拋物線性質(zhì)公開課

拋物線的簡單幾何性質(zhì)（一）M是拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，若點(diǎn)M

的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是x0+—2pOyx．FM．焦半徑及焦半徑公式拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離P(x0，y0)在y2=2px上，P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,1、拋物線的范圍:y2=2pxy取全體實(shí)數(shù)xyX0拋物線的幾何性質(zhì)：2、拋物線的對稱性y2=2px關(guān)于x軸對稱XY定義：拋物線與對稱軸的交點(diǎn)，叫做拋物線的頂點(diǎn)只有一個(gè)頂點(diǎn)

XY3、拋物線的頂點(diǎn)y2=2px所有的拋物線的離心率都是1XY4、拋物線的離心率y2=2px基本點(diǎn)：頂點(diǎn)，焦點(diǎn)基本線：準(zhǔn)線，對稱軸基本量：焦準(zhǔn)距p（決定拋物線開口大?。Y5、拋物線的基本元素y2=2px例1：已知拋物線y2=2x(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，0)，求曲線上與點(diǎn)A距離最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的|PA|的值；(2)若?題中A(2,0)，則結(jié)果如何？例2：斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B,求線段AB的長.6、焦點(diǎn)弦和通徑通徑是焦點(diǎn)弦中最短的弦，通徑|AB|=2p設(shè)AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點(diǎn)F的一條弦。設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)M(x0,y0),過A,B,M分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為A1,B1,M1,則yFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1A(x1,y1)(1)|AB|＝x1+x2+p

(2)x1x2=,y1y2=-p2XyFOB(x2,y2)MA1B1M1y2=2px(p>0)yFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1(5)證明:以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切y2=2px(p>0)∠AM1B=Rt∠,∠A1FB1=Rt∠N練習(xí)1：已知拋物線方程為y2=4x，直線l過定點(diǎn)P（-2，1），斜率為k.則k為何值時(shí)，直線l與拋物線y2=4x

只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)呢。提出問題

過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求證：.（焦點(diǎn)弦的其中一條性質(zhì)）

探究1

過焦點(diǎn)的直線具有上述性質(zhì)，反之，若直線AB與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)為，且，那么直線AB是否經(jīng)過焦點(diǎn)F呢？

探究2

既然過拋物線焦點(diǎn)的直線與其相交，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積是一個(gè)定值，那么過拋物線對稱軸上其他任意一定點(diǎn)，是否也有這個(gè)性質(zhì)呢?探究3

設(shè)拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，問AB是否恒過某一定點(diǎn)？

探究4

設(shè)拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程.探究5

設(shè)拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則直線AB是否過定點(diǎn)？求AB中點(diǎn)P的軌跡方程.探究6

設(shè)拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，M為該拋物線上一定點(diǎn)，且MA⊥MB，則直線AB是否過定點(diǎn)？探究7

若M為拋物線上一個(gè)定點(diǎn)，A、B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(r為非零常數(shù))，求證：直線AB過定點(diǎn)。

將“探究6”的“直線MA與直線MB的傾斜角之差為900”變?yōu)椤爸本€MA與直線MB的傾斜角之和為900”，即，r=1,直線AB過定點(diǎn).將“探究6”的“直線MA與直線MB的傾斜角之差為900”變?yōu)椤爸本€MA與直線MB的傾斜角之和為1800”，直線AB不過定點(diǎn)，但可得到：

探究8

若M為拋物線上一個(gè)定點(diǎn)，A、B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線MA與直線MB的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線AB的斜率為定值。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題的一般思想方法，一是考慮原命題的逆命題是否成立；二是考慮能否把原命題進(jìn)行一般推廣；三是考慮從原命題條件中還能推出什么結(jié)論？四是考慮把原命題進(jìn)行適當(dāng)變式進(jìn)行拓展。

問題

(2004年北京卷理)

過拋物線上一定點(diǎn)，作兩條直線分別交拋物線于.當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率為非零常數(shù).變式1過拋物線上一定點(diǎn)，作兩條直線分別交拋物線于，若直線AB的斜率為定值，證明直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ).

設(shè)動(dòng)直線AB：y=-x+b與拋物線相交于兩點(diǎn)，問在直線MN：x=2上能否找到一定點(diǎn)P（坐標(biāo)與b

的值無關(guān)），使得直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)？變式2變式3

如圖，拋物線，過點(diǎn)P(1,0)作斜率為k的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，直線BC交x軸于Q點(diǎn)，當(dāng)k變化時(shí)，探究點(diǎn)Q是否為定點(diǎn)？練習(xí)1：如圖，定長為3的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離。練習(xí)2：正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px(p>0)上，求這個(gè)三角形的邊長。變式：已知在拋物線y=x2上三個(gè)點(diǎn)A、B、C組成一個(gè)等腰直角三角形，且頂點(diǎn)B是直角頂點(diǎn)，

(1)設(shè)直線BC的斜率為k，求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求等腰直角三角形的面積的最小值。拋物線的對稱性問題例.已知直線過原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，且點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)都在拋物線上，求直線和拋物線的方程。2.2拋物線的簡單性質(zhì)

第1課時(shí)拋物線的簡單性質(zhì)

前面我們已學(xué)過橢圓的幾何性質(zhì),它們都是通過標(biāo)準(zhǔn)方程的形式研究的,現(xiàn)在請大家想想拋物線有哪些性質(zhì)?讓我們進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)！1.會(huì)根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，研究拋物線的幾何性質(zhì).（重點(diǎn)）2.了解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)與圖像三者之間的對應(yīng)關(guān)系,會(huì)根據(jù)此對應(yīng)關(guān)系求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（重點(diǎn),難點(diǎn)）觀察下表中拋物線的四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程及對應(yīng)圖像，結(jié)合橢圓的簡單幾何性質(zhì)，來研究拋物線的幾何性質(zhì):類型y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py圖像1.對稱性P(x,y)通過觀察圖像可知,此拋物線關(guān)于x軸對稱,我們把拋物線的對稱軸叫作拋物線的軸.拋物線只有一條對稱軸.l思考：觀察表中的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及對應(yīng)圖像，我們要研究拋物線的范圍應(yīng)從哪幾個(gè)方面入手?試舉例說明.提示：像研究橢圓的性質(zhì)一樣，探究拋物線的范圍問題主要從圖像與對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程兩個(gè)角度探討.以y2=-2px為例，因p>0，從方程的角度看y2=-2px≥0得x≤0,y∈R.從圖像角度看，方程y2=-2px中因p>0得其圖像開口向左，其圖像在x軸的左側(cè)，圖像上對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x≤0，縱坐標(biāo)y∈R.2.范圍拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.拋物線是無界曲線.由拋物線y2=2px（p>0）而所以拋物線的范圍為3.頂點(diǎn)P(x,y)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫作拋物線的頂點(diǎn).l思考：觀察表中拋物線圖像上點(diǎn)與焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離的聯(lián)系，結(jié)合拋物線離心率的概念探究拋物線離心率的大小.提示：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離的比，叫作拋物線的離心率，通過拋物線的定義及圖形特點(diǎn)易得拋物線的離心率為1.4.離心率拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的_________，叫作拋物線的離心率，用e表示.由拋物線的定義可知e=__.離心率距離的比1思考：若在圖像中過焦點(diǎn)F作一直線，當(dāng)此直線與對稱軸垂直時(shí)，試探究所得弦長的值.提示：所得弦長的值為2p(p＞0)，不妨設(shè)垂直于拋物線對稱軸的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作AA′,BB′垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)A′,B′，則有|AB|=|AA′|+|BB′|=2p.5.通徑：通徑：在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)中，令，則y=±p.這就是說，通過焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為xOyF通徑的長度：p越大,開口越開闊利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.連接這兩點(diǎn)的線段叫作拋物線的通徑.2p圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對稱軸elFyxOylFxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1lyxFO思考：拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線與對稱軸交點(diǎn)三者之間有何聯(lián)系？提示：頂點(diǎn)恰好是焦點(diǎn)、準(zhǔn)線與對稱軸交點(diǎn)的中點(diǎn)，可利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立三者之間的關(guān)系.例：求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，通過點(diǎn)且以坐標(biāo)軸為軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【提升總結(jié)】求解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)參數(shù)：p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用頂點(diǎn)、準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的位置關(guān)系可快速求參數(shù)p.(2)對稱：拋物線是軸對稱圖形，利用圖形的特點(diǎn)，給出圖像能寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由標(biāo)準(zhǔn)方程能畫出其圖像，是學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的基本能力.需要對拋物線四種基本標(biāo)準(zhǔn)形式及其圖像在坐標(biāo)系內(nèi)的位置熟練掌握.1.若直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，則該直線的斜率為()A.0B.1C.-1D.-2【提示】直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)(1，0).C2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(4,-2)的拋物線