專題06 三角形（全等、相似）（2大易錯(cuò)點(diǎn)分析+19個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)+易錯(cuò)題通關(guān)）-2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（解析版）

專題06三角形（全等、相似）

易錯(cuò)點(diǎn)1：三角形的垂心

易錯(cuò)點(diǎn)2:三角形的重心

L易錯(cuò)點(diǎn)3:三角形的外心

\r易錯(cuò)點(diǎn)4：三角形的內(nèi)心

三角形（全等、等腰、直角）曷錯(cuò)點(diǎn)5:倍長中線法

易錯(cuò)點(diǎn)6:等腰三角形的新定義

易錯(cuò)點(diǎn)7:兩圓一線畫等腰

易錯(cuò)點(diǎn)8:兩線一圓畫百角

易錯(cuò)點(diǎn)9:鎏九韶——海倫公式

r易錯(cuò)點(diǎn)1：黃金分割

,易借點(diǎn)2:平行輔助線

L易錯(cuò)點(diǎn)3:相似中的比值

L易錯(cuò)點(diǎn)4：相似中的動(dòng)點(diǎn)

「易錯(cuò)點(diǎn)5:相似與反比例函數(shù)

三角形相似一

一易錯(cuò)點(diǎn)6:相似與圓

1易借點(diǎn)7:相似與三角函數(shù)

（易借點(diǎn)8:相似與二次函數(shù)

卜易錯(cuò)點(diǎn)9:相似的新定義

1易借點(diǎn)1。：電似中的無刻度尺作圖

三角形（全等、等腰、直角）專題

易錯(cuò)點(diǎn):

I.三角形的概念：對于三角形的定義、性質(zhì)及分類理解不夠深入，容易混淆等腰三角形、等邊三角形、直

角三角形等概念。

2.三角形的邊和角；對于三角形的二邊關(guān)系（如任意兩邊之和大于第三邊）和三角形內(nèi)角和等于I8O度的性

質(zhì)理解不透徹，導(dǎo)致在解題時(shí)出錯(cuò)。

3.三角形的全等：對于三角形全等的判定條件（如SAS、ASA、AAS、SSS等）掌握不熟練，容易在判定過

程中出錯(cuò)。

4.三角形的相似：對于三角形相似的判定條件（如AA、SAS、SSS等）理解不夠深入，容易混淆相似和全

等的概念。

5.三角形的面積：刈于三角形面積的計(jì)算公式（如底乘高除以2）掌握不熟練，容易在計(jì)算過程中出現(xiàn)錯(cuò)

誤。

6.三角形的中位線：對于三角形中位線的性質(zhì)（如中位線平行三第三邊且等于第三邊的一半）理解不夠深

入，導(dǎo)致在解題時(shí)出錯(cuò)。

7.三角形的角平分線：對手三角形角平分線的性質(zhì)（如角平分線將相對邊分為兩段，這兩段與該角兩邊的

比例相等）掌握不熟練，容易在解題時(shí)出錯(cuò)」

易錯(cuò)點(diǎn)1：三角形的垂心

例：在48c中，NMC=60。,45c=45。,，是"C的垂心，若，與的面積分別為，、S2則

S\$=（）

A.今血B.73:1C.72:1D.1:73

【答案】B

【分析】本題主要考查勾股定理，銳角三角形的垂心，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確畫圖.

根據(jù)一:角形的內(nèi)角和求出NAC8=75。，設(shè)AO=1,通過勾股定理求出CO,那么面積比即可求出.

【詳解】作C〃_LA8交A8于點(diǎn)。

即/CDA=NCDB=90。

???ABAC=60°.ZABC=45°

：.ZACB=15°

設(shè)AO=1

ABAC=60°,ZCDA=90。

CD=ADxinnZ.CAD=-75

?.ZABC=45°,ZCDB=90°

BD=CDxtanZ.ABC=x/5

S=-CHxBD,S.=-CHxAD

12-2

S；^CHxBD二BDf

$2-CHxADAD

2

即，：S2=J5：I

故選:B.

變式1：如圖，在“8C中，NA3C=48。，NAC3=76。，兩條高8DCE交于點(diǎn)0,連接AO,則NOAE=

【答案】42。/42度

【分析】本題考查了三角形的三條高交于一點(diǎn)，三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形的三條高交于一點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

如圖，延長A0交BC于尸，則"為BC邊上的高，BPZAFB=90°,根據(jù)/。4片=180。一乙48。一44尸8,

計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，延長40交BC于尸，

???兩條高80、CE交于點(diǎn)O,

，AF為8C邊上的高，BPZAFB=90°,

???^OAE=180°-ZABC-/AFB=42°,

故答案為:42°.

變式2：(1)在正方形方格紙中，我們把頂點(diǎn)都在“格點(diǎn)”上的三角形稱為“格點(diǎn)三角形”，如圖，△ABC是一

個(gè)格點(diǎn)三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,2）.

????n111cl

-T-T-T-T——T-T-T-4-

II____I______III__?__!!!

?LABC的面積為；

②在所給的方格紙中，請你以原點(diǎn)0為位似中心，將縮小為原來的一半；（僅用直尺完成作圖）

③在（2）中，若尸（〃，b）為線段AC上的任一點(diǎn)，則縮小后點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)P/的坐標(biāo)為.

（2）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡：

我們知道，三角形具有性質(zhì)：三邊的垂直平分線相交于同一點(diǎn)，三條角平分線相交于一點(diǎn)，三條中線相交

于一點(diǎn)，事實(shí)上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點(diǎn).

請運(yùn)用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖.

①如圖1,在平行四邊形中，石為CO的中點(diǎn)，作8c的中點(diǎn)凡

②如圖2,在由小正方形組成的4x3的網(wǎng)格中，△入8C的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，作AABC的高人，.

【答案】（1）①4；②見解析；③（2）①見解析；②見解析

【分析】（1）①直接根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可：

②利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；

③由位似變換的性質(zhì)可得答案；

（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，先連接AC和8。得到8。的中點(diǎn)。，再連接跖交CO點(diǎn)，則點(diǎn)”為

△BCO的重心，連接。戶并延長交卜點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸即為所求；

②先過點(diǎn)A作AO_ZA4,再平移QA得到CE,則CE1A3,接著作MN垂直平分線AC,平移MN得到所,

BFJ.AC,8F與CE的交點(diǎn)0為_48C的垂心，所以延長AO交BC與〃，則

【詳解】解：（1）①SABC=?4K2=4.

故答案為：4；

②如圖，△4^G即為所求，

1A

n

n

n

n

n

I

n

I

n

n

③若P（小b）為線段AC上的任一點(diǎn)，

則縮小后點(diǎn)夕的對應(yīng)點(diǎn)P/的坐標(biāo)為（2。，b）,

22

故答案為：（:a，:加；

22

（2）①如圖1,點(diǎn)”即為所作；

②如圖2,4”即為所作.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一位似變換，重心，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的垂心等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)

的圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)2：三角形的重心

例：如圖，點(diǎn)G是一A8C的重心，過點(diǎn)G作8c分別交AHAC于點(diǎn)、M,N,過點(diǎn)、N作ND〃AB交BC

于點(diǎn)。，則四邊形80VM與，A8C的面積之比是（）

A

A.1:2B.2:3C.4:9D.7:9

【答案】C

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的重心、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是

掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的美鍵.

如圖：連接AG,延長AG交8c于H,由三角形重心的性質(zhì)得到4GAH=2：3,GH：AH=1：3,由MN〃AC,

4

推出AM：AB=AG：AH=2:3,BM：AB=GH：AH=h3,由./WNS.ABC,推出54次=.5人院，由平

行四邊形的性質(zhì)推出。N=M8,得到DV：人8=1:3,由ACDVSACBA.推出56"一處5加1，得到

4

Sg丸形MNDB=ABC即可解答.

【詳解】解：如圖：連接AG,延長AG交8C于“，

I.AGAH=2：3,GH：AH=\3,

,:MN〃BC、

：.AM：A3=AGAH=2:3,BM：AB=GH：47=1:3,

???AMNs,ABC,

，-A叫/2丫二4

sABC\AB/13)9

C，-s

°AWNQ°ABC?

VND〃AB,MN//BC,

??.四邊形是平行四邊形,

???DN=MB,

:?DN：A8=I：3,

?:CDNs：CBA,

5=儂丫=?丫=一1

sCBA(ABJu；9

??道形

MNDB=SABC-SM1N+SCDN=-5ABC?

???四邊形8￡WM與48c的面積之比是4:9.

故選：C.

變式1：如圖，在ABC中，N84C=90。，點(diǎn)G是,A8C的重心，連結(jié)GA、GC,如果AC=3AG=-,

那么ZGC4的正切值為

【答案】§

【分析】本題考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，過G作GO_LAC

于G,延長CG交AB于點(diǎn)八證明..DCGs,Ab,結(jié)合G為.48。的重心，可得多=當(dāng)=孚=],根

CAArCr3

據(jù)AC=3,得8=2,AD=\,進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出OG，最后根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】解：過G作GD_LAC于G,延長CG交A3于點(diǎn)"，如圖：

???GDIAC,ZBAC=90°,

，DE//AB,ZCDG=ZC4F=90°,

又：ZDCG=ZACF,

???DCG^ACF,

.CDDG_CG

??~CA~~AF~~CF'

???G為，ABC的重心，

.CDDGCG2

??===，

CAAFCF3

???AC=3,

：.8=2,AD=i,

--4

??.DG7AG2—AD?=—,

3

4

則在直角三角形COG中，ecDG32,

tanZACG=-----=-=—

CD23

故答案為：,|.

變式2：【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容.

【結(jié)論概括】

如果在圖①中，取AC的中點(diǎn)F,假設(shè)防與AD交于G',如圖②，那么我們同理有挈=器=2,所以有

ADBF3

空=空=4，即兩圖中的點(diǎn)G與G'是重合的,

ADAD3

于是，我們有以下結(jié)論：

三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線的長是對應(yīng)中線長的

【結(jié)論應(yīng)用】

如圖③所示，在A8C中，已知點(diǎn)D,E,尸分別是SC,AD,CE的中點(diǎn),DE、防相較于點(diǎn)。，且S△血=12,

則四邊形ODCF的面積值為

圖②圖③

【答案】教材呈現(xiàn)：見解析；結(jié)論概括：結(jié)論應(yīng)用：2

【分析】本題考查了相似三角形判定及性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心性質(zhì)：重心與

一邊中點(diǎn)的連線的長是對應(yīng)中線長的;解答.

教材呈現(xiàn)：連接OE,如圖①，先利用三角形中位線的性質(zhì)得到龐〃/1。，QE=；AC,則證明.DEGs乙ACG,

利用相似三角形的性質(zhì)得期=會(huì)=黑然后利用比例的性質(zhì)得到結(jié)論；

CGAGAC2

結(jié)論概括：根據(jù)理=黑=:，笠=蓼=。則黑=縹=:，即兩圖中的點(diǎn)G與G'是重合的，即可

CEAD3ADBb3ADAD3

歸納出結(jié)論；

53

結(jié)論應(yīng)用：根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得S八m=SA8c=6,5^=15^=3,^COE=1i4C?=?則

S^BEC=+S“OE=6,S^BEF=-5,X4￡C=3,由題意知。為二角形的重心，則OF=—BF,可得S△的=-5A/,W.-=1,

進(jìn)而根據(jù)四邊形ODCF的面積為即可求解.

【詳解】解：教材呈現(xiàn)：連接OE，如圖①，

;。、￡分別為8C、剛的中點(diǎn)，

：?DE為ABC的中位線，

DE//AC,DE=-AC,

2

:?DEGSLACG,

.EGDGDE1

??——------=—,

CGAGAC2

?EGGD1

-CG+EG~AG+GD~2+\'

GE_GD_1

叱HnT茄=5；

結(jié)論概括：由上可知，笄=累=：，穿=穿=:，則黑=穿=即兩圖中的點(diǎn)G與G'是重合的.

CEAD3ADBF3ADAD3

則三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線的長是對應(yīng)中線長

故答案為：—;

結(jié)論應(yīng)用：???S》8C=12,。為BC的中點(diǎn)，

***SABD=SACD=-5ABC=6,

I￡為AZ)的中點(diǎn),

+

**,SAJWJE=~=3,S^CDE=—§40)=3,則SgEC=^ABDfc-SMDE=6,

???￡)為8C的中點(diǎn)，產(chǎn)為CE的中點(diǎn)，

???$神,=；5"庇=3,。為三角形的重心，

則OE=”F,

??“EOF=§Sg葉=1,

則四邊形ODCF的面積為S△曲-S△的=3-1=2,

故答案為：2.

易錯(cuò)點(diǎn)3：三角形的外心

例：如圖，已知E是"C的外心，尸、Q分別是A3、AC的中點(diǎn)，連接叱、EQ交3c于點(diǎn)F、D,若跖=5,

DF=3,CD=4,則ABC的面枳為()

A.18B.24C.30D.36

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外接圓和外心，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫

做三角形的外心，考查了直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，三角形的面積，連接4；，AO，由題意

得出4尸=M，AD=DC，可證得？4。產(chǎn)90?,根據(jù)三角形的面積公式可得出答案，熟練掌握知識點(diǎn)的

應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】連接4F，AD,如圖，

是48c的外心，P、Q分別是AB、AC的中點(diǎn)，

AEPlAB,EQLAC,

:?AF=BF,AD=DC,

VBF=5,CD=4,

/.AF=5,4)=4,

,/DF=3,

DF2+AD2=AF2f

???△AOF是直角三角形，？AOF90?,

,/BC=BF+DF+DC=5+3+4=12,

：,S,=-BCAD=-X\2X4=24,

RC22

故選：B.

變式1：如圖，點(diǎn)。是的內(nèi)心，也是△OBC的外心.若/4=84。，則/￡>=

【答案】66°

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌

握內(nèi)心與外心的區(qū)別.連接08,0C,根據(jù)點(diǎn)。是A8C的內(nèi)心，ZA=84°,可得/8"=90。+；4=132。，

再根據(jù)點(diǎn)。也是△O8C的外心，和圓周角定理即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接08,OC,

H

丁點(diǎn)。是。的內(nèi)心，4=84。，

;.0B，OC是/ABC,/AC8的平分線，

：.NOBC=LNABC,NOCB’NACB.

22

.-.z7?OC=180O-ZOBC-Z(X^=1803--(ZAZ?C+ZAC￡J)=1800-l(1800-Z/\)=900+-ZA=1320,

222

,點(diǎn)。也是△O4C的外心，

ZD=-Z^OC=66°,

2

則/。的度數(shù)為66。.

故答案為：66°

變式2：如圖，在銳角三角形A8C中，AB=AC,C。是.A8C的外接圓，連接AO,BO,延長8。交AC

于點(diǎn)。.

（1）求證：40平分/BAC；

（2）若0。的半徑為5,AD=6,求OC的長.

（3）若鋁='〃，求鐺的值（用含〃?的代數(shù)式表示）?

（JDDC

【答案】（1）證明見解析

(2)1.5

in

⑶

\-m

【分析】（1）過點(diǎn)A作AP_L8CJ二點(diǎn)P,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得出NQ44=NA4C,AP垂直

平分8C,再點(diǎn)。是4?C的外接圓圓心，則點(diǎn)。在AP上，即可得結(jié)論:

(2)證明/\ADO^△BDA，得生=，即"To=<6=,解得OD=4,AB=7.5，所以AC-AB-7.5,

ABBDDAAB5+DO6

由DC=AC-A。即可得到答案.

(3)由空=/〃，則a)="QB,乂由(2)知△ADOs/\BD4,所以鋁=盥，則有=臂,所以

OB八3DAAD+CDAD

AD=niAD+mCD,即可求解.

【詳解】（1）證明：過點(diǎn)A作AP_L8C于點(diǎn)尸,

A

\AB=AC,APLBC

:.ZPAB=ZPAC,BP=PC,

??,點(diǎn)。是.A3C的外接圓圓心,

，點(diǎn)。在AP匕，

，ZOAB=ZOAC,

二。4平分/8AC.

(2)解：-.'OA=OI3=5,

:.ZOBA=ZBAO,

由(1)知NBAO=/m。.

???^DAO=ZABO,

???ZADO=ZBDA,

ADC)^,BDA,

OAADDOHn56DO

ABBDDAAB5+DO6

解得00=4,AB=7.5,

AC=AS=7.5,

???DC=AC-AD=7.5-6=1.5.

(3)解:?:叱=m

OB

/.OD=mOB,

VADO^.BDA,

.OADO

??二,

ABDA

\OA=OB,AB=AC=AD+CD,

.OBm()B

''AD+CD~AD'

AD=niAD+/nCD,

(1-m)AD=mCD,

.AD_m

'''CD~\-m'

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外接圓，相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)等知識.熟

練掌握等腰三角形的性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)4：三角形的內(nèi)心

例：如圖，若。。是儲8c的內(nèi)切圓，且NA=50。，則N80。的度數(shù)為()

A.100°B.105°C.1150D,130°

【答案】C

【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理.由三角形內(nèi)切圓定義可知08、OC是

/ABC、/AC9的角平分線，所以可得到2NOBC十2/。。3=180。一//4美系式，得出NO6C十NOC3,最

后利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案.

【詳解】解：???點(diǎn)。是的內(nèi)心，

2ZOBC+2ZOCB=180。-NA=1800-50。=130。，

???NOBC+NOCB=65。,

AZBOC=115°.

故選：C.

變式1：如圖，點(diǎn)/是ABC的內(nèi)心，Z4=60°,IB=6,/C=4,則，出C的面積為

【答案】66

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練作出輔助線是解題的

關(guān)鍵，過點(diǎn)8作80J_a交C7延長線于點(diǎn)。，根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)可得NA8/=NCH,NAC/=N8C/,

進(jìn)而求得N8/3=60。，再利用解直角三角形求出8。，進(jìn)而可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)8作_LC/交a延長線于點(diǎn)》

???點(diǎn)/是ABC的內(nèi)心，

ZAB/=NCBI,ZAC/=NBCI

ZA=60°

/.Z4BC+ZACB=\80°-60。=120°

/.ZCBI+13C1=-x\20°=60°

2

/.ABIC=180°-(ZCB/+BC/)=120°

=180°-N8昭=60°

在直角三角形8Q/中，

BD=B/sin60=6x—=373,

2

一.S也(?=；x/Cx8。=gx4x3百=

故答案為：6G.

變式2：閱讀與思考

閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

在某科技雜志上有這樣一道題：婦圖1,在A8C中，三邊分別為/^=&月。=女8。=以（。是的內(nèi)切圓,

切點(diǎn)分別為REF.求。的半徑.

思路分析：如圖L連接OA,OB,OC,OD,OE,OF,則存。力J_3C,OF1AC.OD=OE=OF,設(shè)

OD=OE=OF-r,p=—(a+b+c].

^r(a+b+c)=rp,

于是有S_ABC=S+S+S=-ODAB+-OEBC+-OFAC=

AOBBocAOC222

濡（其中S表示.，的面積，〃表示會(huì)的周長的一半）

用語言敘述：三角形的內(nèi)切圓的半徑廠==黑嘿魯.

若已知46C的三邊長a,b,c,如何求ABC的面積S呢？

BEC

圖1

我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202?1261）,曾提出利用三角形的三邊長求它的面積的秦九韶公式：若

AB=BC=a,AC=b

則秦九韶公式為S皿=?.

例如：在."C中，若a=5,b=6,c=7,利用秦九韶公式求的面積S.

解：S15;X6;-5+6Jj,

任務(wù)：

（1）尚完成材料中利用秦九韶公式求AHC面積的剩余步驟，并求出A6C的內(nèi)切圓的半徑.

(2)如圖2,在R【Z\ABC中，NC=9()o,AC=3,8C=4,(/為它的內(nèi)切圓，則CE的長為

【答案】(1)剩余步驟見解析，乂BC的內(nèi)切圓的半徑為短

3

(2)1

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，三角形的內(nèi)切圓，正方形的判定和性質(zhì)，正確運(yùn)用材料中的公式是解

題的關(guān)鍵.

(1)利用二次根式及有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算出SABC，再根據(jù)尸=計(jì)算.ABC的內(nèi)切圓的半徑；

P

(2)先利用勾股定理求出44,進(jìn)而求出/3C的周長的一半和S^c，根據(jù)r=%也即可求出RtZ\A8C的

P

內(nèi)切圓的半徑，再證四邊形/Eb是正方形，即可求解.

；x52x62-52+62-72

(l)解：SABC=I-

254-36-49Y

llx25x36-

r

=^1x(25x36-36)

=N/216

=6屈,

又JSC的周長的一半〃=竺產(chǎn)=咨吆=9,

「?/BC的內(nèi)切圓的半徑「=紅些=地=各色.

〃93

;在RtaABC中，ZC=90°,AC=3.BC=4,

AB=VAC2+BC2=V32+42=5,

設(shè)IF=/E=廠,〃為，ABC的周長的一半,

a+b+c3+4+5/

則=；AC1C=：X3X4=6,p=-----------=------------=o,

22

RlAABC的內(nèi)切圓的半徑r='些=7=1.

又/為Rt4A3C的內(nèi)切圓,

A/F1AC,1E1BC,

ZC=Z/FC=/IEC=90°,

???四邊形花€戶是正方形，

/.CE=IE=IF=\.

故答案為：1.

易錯(cuò)點(diǎn)5：倍長中線法

例：如圖，在,ABC中，已知△A8O與.66的面積相等，如果4C=10,AO=8,那么4B的取值范圍

是（）

A.2<AB<\SB.6<AB<26

C.\0<AB<26D.I8<A^<26

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，構(gòu)造一個(gè)新的三角形.根據(jù)三角形

的三邊關(guān)系就可以求解.

【詳解】解：延長A。到E,使AD=Q￡,

A

E

v已知△A8O與AC。的面積相等,

???八。為A8C的底邊8C的中線，

;.BD=CD,

在△A8。和一EC力中

AD=ED

?/ADB=AEDC,

BD=CD

：.ABD^.ECD,

AB=EC,

vAC=10,AO=8,

/.AE=2AD=16,

在AACE中，AE+AC<CE<AE+AC,

16-10<CE<16+10,

6<CE<26,

???6<AB<26；

故選：B

變式1：已知，ABC中，A4=2,AC=4,AO是?ABC的邊8c上的中線，則中線AO的范圍是.

【答案】1<AO<3/3>AO>1

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系.延長人。至E,使OE=A￡>,連

接CE.根據(jù)SAS證明A瓦廷ECD,得CE=A8,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解.

【詳解】解：延長AD至E,使Z)E=AD,連接CE.

.1

V

E

在./曲和.zcz>中，

AD=DE

<NADB=ZCDE,

DB=DC

??..ABD^.ECD(SAS),

:.CE=AB=2.

在&4CE中，AC-CE<AE<AC+CEf即2<2AO<6,

A\<AD<3.

故答案為：l<AO<3.

變式2：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1,ABC中，若A8=6,AC=4,求BC邊上

的中線A￡>的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E,使

連接出.請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到VAZXWVEZM,得至U3E=4O,在A3E中求得2Ao的取值范圍，從而求得4。的

取值范圍是

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

(2)如圖2,AD是A8C的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE-^ZCAF=mr,試判斷線段A。與EF的數(shù)量

關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,在A8C中，。，石在邊8c上，且BD=CE.求證：AB+AOAD+AE.

【答案】⑴1<4)<5

(2)EF=2AD,證明見解析

⑶見解析

【分析】本題考查三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系.

(1)由作圖可得A￡=2A￡>,根據(jù)“SAS”證得VADC出VEO3,得到BE=AC=4,在腐中，根據(jù)三角

形的三邊關(guān)系有代入即可求解；

(2)延長A。到M,使得DW=AD,連接8M,則AM=2AZ>，由(1)同理可證sBDW0_C4O(SAS),

得到BM=AC=AF,BM//AC,從而ZABM+N84C=180。，又NB4C+NB4E=180。，因此ZABM=ZFAE,

進(jìn)而得證AABMGAEARSAS),故EF=AM=2AD；

(3)取8C的中點(diǎn)為M,連接AM并延長至M使AM=MV,連接8N、ON,證得“CM包NBM(SAS)得

到AC=NB,證得一A￡M?_N0M(SAS)得到AE=ND.

延長4。交3N于凡由三角形的三邊關(guān)系得到48+8N>AQ+DN,g|JAB+AOAD+AE.

【詳解】(1),：DE=AD

/.AE=AD+DE=2AD

丁A。是8C邊上的中線，

:.BD=CD,

在和△口周中，

CD=BD

/ADC=NEDB,

AD=ED

???ADC"EDB(SAS),

/.BE=AC=4,

???在二ABE中，AB-BE<AEvAB+BE,

即6-4<2AO<6+4,

A1<AD<5.

故答案為：1<4。<5

(2)EF=2AD,

理由：如圖，延長A。到M,使得=連接

*.

M

圖2

工AM=AD+DM=2AD,

丁AO是ABC的中線，

:.BD=CD,

在LBDW和&CA4中

BD=CD

ZBDM=ZCDA

DM=DA

：.BDMMCDA(SAS),

:.BM=AC,

VAC=AFt

:.BM=AF,

*：BDM瑪CAD,

：./MBD=ZACD,

:.BM//AC,

JZABM+NBAC=180。，

?；NHAE+NCA尸=180°,

:./班C+ZFAE=360。-(/BAE+ZC4F)=360°-180°=180°,

/.ZABM=/FAE,

在和/中

AB=AE

-ZABM=Z.EAF,

BM=AF

???/WM^EAF(SAS),

:,AM=EF,

,/AM=2AD,

，EF=2ADi

(3)取月C的中點(diǎn)為M,連接AW并延長至N,使AM=MN,連接BN、DN,

N

圖3

???點(diǎn)M是8C的中點(diǎn)，

.?.CM=BM,

在AACM和NHM中，

CM=BM

?ZAMC=/NMB

AM=NM

J.NAM(SAS),

AC=NB

??,BD=CE,

:?BM-BD=CM-CE,DM=EM,

在dAEM和.NDM中，

EM=DM

-ZAME=ZNMD

AM=NM

???4EM”工NDW(SAS),

XE=ND,

延長AD交BN于F,

則AB+BF>AD+DF,且FN+DF>DN,

:.AB+BF+FN+DF>AD+DF^-DN,

???AB+BN>AD+DN,

即AB+AC>AD+AE.

易錯(cuò)點(diǎn)6：等腰三角形的新定義

例：經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形.如果其中一個(gè)是等腰三角

形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”，如圖，線段是

A8C的“和諧分割線”，ACD為等腰三角形，△C8D和A8C相似，44=46。，則/AC8的度數(shù)為（）

C

ADB

A.113°B.92°C.113°或92。D.92?；?34。

【答案】C

【分析】本題主要考杳了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識帶你，由AC。是等腰三角形，

ZADOZRCD,則NAQC>NA,R|JAC^CD,分4C=人力和QA=DC兩種情形，分別根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)求解即可.正確分類是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：???△C8O和ABC相似，

:.NBCD=NA=460,

???河8是等腰三角形，ZADC>ZBCD,

：.ZADC>ZA,即ACNC。，

①當(dāng)AC=4）時(shí)，即ZACD=Z4DC=-（180°-46°）=67°,

AZACB=67O+46°=113°,

②當(dāng)=時(shí)，ZACD=ZA=46°,

工4。8=46。+46。=92。，

故選：C.

變式1：定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”.若ABC

是“倍角三角形“，ZA=90°,BC=4,則ABC的面積為.

【答案】2石或4

【分析】分情況討論，當(dāng)/A是NA（或NC）2倍時(shí)，A3C為等腰直角三角形；當(dāng)NC=2N8或4=2NC

時(shí)，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)NA=2N8=90°時(shí)，則NC=N3=45。，

???AI3=ACf

VBC=4,AB2+AC2=42,

AI3=AC=2>/2，

:.48c的面積為,xA3xAC=4：

2

同理，當(dāng)4=2/C=90。時(shí)，二ABC的面積為4；

當(dāng)/C=2/B時(shí)，

VZC+ZB=90°,

則/C=6O。，ZB=3O°,

???BC=4,

??AC=2,AB=J42-2?=25/3，

???二ABC的面積為gxABx4C=2后；

當(dāng)N8=2NC時(shí)，

ZC+ZB=90°,

貝|J/8=6O。，ZC=30°,

,/BC=4,

?*,A3=2?AC=>/42-22=2^3）

???46。的面積為gxA8x4C=2G：

綜上，ABC的面積為2G或4；

故答案為：2G或4.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確理解“倍角三角形”的概念，分類討論

是解題的關(guān)鍵.

變式2：定義：如果三角形中，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍，那么這個(gè)三角形叫“完美三角形

G

E

E

圖1圖2

(1)下列三角形一定是“完美三角形”的是A.直角三角形氏等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角

形

(2)如圖I,二ABC是“完美三角形”，且ABvACvBC.若正方形人小)石和正方形ACFG的面積分別是7和

25,則正方形BCH/的面枳是

(3)即圖2,在四邊形A6co中，AB=BC,乙46C=ZADC=90。.七是四邊形A6C"。外一點(diǎn)，且AE=A8,

DE=DC.求證：△4E。是“完美三角形”.

(4)若R/A8C是“完美三角形”，且一條直角邊長為求斜邊長.

【答案】⑴。

⑵43

(3)見解析

(4)及或1

【分析】本題考查了勾股定理、新定義的理解和一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握新定義的理

解.

(1)設(shè)等邊三角形的邊長為M再根據(jù)新定義即可判斷；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)可求得正方形A瓦必和正方形月CPG兩邊的邊長，再根據(jù)新定義即可求得正方形

BC川的邊長,進(jìn)而即可求得面積；

(3)連接AC,根據(jù)勾股定理和新定義即可求判斷求解；

(4)根據(jù)RlZ^ABC是“完美三角形”進(jìn)行分類討論求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)等邊三角形的邊長為x,

則/=2x2,

???等邊三角形是“完美三角形”，

故選D；

（2）???正方形石和正方形ACFG的面積分別是7和25,

:.AB=幣,AC=>/25=5,

?/48C是“完美三角形"，KAB<AC<BC,

，AB2+BC2=2AC\

：?BC=yj2AC?-AB?=525-7=屈，

?*,S正方形BCHI=8C~==43,

故答案為：43；

（3）解:連接AC.

?.*ZABC=ZAL>C=90°,

???/BC和AAQC均為直角三角形,

在中，AB2+BC2=AC2,

在Rt,ADC中，AD~+DC2=AC2.

VAB=BC=AE,DE=DC,

???2AE2=AD2+DE2

???/XAEO是“完美三角形”.

圖2

（4）解：設(shè)斜邊長為x,則另一邊長為

???咫△ABC是“完美三角形”,

2

二二+/=2

3

儕f得不一J5，受一—J5（舍去）或芭=1,*2=-1（舍去）,

故答案為：夜或1;

易錯(cuò)點(diǎn)7：兩圓一線畫等腰

例：在平面直角坐標(biāo)系中，已知4(41),在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)P使得，AOQ為等腰三角形，則滿足條件的

點(diǎn)可以畫出()

A.4個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.7個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定得出可能04為底，可能0A為腰兩種情況，依此即可得出答案.

【洋解】解：如圖：①以A為圓心，以04為半徑作圓，此時(shí)交坐標(biāo)軸于兩個(gè)點(diǎn)(。除外)；

②以。為圓心，以04為半徑作圓，此時(shí)交坐標(biāo)軸于四個(gè)點(diǎn)；

③作線段A。的垂直平分線，此時(shí)交坐標(biāo)軸于兩個(gè)點(diǎn)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定的應(yīng)用，注意行兩邊相等的三角形是等腰三角形，注意要進(jìn)行分類

討論.

變式1：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)。(2,2),點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，▲尸Q。是等腰三角形，則滿足條件

的點(diǎn)。共有個(gè).

【答案】8

【分析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)作出圖形，利用數(shù)

形結(jié)合的思想是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可知：二PQO是等腰三角形,

當(dāng)PO=PQ時(shí)，以點(diǎn)尸為圓心，PO為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸交于2，Q,(除點(diǎn)。外),

當(dāng)。?=。。時(shí)，以點(diǎn)。為圓心，OP為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸交于。4,a，Q-

當(dāng)0P=0。時(shí)，即點(diǎn)。在0P的垂直平分線，與坐標(biāo)軸交于。7,。8，

結(jié)合圖形，綜上，滿足條件的點(diǎn)。共有8個(gè),

故答案為：8.

變式2：如圖，一A8c中，ZC=90°,AB=5cm,8C=3cm,若動(dòng)點(diǎn)〃從點(diǎn)。開始，按Cf4-8->C的

路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時(shí)間為/秒.

備用圖

(1)出發(fā)2秒后，求線段8P的長.

(2)同?為何值時(shí)，，BCP為等腰三角形？

(3)另有一點(diǎn)Q,從點(diǎn)C開始，技CfBfAfC的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm,若P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),

當(dāng)戶、。中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)f為何值時(shí)，直線PQ把A8C的周長分成相等的兩部

分？

【答案】(1)J萬厘米

(2)3秒、5.4秒、6秒、6.5秒

(3)2或6秒

【分析】（1）本題考查勾股定理，根據(jù)運(yùn)動(dòng)得到C尸結(jié)合勾股定理即可得到答案；

（2）本題考查動(dòng)點(diǎn)圍城等腰三角形問題，分類討論等腰三角形的腰，結(jié)合勾股定理及動(dòng)點(diǎn)路程問題根據(jù)腰

相等列式求解即可得到答案；

（3）本題考查勾股定理及動(dòng)點(diǎn)三角形周長問題，根據(jù)題意得到動(dòng)點(diǎn)位置結(jié)合運(yùn)動(dòng)表示出線段的長度根據(jù)周

長相等列式求解即可得到答案；

【洋解】（1）解：如圖I,由NC=90。，A8=5cm,8c=3cm,

圖I

二.AC=4,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C開始，按CfAf8fC的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm,

???出發(fā)2秒后，則CP=2,

.-ZC=90°,

:.PB=>/22+32=V13(cm)；

（2）解：①加圖2,若尸在邊AC上時(shí)，AC=CP=3cm,此時(shí)用的時(shí)間為長△/蛇尸為等腰三角形:

②若尸在A8邊上時(shí)，有三種情況:

i）如圖3,若使8尸=C8=3cm,

此時(shí)AP=2cm,。運(yùn)動(dòng)的路程為2+4=6cm,

???用的時(shí)間為6s,BCP為等腰三角形；

ii）如圖4,若CP=BC=3cm,過C作斜