三角恒等變換高考真題

一、選擇題【必修四】第三章．（2012年高考（重慶文））sin47—sin17cos30cos17三角恒等變換（）、<3

A.-T1B.--21C.2D.123456．7．8．9.（2012年高考（重慶理））設tana,tanP是方程x2—3x+2=0的兩個根，則tan（a+B）的值為（）-3-1C.1D.3（2012年高考（陜西文））設向量a-3-1C.1D.3（2012年高考（陜西文））設向量a=（1.cos^）與b=（-1,2cos0）垂直，則cos20等于C.0D.-1（2012年高考（遼寧文））已知sina-cosa=<2,a(0,n)，貝Usin2a=A.-1<2B.——2D.1（2012年高考（遼寧理（2012年高考（遼寧理））已知sina-cosa=<2,a(0,n),則tana-1<2B. 2D.-1<2B. 2D.sina+cosa 1（2012年高考（江西文））若二 sina-cosa3A--434二萬，則tan2a4-3D.=4,則sin20=（2012年高考（江西理））若tan=4,則sin20=D.D.C.33（2012年高考（大綱文））已知a為第二象限角，sina=-，則sin2a=24A--2524A--2512-2512252425.（2012年高考（山東理））若0G3J7,sin20= 則sin0=83A.5()A．[-2,2]B()A．[-2,2]B.[-33,33]C.[-1,1]D．[-兀(2012年高考(湖南理))函數(shù)f(x)=sinx-cos(x+—)的值域為6(2012年高考(大綱理))已知a為第二象限角，sina+cosa==，則cos2a= ( )二、填空題1．(2012年高考(大綱文))當函數(shù)y=sin%-3ccos%(0<%<2兀)取最大值時，%=1．2．(2012年高考(江蘇))設a為銳角，若(兀)cosa+-I6J4 冗2．(2012年高考(江蘇))設a為銳角，若(兀)cosa+-I6J4 冗 =-，則sin(2a+—)的值為J JL乙3．(2012年高考(大綱理))當函數(shù)y=sin%—%''3cos%(0<%<2兀)取得最大值時，％=三、解答題1．% % %1(2012年高考(四川文))已知函數(shù)f(%)=cos2--sin-cos---(i)求函數(shù)f(%)的最小正周期和值域;3<2(II)若f(a)=~0^~,求sin2a的值.2．(2012年高考(湖南文))已知函數(shù)f(%)=Asin(3%+①)(%eR,3>0,0<3<：的部分圖像如圖5所示.(I)求函數(shù)f(x)的解析式；(II)求函數(shù)g(%)=f(%-2)-f(%+\)的單調(diào)遞增區(qū)間.JL乙 JL乙3．(2012年高考(湖北文))設函數(shù)f(%)=sin23%+2V3sin3%cos3%-cos23%十九(％eR)的圖像關于直線%=冗對稱，其中3,人為常數(shù)，且3e(1,1)(1)求函數(shù)f(%)的最小正周期；(2)若y=f(%)的圖像經(jīng)過點(亍,0)，求函數(shù)f(%)的值域.⑴sin213°+cos17°-sin13°cos17°(2)sin215°+cos15°-sin15°cos15°⑶sin218°+cos12°-sin18°cos12°(4)sin2(-18°)+cos48°-sin(-18°)cos48°(5)sin2(-25°)+cos55°-sin(-25°)cos55°I試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù)II根據(jù)(I)的計算結(jié)果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.(sinx-cosx)sin2xTOC\o"1-5"\h\z5.(2012年高考(北京文))已知函數(shù)f(x)= : .sinx(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.兀 兀6.(2012年高考(天津理))已知函數(shù)f(x)=sm(2x+—)+sin(2x--3)+2cos2x-1,xeR.6.(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期；兀兀r.一, 一(I)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［-7,-］上的最大值和最小值.44(2012年高考(重慶理))(本小題滿分13分(I)小問8分(II)小問5分)設f(x)=4cos(3x—￡)sin3x-cos(23x+兀),其中3>0.(I)求函數(shù)y=f(x)的值域「3兀兀一(I)若f(x)在區(qū)間-7,-上為增函數(shù)，求3的最大值.(2012年高考四川理))函數(shù)f(x)=6cos2手+0cos3x-3(3>0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點,且AABC為正三角(I)求3的值及函數(shù)f(x)的值域；- 8點 102(I)若f(x0)=--,且x0￡(-,-),求f(x0+D的值.J JJA(2012年高考(山東理))已知向量m=(sinx,1),n=(<3Acosx,—cos2x)(A>0),函數(shù)f(x)=m?n的最大值為6.(I)求A;“、兀 1(I)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個單位,再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的萬倍,5兀一縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.求g(x)在［0,司上的值域.(2012年高考(湖北理))已知向量a=(cos3x-sin3x,sin3x),b=(-cos3x-sin3x,2<3cos3x),設函數(shù)f(x)=a?b+X(x￡R)的圖象關于直線x=兀對稱,其中3,入為常數(shù)，且3￡J,1).2(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(I)若y=f(x)的圖象經(jīng)過點(-,0),求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,史］上的取值范圍.4 5(其中3〉0x￡R)的最小正周期(2012年高考(廣東理))(其中3〉0x￡R)的最小正周期為10兀.(I)求①的值;「兀】 「 5「?！?「 5、(H)設a、Pe0,—,f5a+-兀_2」I 3)f,f5P =」,求cos(a+0)的值.5I6)17(2012年高考(福建理))某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)sin213o+cosl70-sinl3ocosl7°sinz15°+cosl5o-sinl5ocosl50sin218o+cosl2o-sinl8ocosl2°sin2(-18°)+cos48°-sin(-18°)cos48°sin2(-25°)+cos55°-sin(-25°)cos55°I試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù)II根據(jù)(I)的計算結(jié)果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式,并證明你的結(jié)論., ,,”、(sinx-cosx)sin2x(2012年高考(北京理))已知函數(shù)/(%)= ： .smx(1)求/(%)的定義域及最小正周期；(2)求/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2012年高考(安徽理))設函數(shù)/(4)二一廠cos(2x++)+sin2x⑴求函數(shù)f(x)的最小正周期；兀 冗 1(II)設函數(shù)g(X)對任意xeR,有g(x+-)=g(x),且當xe［0,了］時,g(x)=--f(x),求函數(shù)g(x)在［f,0］上的解析式.參考答案參考答案一、選擇題1.【答案】：C【解析】：sin47-sin17cos30sin(30+17)-sin17cos30cos17cos17sin30cos17+cos30sin171.【答案】：C【解析】：sin47-sin17cos30sin(30+17)-sin17cos30cos17cos17sin30cos17+cos30sin17-sin17cos30sin30cos17 ° ° ° ° * = 二sin30cos17cos17【考點定位】本題考查三角恒等變化,其關鍵是利用47=30+172.【答案】A【解析】tana+tanP=3,tanatan0=2ntan（a+0）=tana+tan:=-3—=-31+tanatan01-2【考點定位】此題考查學生靈活運用韋達定理及兩角和的正切公式化簡求值3.解析：a?b=0,-1+2cos2。=0,cos20=2cos20-1=0,故選c.4.【答案】A5.6.5.6.【解析】 sina-cosa=。2,「.(sina-cosa)2=2,「.sin2a=-1,故選A【點評】本題主要考查三角函數(shù)中的倍角公式以及轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力屬于容易題.【答案】A【解析一】 sina-cosa=%；2,「.<2sin(a-—)=#2,「.sin(a-—)=1TOC\o"1-5"\h\z4 4/八： 3— —.ag(0，—),，a二一，「.tana=-1,故選a4【解析二】sina-cosa=J2,「.(sina-cosa)2=2,「.sin2a=-1,3兀 3兀 y..ag（0,兀）,...2ag（0,2兀）,「.2a二一，二.a二一，「.tana=-1,故選a?. 2 4【點評】本題主要考查三角函數(shù)中的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，難度適中.【答案】B【解析】主要考查三角函數(shù)的運算，分子分母同時除以cosa可得tana=-3，帶入所求式可得結(jié)果..D【解析】本題考查三角恒等變形式以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想1sin0cos0 sin20+cos20 1 ， .- 1因為tan0+■二0+何=sin0cos0 二10二4,所以.220=2sin202.答案A【命題意圖】本試題主要考查了同角三角函數(shù)關系式的運用以及正弦二倍角公式的運用八. 3 ~：—— 4【解析】因為a為第二象限角，故cosa<0,而sina=-,故cosa=-\1-sin2a=--,所以J Jsin2a=2sinacosa=--,故選答案A.2r5

7"U兒9.【解析】因為6￡[],萬],所以29￡[不,兀],cos20<0,所以cos2?9.1 9 3cos20=l-2sin20二一一所以simO=一，sin0二一，選D.10.【答案】B【解析】. 1-Jl-sin220=--，又

810.【答案】B【解析】. 1-Jl-sin220=--，又

8f(x)=sinx-cos(x+—)=sinx--cosx+-sinx=a/3sin(x--),6 2 2 6sin(x--)e[-1,1],/./(x)6值域為[-6,73].【點評】利用三角恒等變換把/（x）化成Asin（cox+（p）的形式,利用sin（cox+（p）￡1—1,1],求得了（冷11.的值域.答案A[解析-ma+c°sa邛平方可a是第二象限角，因此sina>0,cosacO,cosa-sinoc)2=-二、填空題

、5a是第二象限角，因此sina>0,cosacO,cosa-sinoc)2=-二、填空題

、5兀L答案避1+sin2a=』nsin2a=

3所以cosa-since/.cos2a=cos2a-sirua=(cosa+sina)(cosa-since)= 法二：單位圓中函數(shù)線+估算，因為a是第二象限的角，又sina+cosa=*〉；所以“正弦線”要比“余弦線”長一半多點，如圖，故。。52a的“余弦線”應選A.L ?！窘馕觥坑?=sinx-J3cosx=2sin(x—])TC71 5兀 71由0?兀<2兀<^>--<%-—<——可知一2V2sin(x-—)<2Ih兀71當且僅當X-Ih兀71當且僅當X-不二即X二——時取得最小值，X-彳=7時即x=3 2 6 3 2■心小17/-2.【答案】72.50【考點】同角三角函數(shù)，倍角三角函數(shù)，和角三角函數(shù).5兀~7~取得最大值.6【解析】、ra、/Attrtc 兀 兀7C7T7U2兀*.*a為銳角，即Ovav—, 一van—<—【解析】、ra、/Attrtc 兀 兀7C7T7U2兀*.*a為銳角，即Ovav—, 一van—<—i—=—2 66263/cosa、71H 6J/，?:sina兀、H 6J.??sin2ah—I3J2sinfa+-l6J(兀)cosa+一I672425? c兀??cos2aH—I3J725兀 71sin(2〃+)=sin(2a+—~.. … … 71=sin2a+—cos cos2a+—sin—7171713J3J_24a/2_J_V2_17_b-25DT-25DT-50^.5兀3.答案：z6TOC\o"1-5"\h\zL 7C【解析】由y=sinx—13cosx=2sin(x——)八 - 兀 兀5兀 兀、-由0Vx<2兀 <x--<——可知一2V2sin（x-—）<2713k11k 兀兀 5兀當且僅當X-：=丁即元二>時取得最小值，X-丁=彳時即x=L取得最大值?3 2 6 3 2 6三、解答題XxX11.［解析］⑴由已知,f(x)=C0S2^—sin5cos5—5=-(l+cosx)-2TOC\o"1-5"\h\z—cos(x+l)2 4所以f（x）的最小正周期為2兀，值域為一浮嚀.v;2 ,7i、372(2)由(1)知，f(a)=〈cos(a+-)=---2 4 1071 3所以cos(a+—=—).45. /兀、 ?兀、所以sm2a=—cos(一+2a)=—cos2(a+—)2 41C/兀、1 1825=1-2cos2(ot+—)=1——25E?11兀5兀.【解析】（I）由題設圖像知，周期丁二2（十一百因為點（合。）在函數(shù)圖像上,所以Asin（2x誓+（p）=0,即sin（黑+（p）=0.12 12 0

八兀 5兀 5兀 4兀 5兀 兀又0<①〈—，.二—<—+①<—,/從而—十①=兀，即①——.2 6 6 3 6 6?*又點(0,1)在函數(shù)圖像上,所以Asin1=1,A=2,故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+).66(II)g(x(II)g(x)=2sin12J一2sin兀=2sin2x-2sin(2x+-3)=2sin2x-2(-2sin2x+-^2-cos2x)=sin2x-*3cos2x=2sin(2x--3),由2k兀-—<2x-—<2k兀+—,得kn--<x<k兀+—,ke乙2 3 2 12 12?二g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k?！?k兀+iy,keZ.JL乙 JL乙.【解析】(1)因為一 A 一 ，丁 一 A__ 兀 Af(x)=sin23x-cos23x+2<3sin3xcos3+入=-cos23x+<3sin23x+入=2sin(23x--)+'6由直線x=冗是y=f(x)圖像的一條對稱軸,可得sin(23x-：)=±16TOC\o"1-5"\h\z一n ?！?k 1所以23x--=kn+—(keZ),即3=—+—(keZ)6 2 2 3又3e(：,1),keZ,所以k=1時，3=5，故f(x)的最小正周期是空.2 6 5(2)由y=f(x)的圖象過點(，,0)，得f。=0即X=—2sin(—x———)=—2sin—=—2即九=一<2626 4故f(x)=2sin(5x—；)—<2，函數(shù)f(x)的值域為[2—<2,2+v12].3 64.13解：(1)選擇(2)式計算如下sin215°+cos15°—sin150cos15°=1--sin30°=一24(2)證明：sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°-a)=sin2a+(cos30°cosa+sin300sina)2-sina(cos30°cosa+sin300sina)

TOC\o"1-5"\h\z二sHa+3cos2a+旦nacosa+La-苴sinacosa/a4 2 4 2 2.-3 ?3=—sin2a+—cos2a=—4 45.【考點定位】本題考查三角函數(shù),三角函數(shù)難度較低,此類型題平時的練習中練習得較多,考生應該覺得非常容易入手.解：(1)由sinx中0得x中k冗,(keZ)，故f(x)的定義域為{xeRIx豐k兀,keZ}.,“、 (sin,“、 (sinx-cosx)sin2x因為f(x)= ； sinx=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=%2sin(2x-4)-1,2兀所以f(x)的最小正周期T=—=k兀 3兀(2)函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為[2k兀+-,2k兀+--](keZ).一兀-?！?3兀. . . 3兀. 7兀.由2k兀+—<2x——<2k兀+—,x中k兀(keZ)得k兀+—<x<k兀+-8—,(keZ)3兀， 7兀、一、所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[k兀+—<x<k兀+--],(keZ)886.【命題意圖】本題考查兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式，三角函數(shù)的最小周期，單調(diào)性等知識.6., 兀 .兀. 兀 .兀f(x)=sin2xcos—+cos2xsin一+sin2xcos--cos2xsin—+cos2x3 3 3=sin2x+cos2x=<2sin(2x+；)2兀所以，f(x)的最小正周期T=—=k.兀兀 兀兀⑵因為f(x)在區(qū)間［--,-］上是增函數(shù)，在區(qū)間［-,-］上是減函數(shù)，又48 84f(--)--1,f(《)=、2f(7)=1,故函數(shù)f(x)在區(qū)間［-7,—］上的最大值為%；2,最小值為-1.8 4 44【點評】該試題關鍵在于將已知的函數(shù)表達式化為y=Asin(3x+①)的數(shù)學模型,再根據(jù)此三角模型的圖像與性質(zhì)進行解題即可.7.【考點定位】本題以三角函數(shù)的化簡求值為主線，三角函數(shù)的性質(zhì)為考查目的的一道綜合題，考查學生’3兀、?！籘OC\o"1-5"\h\z2 43分析問題解決問題的能力，由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可列| ,從而解得3的取值范圍,兀 ?！?lt; I2 43即可得3的最在值.解:⑴fG)=解:⑴fG)=4—cos3x+1sin3x22sin3x+cos23x=2*3sin3xcos3x+2sin23x+cos23x—sin23x3sin2①x+1(kgZ)上為增函數(shù),故因-1<sin23X<1，所以函數(shù)y=f(x)的值域為(kgZ)上為增函數(shù),故兀 兀⑵因y=sinx在每個閉區(qū)間 2kk——,2kk+—f(x)=x3sin23f(x)=x3sin23x+1(3>0)在每個閉區(qū)間詈43，-3"+43(kgZ)上為增函數(shù).2 4343，-3"+43對某個kgZ成立,此時必有k=0,于是，解得3<二，故3的最大值為5.6 68.［解析］(1)由已知可得:8.［解析］(1)由已知可得:f(X)=6cos2+<3cos3X-3(3>0)=3cos①x+\；3sin3x=2<3sin(3x+：)又由于正三角形ABC的高為2-、回,則BC=42兀 兀所以，函數(shù)f(x)的周期T=4x2=8，即—=8，得3=^所以,函數(shù)f(x)的值域為[-2<3,2a/3](II)因為f(x(II)因為f(x0)=，由(I)有f(x)=2\：3sin(0kx k、—0-+—)4 38<3由xg(-10，由xg(-10，2)

0 33，得匕0+彳)g(—5a)I J 乙乙飛1—(4)2故f(x0+D=2v3sin(7+*如2.口［(Y+如TTOC\o"1-5"\h\z=2<3[sin(^x0+—)cos—+cos(^x0+—)sin—4 3 4 4 3 463二&—2%3(-x—+-x )5 2 5 27V6"T"[點評]本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)同三角函數(shù)的關系、兩角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基礎知識,考查運算能力,考查樹形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.L9.解析：(I)f(x)=m-nL9.解析：(I)f(x)=m-n=v3ATOC\o"1-5"\h\zcosxsinx+—cos2x=——Asin2x+—cos2x=Asin2x+—,

2 2 2 \ 6)，兀 兀 兀(II)函數(shù)y=f(x)的圖象像左平移—個單位得到函數(shù)y=6sin[2(x+ )+-]的圖象，12 12 6再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的1倍,縱坐標不變,得到函數(shù)g(x)=6sin(4x+?)乙 J5兀 兀 兀 7兀 一.兀 1當xG[0，——]時，4x+—G[—,]，sin(4x+—)G[—，1],g(x)G[—3,6].24 3 3 6 3 2,、i5兀r故函數(shù)g(x)在[0,]上的值域為[-3,6].24另解：由g(x)=6sin(4x+g)可得g，(x)=24cos(4x+g)，令g'(x)=0,TOC\o"1-5"\h\z,兀，兀， 八5兀 九則4x+—=k兀+(kGZ)，而xG[0,萬/，則x=ZT,兀 兀 兀 5兀 7兀 _于是g(0)=6sin—=313,g(一)=6sin—=6,g(——)=6sin——=-3,3 24 2 24 6 ，5兀、故一3<g(x)<6,即函數(shù)g(x)在[0,]上的值域為[-3,6].24.考點分析:本題考察三角恒等變化,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).解析：(I)因為f(x)=sin23x一cos23x+2.3sin3x-cos3x十九=一cos2①x+33sin2①x+X=2sin(23x-n)+入.n由直線x=n是y=f(x)圖象的一條對稱軸,可得sin(23n——)=±1,6TOC\o"1-5"\h\zn n k 1所以23n— =kn+ (kgZ),即3=—+—(kgZ).6 2 2 3又3G(—,1),kgZ，所以k=1,故3=—.2 6所以f(x)的最小正周期是6n(ID由y二f(x)的圖象過點(4。),得嗎二。,

TOC\o"1-5"\h\z即X=-2sin(—xn-n)=-2sinn=-、、：2，即X=-v2.626 4故f(x)=2sin(-x-n)-22,3 63n+n5n5n由0<x<—,有—<-x--<—,所以一!<sin(—x-n)<1,得-1-<2<2sin(-x-n)-22<2-v2,2 3 6 3 6故函數(shù)f(x)在[0,3n]上的取值范圍為[-1-<2,2-<2]..一.. 2— — 1.解析：(I)T=—=10—，所以①=-.3 5(II)/一5、一f]5a+3—j=2cos1L5」一..—(II)/一5、一f]5a+3—j=2cos1L5」一..—5a+——+—