兩組數(shù)字現(xiàn)象讓您看后會為其中的奧妙贊嘆不已“無8數(shù)”

，即由1、2、3、4、5、6、7、9八個數(shù)字組成的一個八位數(shù)——12345679。（三）神奇的“無8數(shù)”“無8數(shù)”雖然是由普通的八個數(shù)字組成的，但是它具有許多奇特的功能。它與幾組性質(zhì)相同的數(shù)相乘，會產(chǎn)生意想不到的結(jié)果。22它若是與9、18、27、36、45、54、63、72、81相乘，結(jié)果會由清一色的數(shù)字組成。

（問：這些數(shù)有什么特點？）9的倍數(shù)12345679×27＝33333333312345679×36＝444444444

……1234567912345679×9＝11111111112345679×18＝22222222212345679×81＝99999999923“無8數(shù)”不僅能乘出清一色的積，而且還能與12、15、21、24……（3的倍數(shù)，其中9的倍數(shù)除外）相乘，得出由3個數(shù)字組成的“三位一體”這種特殊的結(jié)果：12345679×12＝14814814812345679×15＝18518518512345679×21＝25925925912345679×24＝296296296……24它若是與10、11、13、14、16、17相乘，乘得的積會讓8、7、5、4、2、1輪流休息（3、6、9是3的倍數(shù)，就輪不到它們休息了）。還有更精彩的：12345679×10＝123456790（數(shù)字“8”休息）

12345679×11＝135802469（數(shù)字“7”休息）

12345679×13＝160493827（數(shù)字“5”休息）

12345679×14＝172839506（數(shù)字“4”休息）

12345679×16＝197530864（數(shù)字“2”休息）

12345679×17＝209876543（數(shù)字“1”休息）“無8數(shù)，真奇妙！”然而，它與10、19、28、37、46、55、64、73相乘，其積會讓1、2、3、4、5、6、7、9八個數(shù)字輪流做開路先鋒，12345679×10＝12345679012345679×19＝23456790112345679×28＝34567901212345679×37＝45679012312345679×46＝56790123412345679×55＝67901234512345679×64＝79012345612345679×73＝901234567第三個問題是：看了“無8數(shù)”的展示，你是否會說：數(shù)字其實其樂無窮??？

隨著人們對“無8數(shù)”研究的深入，這種有趣的性質(zhì)會越來越多地被發(fā)現(xiàn)。在神奇的數(shù)學王國里，有無數(shù)的“寶藏”等待著我們?nèi)ネ诰颉?五)金字塔內(nèi)神奇的數(shù)字據(jù)百度上的調(diào)查結(jié)果顯示史上最神奇的數(shù)字是發(fā)現(xiàn)于金字塔內(nèi)的142857河圖龍馬（六）還有更奇妙的精靈:幻方(魔方)洛書神龜女媧與伏羲“洛書的奇妙性質(zhì)”92+27+76+61+18+83+34+49=94+43+38+81+16+67+72+29（440）922+272+762+612+182+832+342+492=942+432+382+812+162+672+722+292（29460）923+273+763+613+183+833+343+493=943+433+383+813+163+673+723+293（2198900）河圖、洛書的神秘之處就是其上的九宮圖這種蘊涵在大千世界中的“自然美”是何其對稱,和諧.幻方：行、列、斜線上的和均相等做一個幻方不是一件容易的事492357816由于幻方中蘊涵奇妙的數(shù)學美,從而引起人們極大的興趣幻方是數(shù)學按照一種規(guī)律布局成的一種體系，每個幻方不僅是一個智力成就，而且還是一個藝術(shù)佳品，都以整齊劃一，均衡對稱，和諧統(tǒng)一的特性，并發(fā)出耀人的數(shù)學美的光輝。如今，幻方被利用于軍事、中醫(yī)、天文、氣象等：日本飛機駕駛學校第一堂課上的就是幻方知識；在人類尋找外星文明的過程中;幻方也承擔起傳遞人類智慧信息的重任，著名數(shù)學家華羅庚曾建議，為溝通地球與其他星球的信息，地球人最好帶去兩個圖形：幻方—代表數(shù)；勾股圖—代表數(shù)形關(guān)系。美國1977年發(fā)射的尋求外星文明的宇宙飛船旅行者1號、2號上就帶有一張四階幻方圖。1990年，在合肥召開的國際組合數(shù)學學術(shù)會議上，就有大量的幻方研究論文。海上漂浮建筑。首先要解決的問題就是要將建筑面分割成方陣格，每格的建筑質(zhì)量的確定。需要像構(gòu)造幻方一樣巧妙布局。

因為只有各線各方向上的質(zhì)量處處均衡才不至于傾斜。(七)黑洞數(shù)之謎從數(shù)學游戲開始：請閉上眼晴，想一個三（或四）位數(shù)

（

三（或四）位數(shù)字不完全相同的任意三（或四）位數(shù)）

第一步：按照數(shù)字從大到小的順序，把三位數(shù)字重新排列，得到一個新數(shù)。

第二步：接下來，再把所得的數(shù)的數(shù)字順序顛倒一下，又得到一個新數(shù)。

第三步：把這兩個新數(shù)的差作為一個新的三位數(shù)，

第四步：再重復上述的步驟。（最多重復8次），讓我猜猜您的結(jié)果！(八)神奇的0.618(黃金數(shù)、黃金比、黃金分割）1.外內(nèi)比線段：將線段分為兩段，使其中較短線段與較長線段的比等于較長線段與整個線段的比.Ax1-xBC如果每對兔子（一雌一雄）每月能生殖一對小兔子（也是一雌一雄，下同），每對兔子第一個月沒有生殖能力，但從第二個月以后便能每月生一對小兔。假定這些兔子都不發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么從一對剛出生的兔子開始，一年之后會有多少對兔子呢？1）黃金數(shù)（0.618）竟然與斐波納契數(shù)列（兔生小兔問題

）有關(guān)兔年說兔月份12345678910111213總數(shù)11235813213455891442332）黃金分割與建筑

世界七大奇跡之一的帕特農(nóng)神廟法國的埃菲爾鐵塔；巴黎圣母院，印度泰姬陵，加拿大多倫多電視發(fā)射塔，都有不少與黃金比有關(guān)的數(shù)據(jù).利用黃金分割率的紫禁城古埃及的金字塔

—斜邊137米與高227米之比為0.629

所謂“黃金比”，它具有黃金一樣寶貴的性質(zhì);藝術(shù)上;建筑上.人們發(fā)現(xiàn)，這種比例用于建筑上，可除去人們視覺上的凌亂.加強建筑形體上的美感.古埃及的金字塔，古希臘的巴特農(nóng)神廟，巴黎圣母院，印度泰姬陵，法國的埃菲爾鐵塔；加拿大多倫多電視發(fā)射塔。都有不少與黃金比有關(guān)的數(shù)據(jù).人們發(fā)現(xiàn)，這種比例用于建筑上，可除去人們視覺上的凌亂.加強建筑形體上的美感.美觀矩形的寬長比

如國旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）

風景照片中，

地平線位置的安排

黃金分割比，即０.61803398…被達·芬奇稱為“神圣比例”．他認為“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上”。

還把黃金分割引入了繪畫藝術(shù)之中.其名畫《蒙娜麗莎》、《最后的晚餐》等就是按黃金矩形來構(gòu)圖的.3）黃金分割與（繪畫）藝術(shù)維納斯的美被所有人所公認，她的身材比也恰恰是黃金分割比4）人體中也有許多黃金分割點：人的肚臍是人體長的黃金分割點.

而膝蓋又是人體肚臍以下部分體長的黃金分割點.而咽喉則是上肢的黃金分割點。（達到此的認為是最美的）生活中人們最舒適的環(huán)境溫度為22℃－24℃，為什么？源于體溫36℃－37℃與0.618的乘積恰好是22.4℃－22.8℃。芭蕾舞演員為什么用腳尖跳舞就是因為這樣能使觀眾感到演員的腿長與身高的比例更加符合黃金分割的法則.舞姿顯得更加優(yōu)美.……….

小康型消費價格=0.618×（高檔消費價格－低檔消費價格）+低檔消費價格圖示如下：·０.６１８●小康消費價高檔消費價低檔消費●●5）黃金分割與消費——黃金一樣的價值小康型購物公式

舉例來說：若你需要購買一臺手提電腦，據(jù)調(diào)查，得知高檔價格在12800元左右，低檔價格在2800元左右，那么您的小康消費水準為：（12800－2800）×0.618+2800＝8980元.換句話說，價格為8900元左右為宜.這正是大多數(shù)電腦愛好者喜歡且接受的檔次.上述公式對指導商品生產(chǎn)等也有實際價值.(你不妨試一試,黃金數(shù)在投資中的應(yīng)用)

第六個問題是：

您是否覺得數(shù)字其實很驚奇？43三、數(shù)學的抽象之美抽象美是數(shù)學的美感的一個重要組成部分，數(shù)學的簡潔美很大程度上來源于數(shù)學的抽象性，有些難以解決的實際問題經(jīng)過數(shù)學抽象會變的容易.有一根很長的繩子，恰好可繞地球赤道一周，如果把繩子再接長15米后，繞著赤道一周懸在空中后（如果可能的話），一個身高2.39米的人可以從繩子下的任何地方自由的穿過。

第七個問題是：下面的結(jié)論您能想象的到嗎？（一）想象不到的問題抽象有兩種：1、我們不容易想象的；

2、我們無法體會到的45哥尼斯堡七橋示意圖（二）哥尼斯堡七橋問題：能否從任一陸地出發(fā)通過每座橋恰好一次而回到出發(fā)點？ABCD布勒格爾河哥尼斯堡市46歐拉：能夠一筆畫出的圖形奇點個數(shù)只能是0或2ABDC歐拉畢竟是一位偉大的數(shù)學家ABAB能一筆畫47兩個卓越而奇妙的等式：2、V+F-E=2,V表示多面體頂點數(shù)，F(xiàn)表示多面體面數(shù)E表示多面體邊數(shù)多面體太多，要多少就有多少，而歐拉確能將其眾多的多面體中對頂點、邊、面得到如此簡潔的關(guān)系式，怎么能不讓人為之嘆服！1、ei+1=0，漂亮！（可以用完美來形容）把數(shù)學中最重要的5個數(shù)1、0、e、i、聯(lián)系在了一起p有些數(shù)字看起來并不起眼，但是它表示的數(shù)字之大幾乎讓人感到吃驚麥子總數(shù)為：

1+2+22+23+…+263=264-1

體積12×1012

（25位：208925819614629174706176）（三）著名的“國王獎賞”問題:折紙中的學問一張薄紙，不斷對折，折30次后，紙疊得有多厚？……12第一次2×2=22第二次32×2×2=2第三次……第三十次=10737418242×2×2×…×2=23030個梵塔中的學問印度北部的圣城貝拿勒斯城的一座神廟里，佛像前面有一塊黃銅板，板上插著三根寶石針，其中一根針自上而下放著從小到大的64片圓形金片(在當?shù)乇环Q為“梵塔”).按教規(guī)，每天由值班僧侶把金片都移到另一根寶石針上，每次只能移動一片，且小片必須放在大片上——當所有的金片都移到另一根針上時，所謂的“世界末日”就到了。2-164585億年200億年增加數(shù)學中的許多符號均有其獨特的含義，使用它們不僅方便、簡潔、且看上去優(yōu)美。

多么簡潔??！

四、數(shù)學符號的簡潔美體現(xiàn)數(shù)學符號的內(nèi)在美，簡潔的符號，豐富的內(nèi)涵

何等的對稱啊五.對稱美內(nèi)積在平面：在空間：在n維空間：漂亮的結(jié)論：矩陣的行秩等于列秩數(shù)學美推動了創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)我認為數(shù)學家無論是選擇題材還是判斷成功的標準，主要地都是美學的。

——馮.諾依曼如果一個物理方程在數(shù)學上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。

——狄拉克自然律必須滿足審美要求。

——愛因斯坦谷神星的發(fā)現(xiàn)星名水星金星地球火星木星土星天王星離太陽的距離47101652100192距離減4后03612489656I型曲線積分II型曲線積分I型曲面積分II型曲面積分三重積分見（1）斯托克斯公式格林公式七.統(tǒng)一美57特別，z=0,得格林公式一去二三里，煙村四五家。亭臺六七座，

八九十枝花。古代把這首詩作為描紅帖，給學生練字、學詩用，現(xiàn)在編入了小學語文課本。1.宋代邵康節(jié)寫的數(shù)字詩：九.文學中的數(shù)字之美歷代詩人都喜歡用數(shù)字寫詩不僅可以增加感染力，還能留給讀者深刻的印象和美的享受。帶來引人入勝的趣味和情韻。2.臺灣人民的數(shù)字詩---中秋詩一國兩制盼三通，

四海五湖人心同。

六親相會期有日，

七夕牛郎逢織女。八方共賞團圓月，

九州十億是弟兄。

百年之計須好合，

千秋萬載頌統(tǒng)一。

這首詩表達了臺灣人民熱切期盼海峽兩岸和平

祖國頌

理學院鄒庭榮

2009-10-1三個代表指方向四海赤子系中華五星紅旗迎風展六十華誕傳神話“七號神州”游太空八千里路