初奧林匹克數學競賽訓練試題集05

初一奧林匹克數學比賽訓練試題集（05）一、選擇題（共8小題，每題4分，滿分32分）1．（4分）一件工程甲獨自達成要a小時，乙獨自達成要b小時，兩人合作一小時達成所有工作的（）A．B．C．D．2．（4分）有n個自然數的積為a，假如每個數都擴大5倍，則它們的乘積是（）A．5nnC．5nanB．5D．5a3．（4分）a、b是兩個有理數，且a＞b，那么必然有（）A．a+b＞aB．a﹣b＜aC．2a＞2bD．＞14．（4分）用四舍五入法獲得的近似數a＝2.4，b＝2.40，則a，b的關系是（）A．a＝bB．a＞bC．a＜bD．以上都不對5．（4分）在有理數中，不存在這樣的一個數a，它（）．既是自然數又是整數．既是分數又是負數C．既是非正的數又是非負的數．既是正數又是負數6．（4分）若x＜0，xy＜0，則|y﹣x+1|﹣|x﹣y﹣5|的值應是（）A．4B．﹣4C．﹣4或4D．﹣2x+2y+67．（4分）在自然數會合中，最小的數是a，最小的奇數是b，最小的偶數是c，最小的質數是d，最小的合數是e，則它們的大小關系為（）A．a＜b＜c＜d＜eB．a＝b＜c＜d＜eC．a＜b＜c＝d＜eD．a＝b＝d＜c＜e8．（4分）大于10小于100的整數，當數字互換地點后（即個位數字變成十位數字，而十數位字變成個位數字），新數比原數大9，這樣的數共有（）個．A．10B．9C．8D．7二、填空題（共8小題，每題5分，滿分40分）9．（5分）將以下各代數式分別填入它們所屬的會合：2，﹣，3，m，，4xy，x+x﹣，，2x﹣3，0，﹣整式會合{}，第1頁（共12頁）分式會合{}，多項式會合{}，單項式會合{}．10．（5分）若|x+y﹣2|+（2x﹣3y+5）2＝0時，則x＝，y＝．11．（5分）分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24＝．12．（5分）若22．，且xy+yz+zx＝99，則2x+12y+9z＝13．（5分）小勇有一個哥哥和一個弟弟，哥哥的年紀是20歲，小勇的年紀的2倍加上他弟弟年紀的5倍等于97，小勇的年紀是歲，他弟弟的年紀是．14．（5分）一個兩位數，它的十位數字與個位數字對換后，所得數是原兩位數兩個數字和的6倍，則此兩位數是．15．（5分）5≤x≤20，25≤a≤30，則的取值范圍是．16．（5分）1+2+3+4++1993的值是（奇、偶）數．三、解答題（共3小題，滿分48分）17．（16分）把1，2，3，4，，1986，1987這1987個自然數平均排成一個大圓圈，從1開始數：隔過1劃2，3；隔過4劃掉5，6，這樣每隔一個數劃掉兩個數，轉圈劃下去，問：最后剩下哪個數？18．（16分）已知：|2y﹣a|＝axy﹣1）求證：無論a為什么值時，總有y2＝x；2）當a為什么值時，|x|＝|y|成立？19（．16分）甲乙兩郵遞員分別從A，B兩地同時以勻速相向而行，甲比乙多走了18千米（km），相遇后甲走4.5小時抵達B地，乙走8小時到A地，求A，B兩地的距離．第2頁（共12頁）初一奧林匹克數學比賽訓練試題集（05）參照答案與試題分析一、選擇題（共8小題，每題4分，滿分32分）1．（4分）一件工程甲獨自達成要a小時，乙獨自達成要b小時，兩人合作一小時達成所有工作的（）A．B．C．D．【分析】兩人合作一小時達成的工作量＝甲1小時的工作量+乙1小時的工作量，把有關數值代入即可．【解答】解：∵一件工程甲獨自達成要a小時，乙獨自達成要b小時，∴甲1小時的工作量為，乙1小時的工作量為，∴兩人合作一小時達成的工作量為，應選：A．【討論】察看列代數式；獲得甲乙合作1小時的工作量的等量關系是解決本題的重點．2．（4分）有n個自然數的積為a，假如每個數都擴大5倍，則它們的乘積是（）A．5nnC．5nanB．5D．5a【分析】設出本來相應的自然數，都擴大5倍獲得新的自然數，讓它們相乘，化簡即可．【解答】解：設本來n個自然數分別為x1，x2，x3xn，則擴大后的數分別為5x1，5x2，5x35xn，∴它們的乘積為：5x1×5x2×5x3××5xn，＝5n×x1×x2×x3×xn，n＝5a，應選：D．【討論】主要察看有理數乘方的知識；注意每個數都擴大5倍；易錯點為：n個5的積為n5．3．（4分）a、b是兩個有理數，且a＞b，那么必然有（）A．a+b＞aB．a﹣b＜aC．2a＞2bD．＞1【分析】由不等式的性質2，不等式兩邊同乘以2，不等號的方向不變，C正確．第3頁（共12頁）【解答】解：∵a、b是兩個有理數，a、b的符號不確立，A、B、D錯誤；∵a＞b，2a＞2b，故C正確．應選：C．【討論】本題察看了不等式的性質：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．4．（4分）用四舍五入法獲得的近似數a＝2.4，b＝2.40，則a，b的關系是（）A．a＝bB．a＞bC．a＜bD．以上都不對【分析】獲得近似數a＝2.4時，a的范圍2.35≤a≤2.44，獲得近似數b＝2.40時，b的范圍2.395≤b≤2.404，三種狀況都有，應選D．【解答】解：∵2.35≤a≤2.44，2.395≤b≤2.404，∴a＞b或a＜b或a＝b，應選：D．【討論】本題察看了求一個數的近似數的逆運算，難度偏大．5．（4分）在有理數中，不存在這樣的一個數a，它（）．既是自然數又是整數．既是分數又是負數C．既是非正的數又是非負的數．既是正數又是負數【分析】本題需要依照有理數的分類、自然數、整數、分數、負數、正數的特色及定義對各個選項逐一分析，找出正確選項即可．【解答】解：由于自然數是整數，因此A錯由于負分數即是分數由是負數，因此B錯由于0既是非正的數又是非負的數，因此C錯應選：D．【討論】本題主要察看學生對自然數、整數、分數、負數、正數的特色及定義的理解和掌握，解答本題的重點是對有關見解的靈巧掌握．第4頁（共12頁）6．（4分）若x＜0，xy＜0，則|y﹣x+1|﹣|x﹣y﹣5|的值應是（）A．4B．﹣4C．﹣4或4D．﹣2x+2y+6【分析】先依照x＜0，xy＜0質，判斷出x、y的符號，依照x、y的符號進一步確立y﹣x+1、x﹣y﹣5的符號，去絕對值求值．【解答】解：∵x＜0，xy＜0，y＞0，y﹣x+1＞0，即：|y﹣x+1|＝y(tǒng)﹣x+1，x﹣y﹣5＜0，即：|x﹣y﹣5|＝5+y﹣x，∴原式＝y(tǒng)﹣x+1﹣（5+y﹣x）＝﹣4．【討論】本題主要察看了絕對值的性質，能夠依照已知條件正確地判斷出x、y的符號，從而判斷（y﹣x+1、x﹣y﹣5的符號）是解答本題的重點．7．（4分）在自然數會合中，最小的數是a，最小的奇數是b，最小的偶數是c，最小的質數是d，最小的合數是e，則它們的大小關系為（）A．a＜b＜c＜d＜eB．a＝b＜c＜d＜eC．a＜b＜c＝d＜eD．a＝b＝d＜c＜e【分析】先找出符合條件的數：在自然數會合中，最小的數是1，最小的奇數是1，最小的偶數是2，最小的質數是2，最小的合數是4；此后再來比較a、b、c、d、e的大小．【解答】解：在自然數會合中，最小的數是0，最小的奇數是1，最小的偶數是2，最小的質數是2，最小的合數是4即a＝0，b＝1，c＝2，d＝2，e＝40＜1＜2＝2＜4，∴a＜b＜c＝d＜e；應選：C．【討論】解答本題的重點是找出符合條件的a、b、c、d、e的數．8．（4分）大于10小于100的整數，當數字互換地點后（即個位數字變成十位數字，而十數位字變成個位數字），新數比原數大9，這樣的數共有（）個．A．10B．9C．8D．7【分析】設這個整數十位數字為a，個位數字為b，這個整數為10a+b，互換地點后10b+a，【解答】解：設這個整數十位數字為a，個位數字為b這個整數為10a+b，則換地點后得10b+a．（10b+a）﹣（10a+b）＝9，即（10b+a）﹣（10a+b）＝9、第5頁（共12頁）a+b＝1，即b＝a+1且a＜b，∴相應10a+b能夠取到：12，23，34，45，56，67，78，89，共8個數．應選：C．【討論】本題察看的是數字問題，重點是設出這個兩位數個位上的數字和十位上的數字，此后列出方程討論求解．二、填空題（共8小題，每題5分，滿分40分）9．（5分）將以下各代數式分別填入它們所屬的會合：2，，﹣，3﹣3，0，﹣，m，，4xy，x+x﹣，2x整式會合{}，分式會合{}，多項式會合{}，單項式會合{}．【分析】依照整式、分式、多項式、單項式的見解進行分類．【解答】解：整式會合：{4xy，x2+x﹣，，2x3﹣3，0，m，}分式會合：{﹣，，﹣，}23}多項式會合：{x+x﹣，2x﹣3，單項式會合：{4xy，，0，m}【討論】本題察看整式、分式、多項式、單項式的見解，要熟記這些見解．10．（5分）若|x+y﹣2|+（2x﹣3y+5）2＝0時，則x＝，y＝．【分析】先依照非負數的性質“兩個非負數相加，和為0，這兩個非負數的值都為0”列出對于x、y的二元一次方程組，再解方程組即可求出x、y的值．【解答】解：由題意，得，解得．故答案為：，．【討論】本題察看了非負數的性質．初中階段有三各樣類的非負數：第6頁（共12頁）1）絕對值；2）偶次方；（3）二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必然知足此中的每一項都等于0．根據這個結論能夠求解這種題目．211．（5分）分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24＝（x﹣2）（x+3）（x+x﹣8）．【分析】第一分析原式有一個+24常數項，再察看（x﹣3）（x﹣1）（x﹣2）（x+4）對每個因式去括號張開后會出現常數項﹣24，因此先利用聯合律初步張開．（x﹣3）同（x+4）22聯合，（x﹣1）與（x+2）聯合，張開后為（x+x﹣12）（x+x﹣2），至此可用換元法簡化因式的次數．再進一步分解，最后用換原式代入．【解答】解：（x﹣2）（x+3）（x2+x﹣8）∵原式＝（x﹣3）（x+4）（x﹣1）（x+2）+2422＝（x+x﹣12）（x+x﹣2）+242令x+x＝A，∴原式＝（A﹣12）（A﹣2）+24＝（A﹣6）（A﹣8）22＝（x+x﹣6）（x+x﹣8）2＝（x﹣2）（x+3）（x+x﹣8）【討論】對于此類題，最好的方法是注意察看，多做一些練習，自然能夠摸清規(guī)律．特別注意常數項．12．（5分）若22522或，且xy+yz+zx＝99，則2x+12y+9z＝【分析】由題意，能夠求出x＝3y，z＝2y，此后把其代入出x，y，z的值，從而進行求解．【解答】解：∵，x＝3y，z＝2y，2222∴xy+yz+zx＝3y+2y+6y＝11y＝99，∴y2＝9，∴y＝±3，當y＝﹢3時，22222x+12y+9z＝2×9y+12×3+9×4y＝522，

．xy+yz+zx＝99，求第7頁（共12頁）當y＝﹣3時，22222x+12y+9z＝2×9y+12×（﹣3）+9×4y＝450，故答案為522或450．【討論】本題主要察看代數式的求值，利用整體代入法進行計算，能夠減少運算量，另外計算時要認真．13．（5分）小勇有一個哥哥和一個弟弟，哥哥的年紀是20歲，小勇的年紀的2倍加上他弟弟年紀的5倍等于97，小勇的年紀是16歲，他弟弟的年紀是13．【分析】第一假定小勇年紀是x歲，他弟弟年紀是y歲．依照題意可列方程2x+5y＝97，再找尋隱含條件x，y均為正整數，且20＞x＞y≥1．從而求得x、y的值．【解答】解：設小勇年紀是x歲，他弟弟年紀是y歲，此中x，y均為正整數，且20＞x＞y≥1，則依題意可得：2x+5y＝97y＝＝﹣＝﹣﹣＝由于y為正整數，因此也為正整數，且1＜x＜20，x為正整數，而且x＞y；依照x＞y，可得，x＞20＞x≥14①當x＝14、15時，不合題意舍去；②當x＝16時，y＝13；③當x＝17、18、19時，不合題意舍去．因此只有x＝16時，y＝13，知足題意．故答案為16，13．【討論】本題察看二元一次方程組的運用．同學們對于像本題這樣的不定方程，必然要依照題意找尋題目中的隱含條件，從而求得方程的解．14．（5分）一個兩位數，它的十位數字與個位數字對換后，所得數是原兩位數兩個數字和的6倍，則此兩位數是45．【分析】設這個兩位數十位上的數字為a，個位上的數字為b，它的十位數字與個位數字對換后所得兩位數為（10b+a），依照題意可列方程（10b+a）＝6（b+a）．求解即可．【解答】解：設這個兩位數十位上的數字為a，個位上的數字為b，它的十位數字與個位數字對換后所得兩位數為（10b+a），第8頁（共12頁）即：10b+a＝6a+6b4b＝5a，a＝4，b＝5，∴兩位數為45．【討論】本題察看的是一個數字問題，重點是正確設出這個兩位數，設的時候設個位上的數字和十位上的數字，此后依照題意列方程求解．15．（5分）5≤x≤20，25≤a≤30，則的取值范圍是．【分析】先求得的范圍，在依照不等式的性質求出的范圍即可．【解答】解：∵5≤x≤20，而25≤a≤30，∴≤≤，∴≤，故答案為≤．【討論】本題察看了不等式的性質：1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變．2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．16．（5分）1+2+3+4++1993的值是奇（奇、偶）數．【分析】求出1+2+3+4++1993的值，即可作出判斷．【解答】解：1+2+3+4++1993＝×1993×（1993+1）＝1993×997而1993與997都是奇數，因此它們的積是奇數，即1+2+3+4++1993是奇數．故答案是：奇數．【討論】本題主要察看了奇數的性質：兩個奇數的積還是奇數．正確求得1+2+3+4++1993的積是解題的重點．三、解答題（共3小題，滿分48分）17．（16分）把1，2，3，4，，1986，1987這1987個自然數平均排成一個大圓圈，從1開始數：隔過1劃2，3；隔過4劃掉5，6，這樣每隔一個數劃掉兩個數，轉圈劃下去，問：最后剩下哪個數？【分析】依照題意可得劃過第一圈后，剩的數都是除以3后余數為1的數，再劃過一圈第9頁（共12頁）后，剩的數是差為9的數列，再劃一圈后，剩差為81的數列，再劃，剩差為243的數列，再劃一圈，剩差為729數列，由此可得出答案．【解答】解：劃過第一圈后，剩的數都是除以3后余數為1的數，即：1，4，7，10，13，161987，再劃過一圈后，剩的數是差為9的數列：7，16，251987，再劃過一圈后，則剩下的數為差27的數列：25，52，791942，1969，再劃一圈后，剩差為81的數列：25，106，2871888，1969，再劃，剩差為243的數列：187，4301888，再劃一圈，剩差為729數列以下：430，1159，1888∴最后再劃一圈，所剩的數是1888．【討論】本題察看帶余數的除法，難度較大，技巧性也較強，重點是得出每次化掉數的特色．18．（16分）已知：|2y﹣a|＝axy﹣1）求證：無論a為什么值時，總有y2＝x；2）當a為什么值時，|x|＝|y|成立？【分析】（1）利用完滿平方公式和絕對值的非負性求解即可；（2）由（1）可知x＝a2，y＝a，若|x|＝|y|則可成立對于a的方程解方程即可．【解答】解：（1）∵|2y﹣a|＝axy﹣，∴|2y﹣a|+（x﹣ay）2＝0，∴，將a消去，即有y2＝x；（2）若|x|＝|y|成立，則有＝，∴＝，當a≥0時，即a2﹣2a＝0，即a＝0或a＝2；第10頁（共12頁）a＜0時，即a2+2a＝0，a＝0或a＝﹣2；∴當a＝0或a＝2