第2章 計算方法插值與擬合

第2章插值與擬合2.1插值問題2.2拉格朗日插值多項式2.3差商與牛頓插值多項式2.4差分與等距節(jié)點插值公式2.5分段低次插值2.6曲線擬合的最小二乘法

實際問題中常常需求函數(shù)的函數(shù)值、導數(shù)值、零點、極值或積分值。但往往不知道其確切表達式，或表達式很復雜，只是知道它在某些點處的函數(shù)值與導數(shù)值。因此，要尋求某種方法來確定這類函數(shù)的近似表達式。本章介紹兩種方法（插值與擬合）求其近似式：2.1插值問題2.1.1插值問題的基本概念

設函數(shù)在區(qū)間[a,b]上有定義，在該區(qū)間上有n＋1個互異點，其函數(shù)值已知，記為：如果選簡單函數(shù)

作為的近似表達式，并要求滿足以下條件：這樣的函數(shù)近似問題就稱為插值問題。（2-1）式稱為插值條件，滿足插值條件（2-1）的近似函數(shù)稱為插值函數(shù)，而

稱為被插值函數(shù)，互異點稱為插值節(jié)點（簡稱節(jié)點），而x稱為插值點，區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間。x0x1xn在眾多函數(shù)中，多項式最簡單、最易計算。選取多項式為插值函數(shù)的插值問題為多項式插值問題，是本章的主要討論內容。2.1.2插值多項式的存在唯一性

在n＋1個節(jié)點上滿足插值條件（2-1）的不高于n次的多項式稱為插值多項式。

這樣的多項式是否存在且唯一呢？證明：

如果(2-2)式的n＋1個系數(shù)可以被唯一確定，則該多項式也就存在且唯一。根據插值條件(2-1)，(2-2)中的系數(shù)應滿足以下n＋1階線性方程組（2-4）

由克萊姆法則可知方程組（2-3）有唯一的一組解，即插值多項式（2-2）存在且唯一。定理2-1:

在n＋1個互異點

xi上滿足條件的次數(shù)不高于n次的插值多項式存在且唯一。2.1.3插值余項插值多項式只是的近似值，其誤差叫做插值多項式的余項或截斷誤差，記作：記為包含的最小閉區(qū)間，I

為包含于中的最大開區(qū)間，又記：定理2-2

設函數(shù)在區(qū)間I上具有n+1階連續(xù)導數(shù)，是互異節(jié)點，則插值多項式（2-2）的余項為：證明:

當x為某個節(jié)點時定理顯然成立。設x異于所有的節(jié)點，構造輔助函數(shù)：

顯然，根據羅爾定理：在n＋2個點之間存在n＋1個使得在這n＋1個點之間存在n個點，使得n個點處在這n個點之間存在n－1個點，使得依次類推，在這些點之間存在一點，使得即：

由公式(2-7)可見，如果在上有界，即存在常數(shù)M，使，則必有由此又可知，x

(插值點)鄰近節(jié)點中某點時，插值多項式的誤差很小；不鄰近任一節(jié)點時，誤差可能很大。2.2拉格朗日(Lagrange)插值多項式Lagrange插值多項式是一種在形式上不同于（2-2）的插值多項式，只要給出了n＋1個互異點及對應的函數(shù)值，便能直接寫出這種形式的多項式。

如果在方程組（2-3）上加一個方程將n＋2個方程，n＋1個未知量。根據非齊次線性方程組有解的充要條件，必有按照最后一列展開，并利用（2-4）列出的范德蒙行列式的計算公式，整理得到的表達形式：其中（2-10）叫作拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，滿足：由此不難看出（2-11）改寫2-9式兩邊取對數(shù)求導特例：n=1時，根據式（2-9）和（2-10）得出就是通過兩點（x0,y0）,(x1,y1)的直線方程，與直線的二點式一致。x0x1n＝2時，x0x1x2它們的局部截斷誤差，據公式（2-7），分別為：

例題已知特殊角，，的正弦函數(shù)分別為，求近似值，并估計截斷誤差。

解角化為弧度，分別為。按拉格朗日插值一次式（2-12），取為節(jié)點，得誤差取為節(jié)點，得誤差取為節(jié)點，按拉格朗日插值二次式（2-13），得誤差

注意真值為0.7660444

，上述3個近似值的真正誤差分別為0.010,0.0059,0.0006,與估計誤差界相差不大。前兩個近似值是按線性插值公式計算的,誤差不同是因節(jié)點取法不同。前者插值點在節(jié)點之外，計算插值多項式值稱外插或外推，一般誤差較大。后者插值點在節(jié)點之間，計算插值多項式稱內插，一般誤差較小。

第三個近似值用到三個節(jié)點，充分利用了已知信息，通常誤差更小。

2.3差商與Newton插值多項式2.3.1差商及其性質定義仍然討論給定n+1個插值節(jié)點節(jié)點上的函數(shù)值稱為關于節(jié)點的一階差商。為關于節(jié)點的二階差商。k階差商：差商的性質:1.k階差商可表示為函數(shù)值的線性組合，即2.差商與節(jié)點的排列次序無關。3.若f(x)在[a,b]上存在n階導數(shù)，且節(jié)點則n階差商與導數(shù)的關系如下，性質1證明：用數(shù)學歸納法。當k＝1時，根據差商定義：對于k＝1，（2-17）式成立。設k＝n-1時，（2-17）式也成立，即由定義，即推出k＝n時也成立，因此性質1得證。一階差商二階差商三階差商四階差商2.3.2Newton插值公式計算差商可按下表進行：

記：注意：由于滿足插值條件的插值多項式是唯一的，所以余項相同，從而，性質3得證。例題：用Newton插值公式求f(x)過三個點(0,1)，(-1,5)和(2,-1)的二次插值多項式N2(x)，并計算N2(1.5)。解：一階差商二階差商三階差商-10251-1-4-112.4差分與等距節(jié)點插值公式2.4.1差分及其性質設函數(shù)y=f(x)在節(jié)點上的函數(shù)值為已知。其中h為常數(shù)，稱為步長。

定義稱函數(shù)在上的變化為在上以h為步長的一階向前差分。記作同理，為在上以h為步長的一階向后差分。利用一階差分可以定義二階及二階以上的高階差分。

差分的性質（1）各階差分均可用函數(shù)值來表示其中，（2）差分與差商有如下關系（3）向前差分與向后差分的關系（2-23）（2-24）（2-25）（2-26）（4）差分與導數(shù)的關系2.4.2等距節(jié)點Newton插值公式

考慮Newton插值公式（2-21），由于節(jié)點為等距節(jié)點，假設要計算x0附近某點的值，令，顯然，則得：將（2-24）和（2-28）代入Newton多項式，得到

（2-27）（2-28）（2-29）稱為Newton前插公式，插值余項為：

（2-30）反之，若要求附近某點的值，先將Newton插值多項式按次序改寫為

令，顯然，由（2-25）得

稱為Newton后插公式，插值余項為：

（2-32）（2-31）例題：已知等距節(jié)點及相應點上的函數(shù)值如下：i0123xi0.40.60.81.0yi1.51.82.22.8試求N3(0.5),N3(0.9)。解：先構造向前差分表，ixiyi00.41.50.30.10.110.61.80.40.220.82.20.631.02.8由題意，x0＝0.4，h＝0.2；當x＝0.5時，t＝（0.5-0.4）/0.2＝0.5，因此代入牛頓前插公式（2-32）得：

ixiyi00.41.50.30.10.110.61.80.40.220.82.20.631.02.8當x＝0.9時，t＝（1-0.9）/0.2＝0.5，因此代入牛頓后差公式，得：

2.5

分段低次插值

2.5.1高次插值多項式的缺陷插值多項式次數(shù)越高，利用被插函數(shù)節(jié)點信息越多，理應誤差越小。由公式（2-7）可見，截斷誤差與有關，其絕對值不一定隨次數(shù)增加而減小。龍格（Runge）就給出了一個例子：取等矩節(jié)點，作拉格朗日插值多項式。當時，函數(shù)及插值多項式的圖形如2-1所示。由圖可見，在區(qū)間[-0.2，0.2]上比較接近,但在區(qū)間[-1，1]兩端則誤差很大。當增大時，部分區(qū)間上插值多項式截斷誤差偏大的現(xiàn)象更重。這種現(xiàn)象稱龍格現(xiàn)象。-11x0.51.01.5y0圖2-1

龍格現(xiàn)象隨插值多項式次數(shù)的提高，計算誤差的影響也會增大。設函數(shù)值有誤差變?yōu)?，誤差限為。則拉格朗日插值多項式的計算值也會有誤差，而且很可能接近誤差限。當n

很大時的誤差就可能很大。這就是說，當很大時，數(shù)據的誤差可能對插值多項式計算結果帶來很大誤差。即當增大時，拉格朗日插值法不穩(wěn)定。為避免龍格現(xiàn)象和不穩(wěn)定，通常限定，不采用高次插值多項式。2.5.2分段低次插值法(線性插值、二次插值)

為了得出的較好近似式，通常采用分段低次插值法——即把插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間采用低次插值多項式。例如，設則節(jié)點把分成個小區(qū)間。當插值點在第個小區(qū)間上時，采用一次插值公式這實質上用分段線性函數(shù)近似表示被插函數(shù)，稱為分段線性插值法。幾何上，這表示用通過曲線個點的折線，去近似替代曲線。其截斷誤差設在上為常數(shù)，注意在上則可知，這表明，只要小區(qū)間長度充分小，便可保證充分靠近，即時分段線性插值函數(shù)收斂于被插函數(shù)。分段二次插值區(qū)間[a,b]分為若干子區(qū)間，每個子區(qū)間[xj-1,xj+1]上,j=1,2,n-1，用拋物線近似因此，在整個插值區(qū)間上，有2.6

曲線擬合的最小二乘法2.6.1函數(shù)逼近定義：對函數(shù)類A中給定的函數(shù)，要求在另一類較簡單的便于計算的函數(shù)類B中，求函數(shù)使與在某種度量意義下達最小。（1）一致（均勻）逼近（2）均方（平方）逼近

2.6.2曲線擬合的最小二乘法

欲建立x,y之間的函數(shù)關系，可以用插值法實現(xiàn)。但由于這些數(shù)據往往是由實驗得到的，會帶有誤差，而插值法要求經過這些點，就會將誤差帶入函數(shù)關系中；另外，這樣的數(shù)據往往較多，就會使所求的插值多項式的次數(shù)較高，次數(shù)越高越會影響逼近效果。曲線擬合最小二乘法是用簡單的函數(shù)逼近一組已知數(shù)據（xi,yi），不要求過每個點，只要求誤差的平方和最小，即：圖2-2最小二乘法擬合數(shù)據(xi,yi)，i＝0，1，…，n。用直線擬合最為簡單利用（2-60），確定a0，a1。即：根據二元函數(shù)極值的必要條件：，