控制工程 第4章-系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析

000.20.40.60.811.21.41.61.82t(s)c(t)第4章系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析系統(tǒng)性能的時(shí)域分析引言本課程主要是研究控制系統(tǒng)的分析問(wèn)題，即在系統(tǒng)和輸入已知的情況下，通過(guò)求輸出(響應(yīng))并根據(jù)輸出來(lái)分析系統(tǒng)的性能（主要是動(dòng)態(tài)性能）。對(duì)控制系統(tǒng)的基本要求是：穩(wěn)、準(zhǔn)、快。穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性、快速性反映了系統(tǒng)的性能。理想的情況是輸入的信號(hào)波形是什么樣，系統(tǒng)的輸出波形就應(yīng)該是什么樣，但實(shí)際的系統(tǒng)是很難滿足這一要求的，存在著不穩(wěn)、不準(zhǔn)、不快等問(wèn)題。系統(tǒng)分析的目的主要就是確定一個(gè)系統(tǒng)在這三方面的性能。*2引言系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是指系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的振蕩傾向及其恢復(fù)平衡狀態(tài)的能力。系統(tǒng)在受到外界擾動(dòng)作用時(shí)，其被控制量y(t)將偏離平衡位置，當(dāng)這個(gè)擾動(dòng)作用去除后，若系統(tǒng)在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)能恢復(fù)到其原來(lái)的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的準(zhǔn)確性

準(zhǔn)確性是指系統(tǒng)的控制精度，一般用穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量，如用系統(tǒng)穩(wěn)定后的實(shí)際輸出與希望輸出之間的差值或輸入量與反饋量的差值或其它定義方法。系統(tǒng)的快速性

快速性是指輸出量和輸入量產(chǎn)生偏差時(shí)，系統(tǒng)消除這種偏差的快慢程度。*3引言二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位階躍響應(yīng)曲線000.20.40.60.811.21.41.61.82t(s)c(t)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線=0.4=1=2=0=0.7允差帶圖2-62二階系統(tǒng)理想輸出*4引言對(duì)系統(tǒng)性能的分析可以采用不同的方法進(jìn)行。本章到第6章的內(nèi)容就是介紹這些不同的方法。本章是在時(shí)間域上分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；第5章是在頻率域上分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；而第6章則是針對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。這三章內(nèi)容是本課程的核心內(nèi)容。前三章都是為這三章作準(zhǔn)備的，而第七章則是這三章的應(yīng)用。*5本章主要內(nèi)容時(shí)間響應(yīng)及時(shí)間響應(yīng)的求法；常見(jiàn)系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)；系統(tǒng)在時(shí)間域上的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)；系統(tǒng)響應(yīng)的誤差分析。*6本章學(xué)習(xí)要求、重點(diǎn)、難點(diǎn)學(xué)習(xí)要求掌握時(shí)間響應(yīng)和脈沖響應(yīng)函數(shù)的概念；掌握典型一階、二階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)（單位階躍信號(hào)、單位斜坡信號(hào)，單位脈沖信號(hào)）的時(shí)間響應(yīng)求法，并會(huì)借此對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析；掌握時(shí)域性能指標(biāo)的含義和計(jì)算方法，明確性能指標(biāo)與系統(tǒng)特征參數(shù)之間的關(guān)系；掌握系統(tǒng)誤差的概念和穩(wěn)態(tài)誤差的分析方法，明確穩(wěn)態(tài)誤差的影響因素；*7本章學(xué)習(xí)要求、重點(diǎn)、難點(diǎn)本章重點(diǎn)典型一階、二階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)的求法及響應(yīng)曲線與系統(tǒng)特征參數(shù)之間的關(guān)系；二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)及其與系統(tǒng)特征參數(shù)之間的關(guān)系；系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的求法以及穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)特征參數(shù)、輸入信號(hào)和干擾之間的關(guān)系。本章難點(diǎn)時(shí)間響應(yīng)的求解過(guò)程；穩(wěn)態(tài)誤差的求解。*8本章作業(yè)P97～P98習(xí)題4-14-24-4本章作業(yè)第5周星期三交。今天交第3章作業(yè)。*94-1時(shí)間響應(yīng)時(shí)間響應(yīng)的概念脈沖響應(yīng)函數(shù)(或權(quán)函數(shù))*104-1時(shí)間響應(yīng)時(shí)間響應(yīng)的概念系統(tǒng)在輸入量激勵(lì)下，其輸出量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系稱之為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。通過(guò)對(duì)時(shí)間響應(yīng)的分析可揭示系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性。如二階系統(tǒng)（震蕩環(huán)節(jié)）在欠阻尼（ζ＜1)情況下的單位階躍響應(yīng)（輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)的時(shí)間響應(yīng)）為*114-1時(shí)間響應(yīng)時(shí)間響應(yīng)的概念利用時(shí)間響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性、快速性等）進(jìn)行分析稱為時(shí)域分析法。系統(tǒng)分析常用的典型輸入信號(hào)（或函數(shù)）：簡(jiǎn)諧信號(hào)（即正弦或余弦信號(hào)）、脈沖信號(hào)、階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)、加速度信號(hào)（或稱拋物線信號(hào)at2）等。其中，簡(jiǎn)諧信號(hào)用在頻域分析中，其它信號(hào)（斜坡信號(hào)除外）則是在本章介紹的時(shí)域分析中使用。這些典型信號(hào)形式簡(jiǎn)單，在試驗(yàn)中也容易獲得（往往是近似的），也能反映系統(tǒng)的實(shí)際工況。分析不同系統(tǒng)對(duì)同一典型輸入信號(hào)的響應(yīng)即可對(duì)不同系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較。*124-1時(shí)間響應(yīng)線性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的組成

根據(jù)響應(yīng)的性質(zhì)和來(lái)源的不同，可將時(shí)間響應(yīng)分解成如下形式：時(shí)間響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+瞬態(tài)響應(yīng)(對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)而言)時(shí)間響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)時(shí)間響應(yīng)=強(qiáng)迫響應(yīng)+自由響應(yīng)時(shí)間響應(yīng)=微分方程的特解+齊次方程的通解*134-1時(shí)間響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)ctr(t)：對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)，瞬態(tài)響應(yīng)是指時(shí)間響應(yīng)中隨著時(shí)間的增加而逐漸減小，最終趨于0的那部分響應(yīng)。教材中的定義：系統(tǒng)受到外加作用激勵(lì)后，從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。指的是穩(wěn)定狀態(tài)之前的整個(gè)時(shí)間響應(yīng)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)css(t)：是指當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。時(shí)間響應(yīng)c(t)：c(t)=ctr(t)+css(t)對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，分不出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)。因此，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)的概念對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)沒(méi)有意義。*144-1時(shí)間響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)

的單位階躍響應(yīng)曲線

1y(t)0nt=0.4穩(wěn)態(tài)響應(yīng)*154-1時(shí)間響應(yīng)對(duì)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，瞬態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間的增加而逐漸減小，所以也有人稱其為暫態(tài)響應(yīng)或過(guò)渡響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng)除了與輸入信號(hào)有關(guān)外，還與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)。系統(tǒng)初始狀態(tài)不同，瞬態(tài)響應(yīng)也不同。瞬態(tài)響應(yīng)對(duì)控制系統(tǒng)往往是有害的，可能造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，并帶來(lái)控制誤差。所以要盡量減小和縮短瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程。瞬態(tài)響應(yīng)反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和響應(yīng)的快速性。對(duì)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)只是由輸入信號(hào)引起，而與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。因?yàn)槌跏紶顟B(tài)由于能量有限，所以它引起的響應(yīng)總要衰減到0，因此，初始狀態(tài)引起的響應(yīng)屬于瞬態(tài)響應(yīng)（但不等于瞬態(tài)響應(yīng)，因?yàn)檩斎肓恳材芤鹚矐B(tài)響應(yīng)）。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映了系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。*164-1時(shí)間響應(yīng)求系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的方法：求解微分方程：直接求解或利用拉氏變換求解，可得到系統(tǒng)全響應(yīng)；利用傳遞函數(shù)求解：只能得到系統(tǒng)的0初始條件下的響應(yīng)（對(duì)線性因果系統(tǒng)而言即是零狀態(tài)響應(yīng)）；因?yàn)閭鬟f函數(shù)是在初始條件為0的情況下得到的。本章主要利用此方法，過(guò)程如下：y(t)X(s)輸入輸出系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)系統(tǒng)G(s)x(t)Y(s)零狀態(tài)響應(yīng)*174-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）的單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）的單位斜坡響應(yīng)*184-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。其微分方程的一般形式為c(t)—輸出；r(t)—輸入。常見(jiàn)形式化成通用形式式中

，稱為靜態(tài)增益；

，叫時(shí)間常數(shù)；*194-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)令L[c(t)]=C(s)，L[r(t)]=R(s)

。在初始條件為0的情況下對(duì)上式等號(hào)兩邊同時(shí)作拉氏變換得到由此得到常見(jiàn)形式一階線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式如下典型一階系統(tǒng)1/(Ts+1)（歸一化K=1）的方塊圖(a)E(s)R(s)C(s)R(s)C(s)＋－(b)比例環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)*204-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)例1K=1/k，T=B/k。例2RCuo(t)ui(t)慣性環(huán)節(jié)比例-慣性環(huán)節(jié)*214-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)

（慣性環(huán)節(jié)）的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。單位階躍信號(hào)的拉氏變換為1tr(t)0單位階躍信號(hào)*224-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為*23穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)當(dāng)T=0時(shí)，時(shí)域響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))為c(t)=1(t≥0)系統(tǒng)變?yōu)榱汶A系統(tǒng)(比例環(huán)節(jié))，零階系統(tǒng)為理想系統(tǒng)。對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得時(shí)間響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))4-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)1/(Ts+1)的單位階躍響應(yīng)曲線*24圖2-60一階系統(tǒng)UnitStepResponseforH(s)=1/(Ts+1)

t(s)c(t)02468101200.20.40.60.81

T=0T=0.1T=0.5T=1T=24-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)1/(Ts+1)的單位階躍響應(yīng)曲線*25圖2-60一階系統(tǒng)結(jié)論：這種一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）的時(shí)間常數(shù)T越小，響應(yīng)越快（慣性越?。瑒?dòng)態(tài)特性越好，所以T稱為一階系統(tǒng)的特征參數(shù)。5T4T3T2TT0c(t)t63.2%95.03%98.2%99.3%誤差帶2%1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線86.5%4-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)

(慣性環(huán)節(jié))的單位脈沖響應(yīng)*26單位脈沖響應(yīng)：輸入為單位脈沖信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。單位脈沖信號(hào)的拉氏變換為(1)tr(t)0單位脈沖信號(hào)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換為0.5210g(t)一階系統(tǒng)G(s)=1/(Ts+1)的單位脈沖響應(yīng)曲線t4-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得時(shí)間響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))穩(wěn)態(tài)響應(yīng)=0瞬態(tài)響應(yīng)從響應(yīng)可知，T越小，響應(yīng)越快（越快地趨近0），且在0時(shí)刻的響應(yīng)越大

。當(dāng)T→0時(shí)，響應(yīng)變成了單位脈沖信號(hào)。T

＝0.5T

＝1T＝2*274-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)

（慣性環(huán)節(jié)）的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡響應(yīng)：輸入為單位斜坡信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。單位斜坡信號(hào)的拉氏變換為tr(t)0單位斜坡信號(hào)單位斜坡響應(yīng)的拉氏變換為*284-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得時(shí)間響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)分析：由于穩(wěn)態(tài)誤差的存在，這種一階系統(tǒng)對(duì)斜坡信號(hào)的響應(yīng)總是落后于輸入，也就是說(shuō)系統(tǒng)響應(yīng)的誤差總是存在的。當(dāng)t較大時(shí)，瞬態(tài)誤差近似為0，響應(yīng)落后于輸入的時(shí)間近似為T(mén)?？梢赃@樣理解，當(dāng)瞬態(tài)誤差很小時(shí)，一階系統(tǒng)對(duì)斜坡信號(hào)的響應(yīng)是T秒以前的輸入量，即

css(t)=r(t?T)?1(t?T)=(t?T)?1(t?T)。結(jié)論：上述分析表明，T越小，這種一階系統(tǒng)對(duì)單位斜坡信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小，響應(yīng)越快。穩(wěn)態(tài)誤差=T*294-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)012345678910012345678910Unit-RampResponset(s)c(t)一階系統(tǒng)G(s)=1/(Ts+1)的單位斜坡響應(yīng)TTT=2T=0T=1T=3一階系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)間滯后*304-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)例子：一氣象氣球攜帶一種時(shí)間常數(shù)為15s的一階溫度計(jì)，以5m/s的上升速度在大氣層中上升。設(shè)大氣溫度按每升高30m下降0.15℃的規(guī)律而變化，氣球?qū)囟群透叨鹊臄?shù)據(jù)用無(wú)線電波送回地面。在3000m處所記錄的溫度為?l℃。試問(wèn)實(shí)際出現(xiàn)?l℃的真實(shí)高度是多少？解：該溫度計(jì)為一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)設(shè)為溫度隨高度線性變化，對(duì)溫度計(jì)來(lái)說(shuō)相當(dāng)于輸入了一個(gè)斜坡信號(hào)，而這樣的一階系統(tǒng)對(duì)斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)滯后時(shí)間為時(shí)間常數(shù)T

=15s(滯后時(shí)間與K無(wú)關(guān))，如果不計(jì)無(wú)線電波傳送時(shí)間，則溫度計(jì)的輸出實(shí)際上是15s以前的溫度，所以實(shí)際出現(xiàn)?l℃的真實(shí)高度是Hz=H-V=3000?515=2925m*31單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)、單位斜坡響應(yīng)之間的關(guān)系根據(jù)線性定常系統(tǒng)的微分特性和積分特性線性定常系統(tǒng)則線性定常系統(tǒng)若線性定常系統(tǒng)因?yàn)樗源私Y(jié)論對(duì)二階及二階以上線性定常系統(tǒng)同樣適用。*32線性定常系統(tǒng)r(t)為單位斜坡函數(shù)4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)（震蕩環(huán)節(jié)）的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)（震蕩環(huán)節(jié)）的單位脈沖響應(yīng)二階系統(tǒng)（震蕩環(huán)節(jié)）的單位斜坡響應(yīng)*334-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。其微分方程的一般形式為*34一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)y(t)—輸出；x(t)—輸入。其常見(jiàn)形式（震蕩環(huán)節(jié)）為：化成通用形式：4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)傳遞函數(shù)為：*35一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)式中

，稱為靜態(tài)增益；

，叫無(wú)阻尼固有角頻率（rad/s）；

，叫阻尼比。典型二階系統(tǒng)（歸一化K=1）方塊圖R(s)E(s)C(s)R(s)C(s)－＋(a)(b)4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)例1：一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)mf(t)—力x(t)—位移kB彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)例2：RLC網(wǎng)絡(luò)LRCuo(t)ui(t)i(t)K=1*364-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)

（震蕩環(huán)節(jié)）的單位階躍響應(yīng)*37要將上式展開(kāi)成部分分式之和，需考慮到不同的ζ值會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果。從上式可知，當(dāng)0≤ζ＜1時(shí)，G(s)的兩個(gè)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)；當(dāng)ζ＝1時(shí)，G(s)的兩個(gè)極點(diǎn)(實(shí)數(shù))重合；當(dāng)ζ＞1時(shí)，G(s)的兩個(gè)極點(diǎn)為實(shí)數(shù)。所以，要展開(kāi)上式，應(yīng)根據(jù)ζ大小的不同分別處理?！咀ⅰ喀疲?時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，這里不做研究。4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)

的極點(diǎn)分布圖*38[s]平面上二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布圖0?ζωnσjω

θs2s1s（a）0＜ζ＜1?0?ωnσjωs1=s2（b）ζ＝1sσ（c）ζ＞1s1s20jωs?jωnσ（d）ζ＝0jωn0jωs1s2s4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)（1）欠阻尼情況(0≤ζ＜1)此時(shí)，G(s)有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)

稱為有阻尼固有（或自然）角頻率。將C(s)改寫(xiě)成如下形式（也可利用部分分式法，但很麻煩）*394-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)利用拉氏變換復(fù)域位移定理或直接查對(duì)照表可知*40穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)(0≤ζ＜1)4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)當(dāng)無(wú)阻尼（ζ=0）時(shí)*41等幅振蕩4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)（2）臨界阻尼情況(ζ＝1)此時(shí)，G(s)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)極點(diǎn)?ωn，所以所以瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)*424-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)（3）過(guò)阻尼情況(ζ＞1)此時(shí)，G(s)有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)所以*43求得代入上式得4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)*44教材82頁(yè)按此修改。4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)因?yàn)?/p>

，所以，上式后兩項(xiàng)都按指數(shù)規(guī)律衰減。若ζ>>1，則上式第二項(xiàng)遠(yuǎn)較第三項(xiàng)衰減得快，因而可忽略第二項(xiàng)，即這時(shí)，二階系統(tǒng)蛻化為一階系統(tǒng)。*454-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位階躍響應(yīng)曲線*46c(t)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線=0.1=0.3=0.7=0.9=2=0=0.5圖2-62二階系統(tǒng)000.511.52t(s)允差帶5%r(t)=1【注】教材82頁(yè)圖4-16的橫坐標(biāo)分度為ωnt，為無(wú)量綱量。

4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位階躍響應(yīng)曲線*47c(t)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線=0.1=0.3=0.7=0.9=2=0=0.5圖2-62二階系統(tǒng)000.511.52t(s)允差帶2%r(t)=14-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)*48c(t)t(s)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲面

4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)00.0050.0060.0070.0080.0090t(s)0.0010.0020.0030.0040.010.20.40.60.81c(t)

n=5000n=4000n=3000n=2000n=1000=0.6固有頻率對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響分析允差帶*49說(shuō)明ωn不影響系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，只影響響應(yīng)速度。4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)結(jié)論由上面的響應(yīng)式可知，參數(shù)ζ和ωn都要影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。這種系統(tǒng)的阻尼比選在0.7左右（如0.5~0.8）時(shí)趨于穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間較短，相對(duì)穩(wěn)定性也較好，即動(dòng)態(tài)特性較好；無(wú)阻尼固有頻率n越大，趨于穩(wěn)態(tài)的時(shí)間越短，動(dòng)態(tài)特性越好?！敬私Y(jié)論不可推廣到其他形式的二階系統(tǒng)】

*504-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)

（震蕩環(huán)節(jié)）的單位脈沖響應(yīng)*51因?yàn)閱挝幻}沖函數(shù)δ(t)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)線性定常系統(tǒng)的微分特性可知，單位脈沖響應(yīng)也是單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。所以直接對(duì)前述單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)即可得到單位脈沖響應(yīng)，結(jié)果如下。4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)（1）欠阻尼情況(0≤ζ＜1)指數(shù)衰減振蕩（2）臨界阻尼情況(ζ＝1)指數(shù)衰減穩(wěn)態(tài)響應(yīng)=0（不管ζ等于多少）無(wú)阻尼（ζ=0）時(shí)等幅正弦振蕩*524-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)（3）過(guò)阻尼情況(ζ＞1)因?yàn)?/p>

，所以，上述中括號(hào)里的兩項(xiàng)都按指數(shù)規(guī)律衰減。若ζ>>1，則上式中括號(hào)里的第一項(xiàng)遠(yuǎn)較第二項(xiàng)衰減得慢，因而可忽略第二項(xiàng)，即這時(shí)，二階系統(tǒng)蛻化為一階系統(tǒng)。教材中82頁(yè)此式不對(duì)*534-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位脈沖響應(yīng)曲線00t(s)c(t)Unit-ImpulseResponseofG(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)

二階系統(tǒng)ζ=0ζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5ζ=0.7ζ=1ζ=2誤差帶*544-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)固有頻率對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響分析00.511.522.533.544.55×10-3-500050010001500200025003000ImpulseResponset(s)n=5000n=4000n=3000n=2000=0.5c(t)*554-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)結(jié)論：由上面的響應(yīng)式可知，參數(shù)ζ和ωn都要影響動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。由單位脈沖響應(yīng)曲線可見(jiàn)當(dāng)ζ＜1時(shí)，開(kāi)始響應(yīng)快，但振蕩強(qiáng)烈，趨于穩(wěn)態(tài)（0）的時(shí)間長(zhǎng)。當(dāng)ζ=0時(shí)，響應(yīng)變成了等幅正弦振蕩過(guò)程c(t)=ωnsinωnt。隨著ζ的增大，振蕩幅度減小，趨于穩(wěn)態(tài)值（落在允許誤差帶內(nèi)）的時(shí)間減小。當(dāng)ζ≥1時(shí)，響應(yīng)曲線變成指數(shù)衰減曲線，不再有振蕩，響應(yīng)雖然不再有振蕩，但趨于穩(wěn)態(tài)的時(shí)間也增長(zhǎng)。只有ζ在0.7左右時(shí)，趨于穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間才最短，相對(duì)穩(wěn)定性也較好。所以，這種系統(tǒng)的阻尼比多選在0.5～0.8之間。另外，ωn越大，趨于穩(wěn)態(tài)的時(shí)間越短。*564-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位斜坡響應(yīng)*57穩(wěn)態(tài)誤差瞬態(tài)響應(yīng)Unit-RampResponseofG(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)t(s)c(t)012345678910012345678910

4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位斜坡響應(yīng)曲線*58二階系統(tǒng)2ζ/ωn時(shí)間滯后2ζ/ωn穩(wěn)態(tài)誤差圖2-65二階系統(tǒng)r(t)=tζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5ζ=0.7ζ=0.9ζ=1.1ζ=1.5ζ=04-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)由于穩(wěn)態(tài)誤差的存在，這種二階系統(tǒng)對(duì)斜坡信號(hào)的響應(yīng)總是落后于輸入，也就是說(shuō)動(dòng)態(tài)誤差總是存在的。當(dāng)t較大時(shí)，瞬態(tài)誤差近似為0，輸出（響應(yīng)）落后于輸入的時(shí)間近似為2ζ/ωn?？梢赃@樣理解，當(dāng)瞬態(tài)誤差很小時(shí)，這種二階系統(tǒng)對(duì)斜坡信號(hào)的響應(yīng)輸出是2ζ/ωn秒以前的輸入量，即c(t)=x(t?2ζ/ωn)?1(t

?2ζ/ωn)=(t?2ζ/ωn)?1(t

?2ζ/ωn)動(dòng)態(tài)參數(shù)ζ和ωn都要影響動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。減小ζ，提高ωn，可以減小穩(wěn)態(tài)誤差和時(shí)間滯后。但由響應(yīng)曲線可以看出，ζ太小系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的振蕩，瞬態(tài)誤差很大，趨于穩(wěn)態(tài)值（t?2ζ/ωn）的時(shí)間很長(zhǎng)。所以，這種系統(tǒng)的阻尼比多選在0.5～0.8之間，這樣既能保證較短的趨于穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，又能保證較小的穩(wěn)態(tài)誤差。另外，ωn越大，趨于穩(wěn)態(tài)的時(shí)間越短，穩(wěn)態(tài)誤差也越小。*59時(shí)間響應(yīng)分析說(shuō)明上述分析是針對(duì)常見(jiàn)一、二階傳遞函數(shù)形式的系統(tǒng)進(jìn)行的，得到的結(jié)論不可簡(jiǎn)單地推廣到其它形式的一、二階系統(tǒng)。例如，右圖所示系統(tǒng)也是一個(gè)一階系統(tǒng)，其微分方程和傳遞函數(shù)分為其復(fù)域單位階躍響應(yīng)為RCuo(t)ui(t)*60時(shí)間響應(yīng)分析說(shuō)明其時(shí)域單位階躍響應(yīng)為00.511.522.5300.20.40.60.81

Unit-StepResponseof

G(s)=Ts/(Ts+1)t

(s)uo(t)T=0.1T=0.2T=0.3T=0.4T=0.5如果將該系統(tǒng)看成是高通濾波器，則從功能上來(lái)說(shuō)，該系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)T不是越小越好，也不是越大越好，而是要根據(jù)濾波頻率下限的限制來(lái)選擇。*614-4高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析三階系統(tǒng)高階系統(tǒng)*62略4-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)*634-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)為了在時(shí)域評(píng)價(jià)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，一般要使用一些量化的參數(shù)——時(shí)域性能指標(biāo)。時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)以下是性能指標(biāo)定義的條件系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號(hào)，即系統(tǒng)的響應(yīng)為單位階躍響應(yīng)；系統(tǒng)的初始條件為零，即系統(tǒng)的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)?！咀⒁狻繉?shí)測(cè)時(shí)，輸入不一定能保證是單位階躍信號(hào)（而是非單位階躍信號(hào)），但按下述定義計(jì)算的性能指標(biāo)不變。*644-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)常用的時(shí)域響應(yīng)性能指標(biāo)0.10.50.91c(tp)0c(t)t允差帶±δ%二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位階躍響應(yīng)曲線圖2-71二階系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值tr(過(guò)阻尼)調(diào)整時(shí)間tstp峰值時(shí)間td延遲時(shí)間c(tp)tr上升時(shí)間(欠阻尼)超調(diào)量*65超調(diào)量Mp表征了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，td、tr及ts表征了系統(tǒng)的快速性（靈敏性）。4-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)常用的時(shí)域響應(yīng)性能指標(biāo)延遲時(shí)間td：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)c(t)達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間，稱作延遲時(shí)間。上升時(shí)間tr：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)c(t)，從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%(通常用于過(guò)阻尼系統(tǒng))，或從0首次上升到100%所需的時(shí)間(通常用于欠阻尼系統(tǒng))，稱作上升時(shí)間。峰值時(shí)間tp：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)c(t)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間，定義為峰值時(shí)間。調(diào)整時(shí)間ts：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)值之差進(jìn)入允許的誤差±δ%范圍，并一直保持在這一誤差范圍內(nèi)所需的時(shí)間稱作調(diào)整時(shí)間。允許的誤差用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)來(lái)表示，通常取

δ%=5%或2%。圖2-71二階系統(tǒng)*664-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)超調(diào)量Mp；單位階躍響應(yīng)第一次越過(guò)穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到峰值時(shí)，峰值對(duì)穩(wěn)態(tài)值的偏差與穩(wěn)態(tài)值之比的百分?jǐn)?shù)，定義為超調(diào)量，即

式中c(∞)表示穩(wěn)態(tài)值。當(dāng)c(∞)＝1，則Mp＝[c(tp)－1]×100%。在上述指標(biāo)中，超調(diào)量Mp表征了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，td、tr及ts表征了系統(tǒng)的快速性（靈敏性）。圖2-71二階系統(tǒng)*674-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)以下計(jì)算下述欠阻尼(0<ζ<1)二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)其單位階躍響應(yīng)為*684-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線（0＜ζ＜1）0.51c(tp)0c(t)ttptstrtdc(tp)允差帶二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位階躍響應(yīng)曲線圖2-71二階系統(tǒng)Td=2π/ωd*69超調(diào)量4-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)上升時(shí)間tr（從0上升到穩(wěn)態(tài)值）當(dāng)t

＝tr時(shí)，c(tr)＝1，所以不等于0*704-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)因?yàn)閠r＞0且是第一次上升到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，所以取n=1，即*7100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.0050.010.0150.020.025

ζtr(s)4-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)下圖展示了上升時(shí)間tr與ζ、ωn的關(guān)系。ωn=1000ωn=2000ωn=3000ωn=4000ωn=5000*724-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)峰值時(shí)間tp令因?yàn)閠p＞0且是第一次上升到峰值的時(shí)間，所以取n=1，即即峰值時(shí)間tp等于阻尼振蕩周期Td的一半。*734-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)下圖展示了峰值時(shí)間tp與ζ、ωn的關(guān)系。ωn=1000ωn=2000ωn=3000ωn=4000ωn=500000.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.0050.010.0150.020.025

ζtp(s)ωn=1000ωn=2000ωn=3000ωn=4000ωn=5000*744-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)超調(diào)量Mp超調(diào)量Mp只與系統(tǒng)的阻尼比ζ有關(guān)，這說(shuō)明ωn不影響系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，只影響響應(yīng)時(shí)間。*7500.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100ζMp(%)4-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)超調(diào)量Mp與系統(tǒng)的阻尼比ζ的關(guān)系曲線。*764-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)調(diào)整時(shí)間ts

調(diào)整時(shí)間ts的表達(dá)式難以確切求出，可用近似的方法計(jì)算。對(duì)于欠阻尼二階系統(tǒng)，時(shí)域單位階躍響應(yīng)為衰減的振蕩曲線該瞬態(tài)響應(yīng)曲線的包絡(luò)線為以包絡(luò)線代替單位階躍響應(yīng)曲線近似求取調(diào)整時(shí)間。*77c(t)0Td2Td3Td4Td5Td6Td-0.500.511.522.5t(s)4-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線與包絡(luò)線。ts*784-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)設(shè)允許誤差范圍為δ%，則根據(jù)調(diào)整時(shí)間的定義得用包絡(luò)線近似地取代響應(yīng)曲線，便可得兩邊取自然對(duì)數(shù)得*794-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)當(dāng)δ=5時(shí)，當(dāng)ζ較?。ㄈ绂?lt;0.1）時(shí)，上兩式可近似為當(dāng)δ=2時(shí)，當(dāng)δ=5時(shí)，當(dāng)δ=2時(shí)，*8000.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.010.020.030.040.050.06ζtr，tp，ts(s)4-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)tr、tp、ts、Mp與ζ的關(guān)系比較。調(diào)整時(shí)間ts上升時(shí)間tr峰值時(shí)間tp超調(diào)量MpMp(%)0102030405060708090100ωn=1000rad?s-1δ%=5%當(dāng)ζ=0.68時(shí)，調(diào)整時(shí)間達(dá)到最小。（若δ%=2%，則當(dāng)ζ=0.76時(shí)，調(diào)整時(shí)間達(dá)到最小。）*814-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)歸納參量ζ、ωn與各性能指標(biāo)間的關(guān)系：若保持ζ不變而增大ωn，則不影響Mp，但td、tp及ts均會(huì)減小，系統(tǒng)的快速性好。故增大系統(tǒng)無(wú)阻尼自然頻率ωn對(duì)提高系統(tǒng)性能是有利的。若保持ωn不變而改變?chǔ)?，減小ζ，td、tr和tp均會(huì)減小，但Mp增大，快速性好，但相對(duì)穩(wěn)定性差。反之，增大ζ，td、tr和tp均增大，但Mp減小，快速性差但相對(duì)穩(wěn)定性好。ts在ζ=0.7左右最小。因此要適當(dāng)選擇ζ，通常ζ取在0.4～0.8之間，使二階系統(tǒng)既有較好的快速性能又有較好的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng)ζ＝0.707時(shí)，Mp、ts均小，這時(shí)Mp＝4.3%。所以稱ζ＝0.707為最佳阻尼比。*8201234500.0020.0040.0060.0080.010t/sx(t)/m4-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)例4-2(P88)如圖所示機(jī)械系統(tǒng)，在質(zhì)量塊m上施加f(t)＝3(N)階躍力后，質(zhì)量塊m的時(shí)間響應(yīng)x(t)如圖所示。根據(jù)這個(gè)響應(yīng)曲線，確定質(zhì)量m、粘性阻尼系數(shù)B和彈簧剛度系數(shù)k的值。mf(t)=3?1(t)(N)x(t)—位移kB單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)圖4-22機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)Mp=0.095穩(wěn)態(tài)值*834-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由三個(gè)已知量：穩(wěn)態(tài)值0.01，超調(diào)量Mp=0.095，峰值時(shí)間tp=2s。*84（-0.6舍掉）4-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)由得由終值定理得穩(wěn)態(tài)值*854-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)由得由得*864-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)例4-3（P89）

有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其方塊圖如下圖(a)所示。當(dāng)系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時(shí)，要求Mp≤5%，試（1）校核該系統(tǒng)的各參數(shù)是否滿足要求；（2）在原系統(tǒng)負(fù)反饋通道中增加一階微分環(huán)節(jié)，如圖(b)所示。求滿足要求時(shí)的微分反饋時(shí)間常數(shù)τ。圖4-23位置隨動(dòng)系統(tǒng)方塊圖R(s)C(s)R(s)C(s)(a)(b)+?+?*874-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)解：（1）系統(tǒng)(a)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為寫(xiě)成通用形式ζ=0.316，ωn=31.623(rad/s)。因是欠阻尼系統(tǒng)，所以因此該系統(tǒng)不滿足本題要求。*884-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)解：（2）系統(tǒng)(b)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為不變令*894-5時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)所以，要保證Mp≤5%，應(yīng)有τ≥0.02365(s)。從本題可以看出，當(dāng)在系統(tǒng)負(fù)反饋通道里加入一階微分環(huán)節(jié)時(shí)，相當(dāng)于增大了系統(tǒng)的阻尼比ζ，改善了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，即減小了Mp，但并沒(méi)有改變系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率ωn。*904-6系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的概念系統(tǒng)的類型靜態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差*914-6系統(tǒng)誤差分析從前面的對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析中可知，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)往往存在著誤差。誤差分為瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差。瞬態(tài)誤差反映了系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性，而穩(wěn)態(tài)誤差則反映了系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。另外，干擾也會(huì)給系統(tǒng)響應(yīng)帶來(lái)誤差。下面重點(diǎn)研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差?！咀ⅰ筷P(guān)于誤差的定義，不同的教材有不同的定義方法，學(xué)習(xí)時(shí)要注意區(qū)別。如楊叔子等編寫(xiě)的《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》(2005年7月第5版)中的定義就與本教材不同。本教材的定義以系統(tǒng)輸入信號(hào)為基準(zhǔn)，而楊叔子教材中的定義是以系統(tǒng)期望的輸出信號(hào)為基準(zhǔn)。*924-6系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的概念（1）系統(tǒng)誤差的定義G(s)H(s)E(s)R(s)C(s)+?B(s)r(t)e(t)b(t)c(t)反饋系統(tǒng)方塊圖G(s)E(s)R(s)C(s)+?B(s)r(t)e(t)b(t)c(t)單位反饋系統(tǒng)方塊圖下面的誤差分析均采用第1種定義。定義1：e(t)＝r(t)－b(t)（時(shí)域） E(s)＝R(s)－B(s)＝R(s)－H(s)C(s)（復(fù)域）這2種定義都是以系統(tǒng)的輸入信號(hào)為基準(zhǔn)。只有在單位反饋系統(tǒng)中，兩者才一致。*93定義2：e(t)＝r(t)－c(t)（時(shí)域） E(s)＝R(s)－C(s)（復(fù)域）4-6系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差按性質(zhì)可分為瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差，即系統(tǒng)誤差=瞬態(tài)誤差+穩(wěn)態(tài)誤差瞬態(tài)誤差是系統(tǒng)誤差信號(hào)e(t)中的瞬態(tài)分量，該誤差和時(shí)間有關(guān)。對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)，瞬態(tài)誤差的絕對(duì)值隨時(shí)間的增加而減小，最終趨于0。瞬態(tài)誤差決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。（2）穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)誤差信號(hào)e(t)中的穩(wěn)態(tài)分量，我們用ess表示。對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差即是t→∞時(shí)的系統(tǒng)誤差，即穩(wěn)態(tài)誤差只與系統(tǒng)特性參數(shù)和輸入有關(guān)而與時(shí)間無(wú)關(guān)。穩(wěn)態(tài)誤差決定了系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。*940246810121416182002468101214161820t(s)c(t)τ典型二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的單位斜坡響應(yīng)曲線4-6系統(tǒng)誤差分析r(t)=tc(t)穩(wěn)態(tài)誤差=2ζ/ωn*954-6系統(tǒng)誤差分析穩(wěn)態(tài)誤差可利用拉氏變換的終值定理由e(t)的拉氏變換E(s)求得。即式中，R(s)為輸入信號(hào)的拉氏變換；G(s)H(s)為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。該式說(shuō)明：穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)（開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)）和輸入信號(hào)R(s)有關(guān)。系統(tǒng)不同/輸入信號(hào)不同，穩(wěn)態(tài)誤差也不同。本節(jié)就是研究不同類型系統(tǒng)在不同典型輸入信號(hào)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)誤差大小。上式推導(dǎo)如下：*964-6系統(tǒng)誤差分析G(s)H(s)E(s)R(s)C(s)+?B(s)r(t)e(t)b(t)c(t)也可以利用前面講過(guò)的誤差傳遞函數(shù)表達(dá)式得到。*974-6系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)的類型G(s)H(s)E(s)R(s)C(s)+?B(s)r(t)e(t)b(t)c(t)反饋系統(tǒng)方塊圖開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)一般可寫(xiě)為K為開(kāi)環(huán)增益；τ1，…，τm，T1，…，Tp為時(shí)間常數(shù)。1/sλ表示開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有λ個(gè)積分環(huán)節(jié)，λ＝0，1，2，…，n－p。(P91)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的大小與系統(tǒng)類型有關(guān)，對(duì)系統(tǒng)分類，目的是找出不同類型系統(tǒng)對(duì)不同信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差大小的普遍規(guī)律。*984-6系統(tǒng)誤差分析按系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)擁有積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)對(duì)系統(tǒng)分類：λ＝0，無(wú)積分環(huán)節(jié)，稱為0型系統(tǒng)；λ＝1，有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱為I型系統(tǒng)；λ＝2，有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱為II型系統(tǒng)；λ＝i，有i個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱為i型系統(tǒng)。一般λ＞2的系統(tǒng)難以穩(wěn)定，實(shí)際上很少見(jiàn)?！咀ⅰ窟@種分類方法與系統(tǒng)的階次分類法不同。*994-6系統(tǒng)誤差分析將前述開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式代入穩(wěn)態(tài)誤差式中得上式表明，決定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差大小的因素有：系統(tǒng)的型次λ；開(kāi)環(huán)增益K（K越大，穩(wěn)態(tài)誤差越?。?；輸入信號(hào)R(s)。*1004-6系統(tǒng)誤差分析靜態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)誤差系數(shù)靜態(tài)誤差系數(shù)反映了控制系統(tǒng)在單位階躍輸入、單位斜坡輸入和單位拋物線輸入下，消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力。靜態(tài)誤差系數(shù)越大，準(zhǔn)確度越高，穩(wěn)態(tài)誤差越小。靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka【注1】上述名稱并不反映系統(tǒng)實(shí)際的輸出量，或者說(shuō)系統(tǒng)實(shí)際的輸出量并不一定就是位置、速度或加速度。上述名稱只是根據(jù)輸入信號(hào)的性質(zhì)命名。在隨動(dòng)系統(tǒng)中一般稱階躍信號(hào)為位置信號(hào)，斜坡信號(hào)為速度信號(hào)，拋物線信號(hào)為加速度信號(hào)?！咀?】穩(wěn)態(tài)誤差只對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)才有意義。*1014-6系統(tǒng)誤差分析（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp(P91)是針對(duì)輸入為單位階躍信號(hào)而定義的。即系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為位置誤差，如下式：對(duì)應(yīng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp定義為s→0時(shí)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的值，即。*102(P91)4-6系統(tǒng)誤差分析所以，位置誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)的關(guān)系為對(duì)0型系統(tǒng)，λ=0，所以對(duì)1型及以上系統(tǒng)，λ≥1，所以結(jié)論：0型系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)有差的，而1型及以上系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)無(wú)差的。對(duì)0型系統(tǒng)，可通過(guò)增加開(kāi)環(huán)增益K來(lái)減小穩(wěn)態(tài)誤差，但K增大，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性一般會(huì)變差。*103(P92)4-6系統(tǒng)誤差分析例1：兩個(gè)二階單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)分別為因是單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)就等于前向傳遞函數(shù)，所以，這是兩個(gè)二階0型系統(tǒng)，λ=0，開(kāi)環(huán)增益分別為K1=9和K2=4，所以上述結(jié)果表明，開(kāi)環(huán)增益越大，單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。單位階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。*1041.6024681012141600.20.40.60.80.911.21.4t(s)c(t)4-6系統(tǒng)誤差分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)ess1=0.1ess2=0.2調(diào)整時(shí)間ts1調(diào)整時(shí)間ts2系統(tǒng)1系統(tǒng)2因?yàn)槭菃挝环答佅到y(tǒng)，所以輸入信號(hào)r(t)*1054-6系統(tǒng)誤差分析由響應(yīng)曲線可見(jiàn)，0階系統(tǒng)對(duì)單位階躍響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，是有差的，且開(kāi)環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。因?yàn)橄到y(tǒng)1的開(kāi)環(huán)增益K1大于系統(tǒng)2的開(kāi)環(huán)增益K2，所以系統(tǒng)1的穩(wěn)態(tài)誤差ess1小于系統(tǒng)2的穩(wěn)態(tài)誤差ess2。但系統(tǒng)1的調(diào)整時(shí)間ts1大于系統(tǒng)2的調(diào)整時(shí)間ts2，即系統(tǒng)1的相對(duì)穩(wěn)定性較系統(tǒng)2差。上面分析表明，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與提高系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性是矛盾的，要折中考慮。*1064-6系統(tǒng)誤差分析例2：某二階單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為因是單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)就等于前向傳遞函數(shù)，所以，這是一個(gè)二階1型系統(tǒng)，λ=1，開(kāi)環(huán)增益為10，所以該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。*10702468101200.20.40.60.811.21.41.61.8t(s)c(t)4-6系統(tǒng)誤差分析因?yàn)槭菃挝环答佅到y(tǒng)，所以穩(wěn)態(tài)響應(yīng)ess=0*1084-6系統(tǒng)誤差分析（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv是針對(duì)輸入為單位斜坡信號(hào)而定義的。系統(tǒng)在單位斜坡輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為速度誤差。速度誤差大小為該穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)應(yīng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv定義為*1094-6系統(tǒng)誤差分析所以，速度誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù)的關(guān)系為對(duì)0型系統(tǒng)，λ=0，所以對(duì)1型系統(tǒng)，λ=1，所以對(duì)2型及以上系統(tǒng)，λ≥2，所以*1104-6系統(tǒng)誤差分析結(jié)論：0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡信號(hào)，即達(dá)不到穩(wěn)態(tài)。1型系統(tǒng)能跟蹤斜坡信號(hào)，但響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差1/K，是穩(wěn)態(tài)有差的。該誤差與輸入的速度（即斜坡信號(hào)的斜率）成正比，與開(kāi)環(huán)增益K成反比。2型及以上系統(tǒng)對(duì)斜坡信號(hào)的響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)無(wú)差的。*1114-6系統(tǒng)誤差分析例1：三個(gè)單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)分別為因是單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)就等于前向傳遞函數(shù)，所以，按順序分別為0型、1型和2型系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)增益分別為K1=4、K2=5和K3=2，所以單位斜坡響應(yīng)曲線如下圖所示。*1124-6系統(tǒng)誤差分析0246802468

t(s)c(t)1型系統(tǒng)0型系統(tǒng)2型系統(tǒng)r(t)=tess2=0.2ess1=∞ess3=0*113因?yàn)槭菃挝环答佅到y(tǒng)，所以4-6系統(tǒng)誤差分析（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka是針對(duì)輸入為單位加速度信號(hào)（拋物線）r(t)=t2/2而定義的。系統(tǒng)在單位加速度輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為加速度誤差。加速度誤差大小為該穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)應(yīng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka定義為*1144-6系統(tǒng)誤差分析所以，加速度誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)的關(guān)系為對(duì)0型系統(tǒng)，λ=0，所以對(duì)1型系統(tǒng)，λ=1，所以對(duì)2型系統(tǒng)，λ=2，所以*1154-6系統(tǒng)誤差分析結(jié)論：0型、1型系統(tǒng)不能跟蹤加速度信號(hào)，即達(dá)不到穩(wěn)態(tài)。2型系統(tǒng)能跟蹤加速度信號(hào)，但響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差1/K，是穩(wěn)態(tài)有差的；3型及以上系統(tǒng)對(duì)加速度信號(hào)的響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)無(wú)差的。對(duì)3型及以上系統(tǒng)，λ≥3，所以*1164-6系統(tǒng)誤差分析例1：四個(gè)單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)分別為因是單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)就等于前向傳遞函數(shù)，所以，按順序分別為0型、1型、2型和3型系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)增益分別為K1=4、K2=2.5、K3=2和K4=5/3，所以單位加速度響應(yīng)曲線如下圖所示。*1174-6系統(tǒng)誤差分析01234502468101214

t(s)c(t)0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2型系統(tǒng)r(t)=t2/23型系統(tǒng)ess3=0.5ess2=∞ess4=0ess1=∞*118因?yàn)槭菃挝环答佅到y(tǒng)，所以4-6系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)類型輸入函數(shù)單位階躍r(t)＝

1單位斜坡r(t)＝

t加速度r(t)＝

t2/20型∞∞I型0∞II型00III型及以上(λ≥3)000表4?1各種類型系統(tǒng)對(duì)三種輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差大小起著重要作用【注】以上我們是直接利用開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)來(lái)獲得穩(wěn)態(tài)誤差。*1194-6系統(tǒng)誤差分析小結(jié)：在表