第八章非線性控制系統(tǒng)分析simple

1第八章非線性控制系統(tǒng)分析2第八章、非線性控制系統(tǒng)分析

本章主要內(nèi)容：一、非線性控制系統(tǒng)概述二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響三、描述函數(shù)法3本章要求:1、了解非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)2、掌握研究非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法第八章、非線性控制系統(tǒng)分析

4本節(jié)主要內(nèi)容：1、研究非線性控制理論的意義2、非線性系統(tǒng)的特征3、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法一、非線性控制系統(tǒng)概述

51、研究非線性控制理論的意義由于組成控制系統(tǒng)的各元件的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)特性都存在著不同程度的非線性，所以實(shí)際上，理想的線性系統(tǒng)并不存在。以隨動(dòng)系統(tǒng)為例，放大元件由于受電源電壓或輸出功率的限制，在輸入電壓超過放大器的線性工作范圍時(shí)，輸出呈飽和現(xiàn)象，如下圖(a)所示；執(zhí)行元件電動(dòng)機(jī)，由于軸上存在著摩擦力矩和負(fù)載力矩，只有在電樞電壓達(dá)到一定數(shù)值后，電機(jī)才會轉(zhuǎn)動(dòng)，存在著死區(qū)，而當(dāng)電樞電壓超過一定數(shù)值時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速將不再增加，出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，其特征如下圖所示

(b)；又如傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，受加工和裝配精度的限制，換向時(shí)存在著間隙特性，如下圖所示(c)。一、非線性控制系統(tǒng)概述(1)

6一、非線性控制系統(tǒng)概述(2)

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在下圖所示的柱形液位系統(tǒng)中，設(shè)為液位高度，為液體流入量，為液體流出量，為貯槽的截面積。根據(jù)水力學(xué)原理知其中比例系數(shù)取決于液體的粘度的閥阻。液體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為顯然，液位和液體輸入量的數(shù)字關(guān)系式為非線性微分方程。由此可見，實(shí)際系統(tǒng)中普遍存在非線性因素。一、非線性控制系統(tǒng)概述(3)

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當(dāng)系統(tǒng)中含有一個(gè)或多個(gè)具有非線性特性的元件時(shí)，該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。一般地，非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為其中和為非線性函數(shù)。當(dāng)非線性程度不嚴(yán)重時(shí)，可以忽略非線性特性的影響，從而可將非線性環(huán)節(jié)視為線性環(huán)節(jié)；當(dāng)系統(tǒng)方程解析且工作在某一數(shù)值附近的較小范圍時(shí)，可運(yùn)用小偏差法將非線性模型線性化。一、非線性控制系統(tǒng)概述(4)

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注意，對于非線性程度比較嚴(yán)重，且系統(tǒng)工作范圍較大的非線性系統(tǒng)，只有使用非線性的分析和設(shè)計(jì)方法，才能得到較為正確的結(jié)果。要對系統(tǒng)進(jìn)行高性能和高精度的控制，必須針對非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，采用非線性控制理論進(jìn)行研究。此外，為了改善系統(tǒng)的性能，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的控制，還必須考慮非線性控制器的設(shè)計(jì)。例如，為了獲得最短時(shí)間控制，需對執(zhí)行機(jī)構(gòu)采用繼電控制，使其始終工作在最大電壓或最大功率下，充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)能力；這了兼顧系統(tǒng)的響應(yīng)速率和穩(wěn)態(tài)精度，需使用變增益控制器。一、非線性控制系統(tǒng)概述(5)

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注意：非線性特性千差萬別，對于非線性系統(tǒng)，目前還沒有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例，線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法在非線性控制系統(tǒng)的研究中仍將發(fā)揮非常重要的作用。一、非線性控制系統(tǒng)概述(6)

112、非線性系統(tǒng)的特征

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別：線性系統(tǒng)可以應(yīng)用線性疊加原理；描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，故非線性系統(tǒng)不能應(yīng)用疊加原理。非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)主要特點(diǎn)：（1）穩(wěn)定性分析復(fù)雜

A

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

按照平衡狀態(tài)的定義，對于線性系統(tǒng)，只有一個(gè)平衡狀態(tài)，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性即為該平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用和初始條件無關(guān)。

一、非線性控制系統(tǒng)概述(7)

12B非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)。先考慮下述非線性一階系統(tǒng)：令，可知該系統(tǒng)存在兩個(gè)平衡狀態(tài)和，為了分析各個(gè)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，需要求解上式。設(shè)時(shí)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為，由上式得當(dāng)時(shí)，隨增大，遞增；時(shí)，為無窮大。當(dāng)時(shí)，遞減并趨于0。不同初始條件下的時(shí)間響應(yīng)曲線如下張圖8－3所示。一、非線性控制系統(tǒng)概述(8)

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考慮上述平衡狀態(tài)受小擾動(dòng)的影響，故平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，因?yàn)殇N有偏離，系統(tǒng)不能恢復(fù)至原平衡狀態(tài)；而平衡狀態(tài)在一定范圍的擾動(dòng)下（）是穩(wěn)定的。由此可見，非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)，各平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的。初始條件不同，自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性亦不同。更重要的是，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。一、非線性控制系統(tǒng)概述(9)

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（2）可能存在自激振蕩現(xiàn)象線性定常系統(tǒng)只有在臨界穩(wěn)定的情況下才能產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)?？紤]下圖所示系統(tǒng)，設(shè)初始件，，系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)方程為系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)

根據(jù)線性疊加原理，在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中，一旦有外擾動(dòng)則使系統(tǒng)輸出發(fā)生偏離，因而上述周期運(yùn)動(dòng)將不能維持。所以線性系統(tǒng)在無外界周期變化信號作用時(shí)所具有的周期運(yùn)動(dòng)不是自激振蕩。一、非線性控制系統(tǒng)概述(10)

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考慮著名的范德波爾方程該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。當(dāng)擾動(dòng)使時(shí)，因?yàn)橄到y(tǒng)具有負(fù)阻尼，此時(shí)系統(tǒng)從外部獲得能量，的運(yùn)動(dòng)呈發(fā)散形式；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，系統(tǒng)具有正阻尼，此時(shí)系統(tǒng)消耗能量，的運(yùn)動(dòng)呈收斂形式；而當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈等幅振蕩形式。上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動(dòng)對的影響，保持幅值為1的等幅振蕩，見右圖。一、非線性控制系統(tǒng)概述(11)

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必須指出，長時(shí)間大幅度的振蕩會造成機(jī)械磨損，增加控制誤差，因此多數(shù)情況下不希望系統(tǒng)有自振發(fā)生。但在控制中通過引入高頻小幅度的顫振，可克服間隙、死區(qū)等非線性因素的不良有影響。而在振動(dòng)試驗(yàn)中，還必須使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。因此研究自振的產(chǎn)生條件及抑制，確定自振的頻率和周期，是非線性系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。（3）頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量（基頻分量）外，還含有關(guān)于的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變。一、非線性控制系統(tǒng)概述(12)

173、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法

一般情況求在線性微分方程的解析解，只能采用工程上適用的近似方法。本章重點(diǎn)介紹以下三種方法：（1）相平面法相平面法是推廣應(yīng)用時(shí)域分析法的一種圖解分析方法。該方法通過在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運(yùn)動(dòng)形式。相平面法僅適用于一階和二階系統(tǒng)。（2）描述函數(shù)法描述函數(shù)法是基于頻域分析法和非線性特性諧波線性化的一種圖解分析方法。

一、非線性控制系統(tǒng)概述(13)

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描述函數(shù)法對于滿足結(jié)構(gòu)要求的一類非線性系統(tǒng)，通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。（3）逆系統(tǒng)法逆系統(tǒng)法是運(yùn)用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。該方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具直接研究非線性控制問題，不必求解非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，是非線性系統(tǒng)控制研究的發(fā)展方向。一、非線性控制系統(tǒng)概述(14)

191、非線性特性的等效增益

定義非線性環(huán)節(jié)輸出y和輸入x的比值為等效增益應(yīng)當(dāng)指出，比例環(huán)節(jié)的增益為常值，輸出和輸入呈線性關(guān)系，而上式所示非線性環(huán)節(jié)的等效增益為變增益，因而可將非線性特性視為變增益比例環(huán)節(jié)。當(dāng)然，比例環(huán)節(jié)是變增益比例環(huán)節(jié)的特例。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(1)

201、繼電特性

繼電器、接觸器和可控硅等電氣元件的特性通常都表現(xiàn)為繼電特性，繼電特性的等效增益曲線如下圖所示。當(dāng)輸入x趨于零時(shí)，等效增益趨于無窮大；由于輸出y的幅值保持不變，故當(dāng)增大時(shí)，等效增益減小，趨于無窮大時(shí)，等效增益趨于零。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(2)

212、死區(qū)特性

一般是由測量元件、放大元件及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不靈敏區(qū)的造成的。死區(qū)特性的等效增益曲線如下圖所示。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，為增函數(shù)，且隨于無窮時(shí)，趨于。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(3)

223、飽和特性放大器及執(zhí)行機(jī)構(gòu)受電源電壓或功率的限制導(dǎo)致飽和現(xiàn)象，等效增益曲線如下圖所示。當(dāng)輸入時(shí)，輸出y隨輸入x線性變化，等效增益；當(dāng)時(shí)，輸出量保持常值，為的減函數(shù)，且隨趨于無窮而趨于零。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(4)

234、間隙特性

齒輪、蝸輪軸的加工及裝配誤差或磁滯效應(yīng)是形成間隙特性的主要原因。如下圖所示。間隙特性為非單值函數(shù)。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(5)

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5、摩擦特性摩擦特性是機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中普遍存在的非線性特性。摩擦力阻撓系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，即表現(xiàn)為與物體運(yùn)動(dòng)方向相反的制動(dòng)力。摩擦力一般表示為三種形式的組合，如圖右所示。F1是物體開始運(yùn)動(dòng)所需克服的靜摩擦力；F2為動(dòng)摩擦力;第三種摩擦力為粘性摩擦力，與物體運(yùn)動(dòng)的滑動(dòng)平面相對速率成正比。

二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(6)

252、常見非線性因素對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響

為便于定性分析，采用圖下所示的結(jié)構(gòu)形式，圖中K為非線性特性的等效增益，G(s)為線性部分的傳遞函數(shù)，為線性部分的開環(huán)根軌跡增益。當(dāng)忽略或不考慮非線性因素，即K為常數(shù)時(shí)，非線性系統(tǒng)變?yōu)榫€性系統(tǒng)，因此非線性系統(tǒng)的分析可在線性系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上加以推廣。非線性因素對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響通過增益的變化改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)的位置，因而仍可采用根軌跡分析法。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(7)

26（1）繼電特性由繼電特性的等效增益曲線可知，，且為的減函數(shù)。對于上圖所示系統(tǒng)，以下討論兩種情況。取，由于閉環(huán)系統(tǒng)對于任意的值均穩(wěn)定，將趨于零，由下張圖a所示根軌跡可知，由于的減小，隨之增大，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)將沿著根軌跡的方向最終趨于，因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)中的繼電特性總是具有一定的開關(guān)速度，因此呈現(xiàn)為零附近的高頻小幅度振蕩。當(dāng)輸入時(shí)，非線性系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)過程亦呈現(xiàn)為疊加高頻小幅度振蕩的運(yùn)動(dòng)形式。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(8)

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對于，由圖b所示，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，交點(diǎn)處根軌跡增益為30，由此可確定此時(shí)繼電特性的輸入幅值。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(9)

轉(zhuǎn)死區(qū)特性28當(dāng)時(shí)，繼電特性的等效增益，由根軌跡曲線可知，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)均位于s平面的左半平面，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，故的幅值將減小，等效增益隨之增大，系統(tǒng)兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)將沿根軌跡的方向趨于；當(dāng)時(shí)，繼電特性的等效增益，系統(tǒng)有兩個(gè)閉環(huán)極位于s平面的右半平面，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，故的幅值將增大，等效增益隨之減小，系統(tǒng)兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)也將沿根軌跡的反方向趨于，因系統(tǒng)具有慣性，故最終將保持的等幅振蕩形式。上述分析表明，繼電特性常常使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象，但如果選擇合適的繼電特性可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，也可構(gòu)成正弦信號發(fā)生器。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(10)

29（2）死區(qū)特性死區(qū)特性最直接的影響是使系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)系統(tǒng)輸入為速度信號時(shí)，受死區(qū)的影響，系統(tǒng)無調(diào)節(jié)作用，導(dǎo)致系統(tǒng)輸出在時(shí)間上的滯后，降低了系統(tǒng)的跟蹤精度。而在另一方面，當(dāng)系統(tǒng)輸入端存在小擾動(dòng)信號時(shí)，在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)值附近，死區(qū)的作用可減小擾動(dòng)信號的影響?？紤]死區(qū)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。無死區(qū)特性時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)位于根軌跡曲線上處，阻尼比較小，系統(tǒng)超調(diào)量較大。當(dāng)死區(qū)存在時(shí)，非線性特性的等效增益在之間變化。當(dāng)較大時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為阻尼比較小的共軛復(fù)極點(diǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，當(dāng)較小時(shí)，等效增益下降，閉環(huán)極點(diǎn)為具有較大阻尼比的共軛復(fù)極點(diǎn)或?qū)崢O點(diǎn)，系統(tǒng)振蕩性減弱，因而可降低系統(tǒng)的超調(diào)量。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(11)

根軌跡圖30（3）飽和特性飽和特性的等效增益曲線表明，飽和現(xiàn)象將使系統(tǒng)的開環(huán)增益在飽和區(qū)時(shí)下降。控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，為使功放元件得到充分利用，應(yīng)注使功放級首先進(jìn)入飽和；為獲得較好的動(dòng)態(tài)性能，應(yīng)通過合適選擇線性區(qū)增益和飽和電壓，使系統(tǒng)既能獲得較小的超調(diào)量，又能保證較大的開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差。飽和區(qū)對系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分析過程與繼電特性類同。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(12)

31（4）間隙特性

間隙的存在，相當(dāng)于死區(qū)的影響，降低系統(tǒng)的跟蹤精度。由于間隙為非單值函數(shù)，對于相同的輸入值，輸出的取值還取決于的符號，因而受其影響負(fù)載系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變化劇烈。間隙特性將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的性能，必須加以克服。通常，可通過提高齒輪的加工和裝配精度減小間隙，使用雙片齒輪消除齒隙和設(shè)計(jì)各種校正裝置補(bǔ)償間隙的影響。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(13)

32（5）摩擦特性摩擦對系統(tǒng)性能的影響最主要的是造成系統(tǒng)低速運(yùn)動(dòng)的不平滑性，即當(dāng)系統(tǒng)的輸入軸作低速平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，輸出軸的旋轉(zhuǎn)呈現(xiàn)跳躍式的變化。這種低速爬行現(xiàn)象是由靜摩擦到動(dòng)摩擦的跳變產(chǎn)生的。傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。以上主要是通過等效增益概念在一般意義上針對特定的系統(tǒng)定性分析了常見非線性因素對系統(tǒng)性能的影響，在其它情況下不一定適用，具體問題必須具體分析。二、常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響(14)

33三、描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是達(dá)尼爾（P.J.Daniel）于1940年首先提出的，其基本思想是：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。這時(shí)非線性系統(tǒng)就近似等效為一個(gè)線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。描述函數(shù)法只能用來研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，不能給出時(shí)間響應(yīng)的確切信息。341、描述函數(shù)的基本概念

（1）描述函數(shù)的定義設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入輸出描述為當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為正弦信號時(shí)，可對非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出進(jìn)行諧波分析。一般情況下，為非正弦的周期信號，因而可以展開成傅里葉級數(shù)：三、描述函數(shù)法（1）35其中，為直流分量；為第次諧波分量，且有式中，為傅里葉系數(shù)，以下式描述：三、描述函數(shù)法（2）36而直流分量若且當(dāng)時(shí)，均很小，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)僅有一次諧波分量上式表明，非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式。定義：正弦輸入信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用表示：

三、描述函數(shù)法（3）37例：設(shè)繼特性為

試計(jì)算該非線特性的描述函數(shù)。解：三、描述函數(shù)法（4）38

一般情況下，描述函數(shù)是輸入信號幅值和頻率的函數(shù)。當(dāng)非線性環(huán)節(jié)中不包含儲能元件時(shí)，其輸出的一次諧波分量的幅值和相位差與無關(guān)，故描述函數(shù)只與輸入信號幅值有關(guān)。至于直流分量，若非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)為關(guān)于的奇對稱函數(shù)，即三、描述函數(shù)法（5）39取變換，有而當(dāng)非線性特性為輸入的奇函數(shù)時(shí)，即，有三、描述函數(shù)法（6）40

關(guān)于描述函數(shù)計(jì)算，還具有以下特點(diǎn)。若為奇函數(shù)，即，則若為奇函數(shù)，且又為半周期內(nèi)對稱時(shí)，即時(shí)三、描述函數(shù)法（7）41例：設(shè)某非線性元件的特性為試計(jì)算其描述函數(shù)。解：因?yàn)榈钠鏀?shù)，故。當(dāng)輸入時(shí)

為的奇函數(shù)，故。又因?yàn)榫哂邪胫芷趯ΨQ，有三、描述函數(shù)法（8）42由定積分公式得則該非線性元件的描述函數(shù)為三、描述函數(shù)法（9）43（2）非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件

1）非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式，如圖所示。

三、描述函數(shù)法（10）442）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性應(yīng)是的奇函數(shù)，即，或正弦輸入下的輸出為的奇對稱函數(shù)，即，以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量，即。3）系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。線性部分的階次越高，低通濾波性能越好；而欲具有低通濾波性能，線性部分的極點(diǎn)應(yīng)位于復(fù)平面的左半平面。三、描述函數(shù)法（11）45（3）描述函數(shù)的物理意義線性系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出中與輸入同頻率的分量的幅值和相位相對于輸入信號的變化；而非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)則反映非線性系統(tǒng)正弦響應(yīng)中一次諧波分量的幅值和相位相對于輸入信號的變化。因此忽略高次諧波分量，僅考慮基波分量，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表現(xiàn)為復(fù)數(shù)增益的放大器。注意：描述函數(shù)表現(xiàn)為關(guān)于輸入正弦信號的幅值的復(fù)變增益放大器，這正是非線性環(huán)節(jié)的的近似頻率特性與線性系統(tǒng)頻率特性的本質(zhì)區(qū)別。

三、描述函數(shù)法（12）462、典型非線性特性的描述函數(shù)

典型非線性特性具有分段線性特點(diǎn)，描述函數(shù)的計(jì)算重點(diǎn)在于確定正弦響應(yīng)曲線和積分區(qū)間，一般采用圖解方法。下面針對兩種典型非線性特性，介紹計(jì)算過程和步驟。（1）死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)將正弦輸入信號、非線性特性和輸出信號的坐標(biāo)按下張圖所示方式和位置旋轉(zhuǎn)，死區(qū)飽和特性及其正弦響應(yīng)也在下張圖所示。輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

三、描述函數(shù)法（13）47

圖中，由非線性特性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)和，可確定產(chǎn)生不同線性變化的區(qū)間端點(diǎn)為三、描述函數(shù)法（14）48由于為奇函數(shù)，所以，而又為半周期內(nèi)對稱，故三、描述函數(shù)法（15）49死區(qū)飽和特性的描述函數(shù)為取，由上式得飽和特性的描述函數(shù)為三、描述函數(shù)法（16）50對于死區(qū)特性，。由前面得，則得死區(qū)特性的描述函數(shù)為（2）死區(qū)與滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)從滯環(huán)與輸入信號及其變化率的關(guān)系，通過作圖法獲得如下張圖所示。三、描述函數(shù)法（17）51

輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式為三、描述函數(shù)法（18）52圖中，由于非線性特性導(dǎo)致產(chǎn)生不同線性變化的區(qū)間端點(diǎn)為由圖可見，為奇對稱函數(shù)，而非奇函數(shù)，所以三、描述函數(shù)法（19）53死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為取，得理想繼電特性的描述函數(shù)為取，得死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為三、描述函數(shù)法（20）54取，得滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為書中表8－1列出了一些典型非線性特性的描述函數(shù)，以供查用。三、描述函數(shù)法（21）553、非線性系統(tǒng)的簡化

等效變換的原則是在條件下，根據(jù)非線性特性的串、并聯(lián)，簡化非線性部分為一個(gè)等效非線性環(huán)節(jié)，然后簡化線性部分。（1）非線性特性的并聯(lián)由描述函數(shù)定義，并聯(lián)等效非線性特性的描述函數(shù)為各非線性特性描述函數(shù)的代數(shù)和。見下圖。三、描述函數(shù)法（22）56（2）非線性特性的串聯(lián)若兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，可采用圖解法簡化。以死區(qū)特性和死區(qū)飽和特性串聯(lián)簡化為例。通常，先將兩個(gè)非線性特性按下張圖（a）、（b）形式放置，就可以確定等效非線性的參數(shù)。三、描述函數(shù)法（23）57由，得由得當(dāng)時(shí)，由特性知，；當(dāng)時(shí)，由亦可知，；當(dāng)時(shí)，位于線性區(qū)，亦呈線性,設(shè)斜率為，即有特殊地，當(dāng)時(shí)，，由于，因此。三、描述函數(shù)法（24）58

應(yīng)該指出，兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，等效特性還取決于其前后次序。調(diào)換次序則等效非線性特性亦不同。描述函數(shù)需按等效非線性環(huán)節(jié)的特性計(jì)算。多個(gè)非線性特性串聯(lián)，可按上述兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)簡化方法，依由前向后順序逐一加以簡化。（3）線性部分的等效變換

三、描述函數(shù)法（25）59三、描述函數(shù)法（26）604、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法（1）變增益線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析先研究圖示線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中為比例環(huán)節(jié)增益。設(shè)的極點(diǎn)均位于s的左半平面，即。三、描述函數(shù)法（27）61閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為或?yàn)橛赡问吓袚?jù)知，當(dāng)曲線包圍點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)曲線穿過點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，將產(chǎn)生等幅振蕩。更進(jìn)一步，若設(shè)在一定范圍內(nèi)可變，即有，則為復(fù)平面實(shí)軸上的一段直線，若曲線不包圍該直線，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，而當(dāng)包圍該直線時(shí)，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。三、描述函數(shù)法（28）62（2）應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性當(dāng)非線性特性采用描述函數(shù)近似等效時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為即稱為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)。若曲線和曲線無交點(diǎn)，表明上式無的正實(shí)數(shù)解。下張圖給出了這一條件下的兩種可能的形式。三、描述函數(shù)法（29）63

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：若曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若曲線包圍曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。三、描述函數(shù)法（30）64例：已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解對于線性環(huán)節(jié)，解得穿越頻率三、描述函數(shù)法（31）65非線性環(huán)節(jié)為庫侖摩擦加黏性摩擦，得作 曲線和曲線如上圖所示，圖中曲線包圍曲線。根據(jù)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)，該非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。三、描述函數(shù)法（3