第4章(下) 小波與小波變換

Fourier變換一直是信號(hào)處理領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛、效果最好的一種分析手段，是時(shí)域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把對(duì)原函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)其傅里葉變換的研究。但是傅里葉變換只能提供信號(hào)在整個(gè)時(shí)間域上的頻率，不能提供信號(hào)在某個(gè)局部時(shí)間段上的頻率信息。從傅里葉變換到小波變換的

時(shí)頻分析法傅里葉變換

傅里葉變換：對(duì)于時(shí)域的常量函數(shù)，在頻域?qū)⒈憩F(xiàn)為沖擊函數(shù)，表明具有很好的頻域局部化性質(zhì)。

傅里葉變換反傅里葉變換x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%產(chǎn)生50HZ和300HZ的信號(hào)f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信號(hào)中加入白噪聲時(shí)間

由于傅立葉變換無(wú)法作局部分析，為此，人們提出了短時(shí)傅里葉變換（STFT）的概念，即窗口傅里葉變換。短時(shí)傅里葉變換將整個(gè)時(shí)間域分割成一些小的等時(shí)間間隔，然后在每個(gè)時(shí)間段上用傅里葉分析，它在一定程度上包含了時(shí)間頻率信息，但由于時(shí)間間隔不能調(diào)整，因而難以檢測(cè)持續(xù)時(shí)間很短、頻率很高的脈沖信號(hào)的發(fā)生時(shí)刻。短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換基本思想是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率。STFT的處理方法是對(duì)信號(hào)施加一個(gè)滑動(dòng)窗(反映滑動(dòng)窗的位置)后，再作傅立葉變換。即：時(shí)限頻限短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換

短時(shí)傅里葉變換的分析特點(diǎn)(a)頻率變化的影響(b)基本分析單元的特點(diǎn)小波起源：

1984年Morlet提出;1985年Meyer構(gòu)造出小波;1988年，Daubechies證明了離散小波的存在;1989年，Mallat提出多分辨分析和二進(jìn)小波變換的快速算法;1989年Coifman、Meyer引入小波包;1990年崔錦泰等構(gòu)造出樣條單正交小波基;1994年Sweldens提出二代小波－提升格式小波(LiftingScheme)。小波定義：“小”是指在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集，“波”是指具有正負(fù)交替的波動(dòng)性，直流分量為0。小波概念：是定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數(shù)。小波變換持續(xù)寬度相同振蕩波正弦波與小波的差異：用鏡頭觀察目標(biāo)(待分析信號(hào))。代表鏡頭所起的作用(如濾波或卷積)。相當(dāng)于使鏡頭相對(duì)于目標(biāo)平行移動(dòng)。的作用相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離。小波變換的粗略解釋小波變換的時(shí)頻分析尺度a較大距離遠(yuǎn)視野寬概貌觀察尺度a較小距離近視野窄細(xì)節(jié)觀察分析頻率低分析頻率高由粗到精多分辨分析品質(zhì)因數(shù)保持不變小波變換的時(shí)頻分析特點(diǎn)：

小波變換的分析特點(diǎn)(a)尺度a不同時(shí)時(shí)域的變化(b)尺度a不同時(shí)頻域的變化小波變換的多分辨分析特性：不同a值下小波分析區(qū)間的變化不同a值下分析小波頻率范圍的變化頻窗時(shí)窗小波變換的時(shí)頻局部特性：連續(xù)小波變換尺度因子的作用是將基本小波做伸縮，越大越寬。小波的位移與伸縮設(shè)，當(dāng)滿(mǎn)足允許條件時(shí)：連續(xù)小波變換稱(chēng)為一個(gè)“基小波”或“母小波”。小波變換的含義是：把基本小波(母小波)的函數(shù)作位移后，再在不同尺度下與待分析信號(hào)作內(nèi)積，就可以得到一個(gè)小波序列。連續(xù)情況時(shí)，小波序列為：

(基本小波的位移與尺度伸縮)其中為尺度參量，為平移參量。離散的情況，小波序列為：根據(jù)容許條件要求，當(dāng)ω=0時(shí)，為使被積函數(shù)是有效值，必須有，所以可得到上式的等價(jià)條件為：此式表明中不含直流，只含有交流，即具有震蕩性，故稱(chēng)為“波”，為了使具有局部性，即在有限的區(qū)間之外很快衰減為零，還必須加上一個(gè)衰減條件：衰減條件要求小波具有局部性，這種局部性稱(chēng)為“小”，所以稱(chēng)為小波。對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換定義為：逆變換為：

是尺度因子，反映位移。

小波介紹部分小波許多數(shù)縮放函數(shù)和小波函數(shù)以開(kāi)發(fā)者的名字命名，例如，Moret小波函數(shù)是Grossmann和Morlet在1984年開(kāi)發(fā)的db6縮放函數(shù)和db6小波函數(shù)是Daubechies開(kāi)發(fā)的圖1正弦波與小波——部分小波小波介紹——小波分析小波分析/小波變換變換目的是獲得時(shí)間和頻率域之間的相互關(guān)系小波變換對(duì)一個(gè)函數(shù)在空間和時(shí)間上進(jìn)行局部化的一種數(shù)學(xué)變換通過(guò)平移母小波(motherwavelet)獲得信號(hào)的時(shí)間信息

通過(guò)縮放母小波的寬度(或稱(chēng)尺度)獲得信號(hào)的頻率特性對(duì)母小波的平移和縮放操作是為計(jì)算小波的系數(shù)，這些系數(shù)代表局部信號(hào)和小波之間的相互關(guān)系對(duì)比傅立葉變換提供了頻率域的信息，但丟失了時(shí)間域的局部化信息小波分析中常用的三個(gè)基本概念連續(xù)小波變換離散小波變換小波重構(gòu)小波介紹——小波分析(續(xù)1)連續(xù)小波變換(continuouswavelettransform，CWT)傅立葉分析用一系列不同頻率的正弦波表示一個(gè)信號(hào)一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)小波分析用母小波通過(guò)移位和縮放后得到的一系列小波表示一個(gè)信號(hào)一系列小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)凡能用傅立葉分析的函數(shù)都可用小波分析小波變換可理解為用經(jīng)過(guò)縮放和平移的一系列函數(shù)代替傅立葉變換用的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號(hào)比用平滑的正弦波更有效，或者說(shuō)對(duì)信號(hào)的基本特性描述得更好小波介紹——小波分析(續(xù)2)CWT的變換過(guò)程示例，見(jiàn)圖3，可分如下5步小波ψ(t)和原始信號(hào)f(t)的開(kāi)始部分進(jìn)行比較計(jì)算系數(shù)C——該部分信號(hào)與小波的近似程度；C值越高表示信號(hào)與小波相似程度越高小波右移k得到的小波函數(shù)為ψ(t-k)

，然后重復(fù)步驟1和2，……直到信號(hào)結(jié)束擴(kuò)展小波，如擴(kuò)展一倍，得到的小波函數(shù)為ψ(t/2)

重復(fù)步驟1~4圖3連續(xù)小波變換的過(guò)程小波介紹——小波分析(續(xù)3)連續(xù)小波變換用下式表示該式含義：小波變換是信號(hào)f(t)與被縮放和平移的小波函數(shù)Ψ之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和CWT變換的結(jié)果是許多小波系數(shù)C

，這些系數(shù)是縮放因子(scale)和位置(position)的函數(shù)離散小波變換(discretewavelettransform，DWT)用小波的基函數(shù)(basisfunctions)表示一個(gè)函數(shù)的方法小波的基函數(shù)序列或稱(chēng)子小波(babywavelets)函數(shù)是由單個(gè)小波或稱(chēng)為母小波函數(shù)通過(guò)縮放和平移得到的縮放因子和平移參數(shù)都選擇2j(j>0的整數(shù))的倍數(shù)，這種變換稱(chēng)為雙尺度小波變換(dyadicwavelettransform)小波介紹——小波分析(續(xù)4)圖4離散小波變換分析圖DWT得到的小波系數(shù)、縮放因子和時(shí)間關(guān)系，見(jiàn)圖4圖(a)是20世紀(jì)40年代使用Gabor開(kāi)發(fā)的短時(shí)傅立葉變換(shorttimeFouriertransform，STFT)得到的圖(b)是20世紀(jì)80年代使用Morlet開(kāi)發(fā)的小波變換得到的小波介紹——小波分析(續(xù)5)執(zhí)行DWT的有效方法用Mallat在1988年開(kāi)發(fā)的濾波器，稱(chēng)為Mallat算法；DWT的概念見(jiàn)圖5。S表示原始的輸入信號(hào)；通過(guò)兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A和D兩個(gè)信號(hào)。圖5雙通道濾波過(guò)程A表示信號(hào)的近似值(approximations)，大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的低頻分量D表示信號(hào)的細(xì)節(jié)值(detail)，小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量小波介紹——小波分析(續(xù)6)小波分解樹(shù)與小波包分解樹(shù)由低通濾波器和高通濾波器組成的樹(shù)原始信號(hào)通過(guò)一對(duì)濾波器進(jìn)行的分解叫做一級(jí)分解。信號(hào)的分解過(guò)程可以迭代，即可進(jìn)行多級(jí)分解。小波分解樹(shù)(waveletdecompositiontree)用下述方法分解形成的樹(shù)：對(duì)信號(hào)的高頻分量不再繼續(xù)分解，而對(duì)低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，得到許多分辨率較低的低頻分量，見(jiàn)圖6小波包分解樹(shù)(waveletpacketdecompositiontree)用下述方法分解形成的樹(shù)：不僅對(duì)信號(hào)的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量，見(jiàn)圖7小波介紹——小波分析(續(xù)7)圖6小波分解樹(shù)小波介紹——小波分析(續(xù)8)圖7三級(jí)小波包分解樹(shù)小波介紹——小波分析(續(xù)9)圖8降采樣過(guò)程注意：在使用濾波器對(duì)真實(shí)的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行變換時(shí)，得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍例如，如果原始信號(hào)的數(shù)據(jù)樣本為1000個(gè)，通過(guò)濾波之后每一個(gè)通道的數(shù)據(jù)均為1000個(gè)，總共為2000個(gè)。于是,根據(jù)尼奎斯特(Nyquist)采樣定理就提出了采用降采樣(downsampling)的方法，即在每個(gè)通道中每?jī)蓚€(gè)樣本數(shù)據(jù)中取一個(gè)，得到的離散小波變換的系數(shù)(coefficient)分別用cD和cA表示，見(jiàn)圖8小波介紹——小波分析(續(xù)10)小波重構(gòu)重構(gòu)概念把分解的系數(shù)還原成原始信號(hào)的過(guò)程叫做小波重構(gòu)(waveletreconstruction)或合成(synthesis)，數(shù)學(xué)上叫做逆離散小波變換(inversediscretewavelettransform，IDWT)兩個(gè)過(guò)程在使用濾波器做小波變換時(shí)包含濾波和降采樣(downsampling)兩個(gè)過(guò)程，在小波重構(gòu)時(shí)也包含升采樣(upsampling)和濾波兩個(gè)過(guò)程，見(jiàn)圖9升采樣是在兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)之間插入“0”，目的是把信號(hào)的分量加長(zhǎng)，其過(guò)程見(jiàn)圖10小波介紹——小波分析(續(xù)11)圖9小波重構(gòu)方法圖10升采樣的方法小波介紹——小波分析(續(xù)12)重構(gòu)濾波器濾波器關(guān)系到能否重構(gòu)出滿(mǎn)意的原始信號(hào)。在信號(hào)的分解期間，降采樣會(huì)引進(jìn)畸變，這種畸變叫做混疊(aliasing)。這就需要在分解和重構(gòu)階段精心選擇關(guān)系緊密但不一定一致的濾波器才有可能取消這種混疊低通分解濾波器(L)和高通分解濾波器(H)以及重構(gòu)濾波器(L'和H')構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)叫做正交鏡像濾波器(quadraturemirrorfilters，QMF)系統(tǒng)，如圖11所示圖11正交鏡像濾波器系統(tǒng)哈爾函數(shù)哈爾基函數(shù)基函數(shù)是一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的函數(shù)，可以用來(lái)構(gòu)造任意給定的信號(hào)，如用基函數(shù)的加權(quán)和表示哈爾基函數(shù)(Haarbasisfunction)定義在半開(kāi)區(qū)間[0，1)上的一組分段常值函數(shù)(piecewise-constantfunction)集生成矢量空間V0的常值函數(shù)哈爾函數(shù)(續(xù)1)生成矢量空間V1的常值函數(shù)

哈爾函數(shù)(續(xù)2)生成矢量空間V2的常值函數(shù)可按照以上方法繼續(xù)定義哈爾基函數(shù)和由它生成的矢量空間Vj，……哈爾函數(shù)(續(xù)3)為了表示矢量空間中的矢量，每一個(gè)矢量空間都需要定義一個(gè)基(basis)，哈爾基定義為為生成矢量空間而定義的基函數(shù)也叫做尺度函數(shù)(scalingfunction)。哈爾基尺度函數(shù)定義為其中，j為尺度因子，使函數(shù)圖形縮小或放大

i為平移參數(shù)，使函數(shù)沿x軸方向平移哈爾函數(shù)(續(xù)4)哈爾小波(函數(shù))最古老和最簡(jiǎn)單的小波，定義為生成矢量空間W0的哈爾小波哈爾函數(shù)(續(xù)5)生成矢量空間W1的哈爾小波

哈爾函數(shù)(續(xù)6)生成矢量空間W2的哈爾小波哈爾小波變換求有限信號(hào)的均值和差值[例1]假設(shè)有一幅分辨率只有4個(gè)像素P0、P1、P2、P3的一維圖像，對(duì)應(yīng)的像素值或稱(chēng)圖像位置的系數(shù)分別為

[9735]

計(jì)算該圖像的哈爾小波變換系數(shù)步驟1：求均值(averaging)。計(jì)算相鄰像素對(duì)的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素?cái)?shù)目變成了2個(gè)，即新的圖像的分辨率是原來(lái)的1/2，相應(yīng)的像素值為

[84]哈爾小波變換(續(xù)1)步驟2：求差值(differencing)。為能從2個(gè)像素組成的圖像重構(gòu)由4個(gè)像素組成的原始圖像，就需要存儲(chǔ)一些圖像的細(xì)節(jié)系數(shù)(detailcoefficient)方法是把像素對(duì)的第一個(gè)像素值減去這個(gè)像素對(duì)的平均值，或者使用這個(gè)像素對(duì)的差值除以2

原始圖像用兩個(gè)均值和兩個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示為

[841-1]步驟3：重復(fù)步驟1和2，把由第一步分解得到的圖像進(jìn)一步分解成分辨率更低的圖像和細(xì)節(jié)系數(shù)。其結(jié)果，整幅圖像表示為

[621-1]哈爾小波變換(續(xù)2)把由4個(gè)像素組成的一幅圖像用一個(gè)平均像素值和三個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為哈爾小波變換(Haarwavelettransform)，也稱(chēng)哈爾小波分解(Haarwaveletdecomposition)。這個(gè)概念可以推廣到使用其他小波基的變換特點(diǎn)：(1)變換過(guò)程中沒(méi)有丟失信息，因?yàn)槟軌驈乃涗浀臄?shù)據(jù)中重構(gòu)出原始圖像。(2)對(duì)這個(gè)給定的變換，可從所記錄的數(shù)據(jù)中重構(gòu)出各種分辨率的圖像。(3)通過(guò)變換之后產(chǎn)生的細(xì)節(jié)系數(shù)的幅度值比較小，為圖像壓縮提供了一種途徑，如去掉微不足道的系數(shù)分辨率平均值細(xì)節(jié)系數(shù)4[9735]2[84][1-1]1[6][2]表1哈爾變換過(guò)程哈爾小波變換(續(xù)3)哈爾小波變換在例1中的求均值和差值的過(guò)程實(shí)際上就是一維小波變換的過(guò)程，現(xiàn)在用數(shù)學(xué)方法重新描述哈爾小波變換I(x)圖像用V2中的哈爾基表示哈爾小波變換(續(xù)4)I(x)圖像用V1和W1中的函數(shù)表示

生成V1矢量空間的基函數(shù)為和，生成矢量空間W1的小波函數(shù)為和，I(x)可表示為

哈爾小波變換(續(xù)5)I(x)圖像用V0、W0和W1中的函數(shù)表示

生成矢量空間V0的基函數(shù)為，生成矢量空間W0的小波函數(shù)為，生成矢量空間W1的小波函數(shù)為

和，I(x)可表示為二維小波變換的實(shí)現(xiàn)假定二維尺度函數(shù)可分離，則有其中、是兩個(gè)一維尺度函數(shù)。若是相應(yīng)的小波，那么下列三個(gè)二維基本小波：

與一起就建立了二維小波變換的基礎(chǔ)。圖像小波變換的正變換正變換圖像小波分解的正變換可以依據(jù)二維小波變換按如下方式擴(kuò)展，在變換的每一層次，圖像都被分解為4個(gè)四分之一大小的圖像。圖像小波變換的逆變換逆變換在每一層(如最后一層)都通過(guò)在每一列的左邊插入一列零來(lái)增頻采樣前一層的4個(gè)陣列(即4個(gè)分解圖像)；接著用重構(gòu)低通濾波器h和重構(gòu)高通濾波器g來(lái)卷積各行，再成對(duì)地把這幾個(gè)的陣列加起來(lái)；然后通過(guò)在每行上面再插入一行零來(lái)將剛才所得兩個(gè)陣列(圖像)的大小增頻采樣為N×N；再用h和g與這兩個(gè)陣列的每列進(jìn)行卷積。這兩個(gè)陣列的和就是這一層次重建的結(jié)果。

對(duì)于二維圖像信號(hào)，在每一層分解中，由原始圖像信號(hào)與一個(gè)小波基函數(shù)的內(nèi)積后再經(jīng)過(guò)在x和y方向的二倍間隔抽樣而生成四個(gè)分解圖像信號(hào)。對(duì)于第一個(gè)層次(j=1)可寫(xiě)成：二維小波變換的Mallat算法

將上式內(nèi)積改寫(xiě)成卷積形式，則得到離散小波變換的Mallat算法的通用公式：二維小波變換Mallat算法的通用公式：二維Mallat多分辨率分解與重構(gòu)二維哈爾小波變換用小波對(duì)圖像進(jìn)行變換的兩種方法標(biāo)準(zhǔn)分解(standarddecomposition)首先使用一維小波對(duì)圖像每一行的像素值進(jìn)行變換，產(chǎn)生每一行像素的平均值和細(xì)節(jié)系數(shù)，然后使用一維小波對(duì)這個(gè)經(jīng)過(guò)行變換的圖像的列進(jìn)行變換，產(chǎn)生這個(gè)圖像的平均值和細(xì)節(jié)系數(shù)分解的過(guò)程如下：二維哈爾小波變換(續(xù)1)圖7-28圖像的標(biāo)準(zhǔn)分解方法二維哈爾小波變換(續(xù)2)非標(biāo)準(zhǔn)分解(nonstandarddecomposition)用一維小波交替地對(duì)每一行和每一列像素值進(jìn)行變換。對(duì)每一行計(jì)算像素對(duì)的均值和差值，然后對(duì)每一列計(jì)算像素對(duì)的均值和差值對(duì)包含均值的1/4像素計(jì)算行和列的均值和差值，依此類(lèi)推過(guò)程如下：二維哈爾小波變換(續(xù)3)圖7-29圖像的非標(biāo)準(zhǔn)分解方法二維哈爾小波變換(續(xù)4)(a)原始圖像(b)1/4分辨率圖