二重積分概念與性質

§12.2一一.討論連續(xù)函 f(x,y)0

fxydxdy的計算問D其中D

g1(x)yg2(ax

圍成，

(

連先計算截面面abx0[a, 作平 xab以g1x0g2x0)]為底zfx0y為曲邊的曲邊梯形．A(x)

g2(x0

f(x,y) g(x 一般地，x[a, 則所得截面面積A(x)

g2(xg1(x

f(x,y)曲頂柱體體 V

A(x)

bg2(x

f(x,y)dy

a

g1(x 即

f(x,y)dx

bg2(x

f(x,y)dy

aD

g1(x (1式稱為先對y后對x的累次積分或二次積分axb(1)式也可axbf(x,y)dxD

g2(xbg1(xb

f(x,y)o bx若zf(x,y)在區(qū) Do bx其中D：ax

g1(x)yg2(且g1( g2(x)連 則f(x,y)dxdy

dxg2(x

f(x,y)

b g1(xbDcox若zf(x,y)在區(qū) Dcox其中D：cy

1(y)x

2(且1(y),2(y)連 則df(x,y)dxdycdD

2(1(

f(x,y)

axy2(y2(Dy1(abay2(Dy1(b

1(x)y2(其中函數(shù)1x2x[ab]上連續(xù)

cyd,1(y)x2(dx1(yc

x2(

x1(y xc

(幾種積分o bxoxo bxoxbxdyxdcoxyX型區(qū)y

YydDc

二重積分在直角坐標 2(x1f(x,y)d1D

fx,y)dy.［X－型 2(y1f(x,y)d1D

dy(y

fx,y)x.Y－型注:(1)如果D既是X型域又是Y型域,bab

2(x (x

f(x,y)dy

dy2(y)f(x,yd 1(yd(2).如果D既不是X型域又不是Y型域,則用平行于坐標軸的直線將D分成若干子域,利用積分的可加性進行計算.D

例1計算二重積 dx ,其中D[3x4,1yD(xy21O x f(x,y) y21O x(xy)2則dx (x

dx

2 dy(xy)24 4D1x1x 4

ln3x x 例2計算曲頂柱體的體積 其底是正方形區(qū)R[0xa,0y其頂是定義 R上的曲 zepxqy (p,q是常數(shù)yaOaxaa解曲頂柱體yaOaxaaVepxR

dxdy0

dx0

epxqya e a

eqyep

q

1(epa1)(eqaaa03計算四個平面四面體的體

xyz1,x y0,z0所圍成z1 四面體在xOy面上的投影是：直 xy0，xy1所圍的三角形區(qū) 定義在D上的平面為：z1x 于是，四面體體積

x 1V(1xy)dxdyD

dx

(1xy)2y2 [(1x)y

1-0

dx

1(1x)2dx11 11 V

(1xy)dxdy01D1

dy0 (1xy)dx4計算二重積

y2dxdy,其中區(qū)域D是由直線xDyx，及雙曲 xy1所圍成

x

dx

dx 2 22

x

1

2(x32

xx)dx45計算xydxdyD是由拋物線y2xDy2oxyxy2oxy22解 yx2

得交點為(11),(4xydxdyD

1

ydyy2

xy yx2

y2 121

[y(y2)2

y5]dy84xxydx4x

dx

xydy

dx

xy1x 1xD

x例 計算積分I

sin2

DDxyoxy 和直 yx，y2xyoxx yx y由y由y由y由xyx

得交點(1得交點(2得交點(4Isin

2dx2

22ydy2y

sin

dx

2

cos 2 2D

2 2 22 2ycosydy4(22 例 求x2ey2dxdy，其中D是以Dy1o1xy1o1x yy1x2ey2dxdy1D

x2ey2 y2

y2 y2

dy3

6

(1 例例 計算積 I dy2yy1yy

exdx

exdx1 1yyyx2 exdxyyx2先改變積分次序x1yx1I

dxx2121

x ee

x(eex)dx e 有時需要交換積分次序后，再進行積分例 設f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，則二次積11

f(x,y)dy y2 y2(

0

f(x,y)dx

1dy

f(x,y)dx

0dy

f(x,y)dxy2 y2

0

f(x,y)dx

f(x,y)dxy2y2(D)

0dy

f(x,y)dx1010

dx

f(x,y1y21y1y210xyxy20dy

f(x,y)dx

f(x,y)dx 例 計算I

f(x10x1

dx，其

f(x) 1

y I

1x x

xey2x 1x0

ey21x1y1yxox1y1yxox1

x x 1 2yey20

e

e10

積分存在,區(qū)域關于y(或 軸對稱,且f(x,關于變量x(或y) 奇函數(shù),f(x,y)dD若二元函數(shù)f( 的二積分存在,區(qū)域關于y(或 軸對稱,且f(x, 偶函數(shù),f(x,y)d2f(x,y)d2f(x, 例 計算二重積 I

(|x||y|)x2y2

由于D關于原點對稱|x||y|關 x與y均是偶函數(shù)

則 I

(|x||y|)dxdy4(xy)dx1x2y2 11x1x4

(x

40(

111x2

) 3例 D{(x,y)|xy1,x1,y1},1 2ye1 D

1 xx1, y

2yex3xe1yexxe2xey3ye1xeyye

y1,21[2xx1,

2yex3xeydxdy 1 1 xey1,

2xey3ye1xeyye

dydx2142D

212例 求兩個底圓半徑相等 x2y2

直交圓柱面所圍成的 體體為 x2z2R2x2R2x2DR2R2

dxRR

(R2x2)

2R33

V

163第一節(jié)二重積一、問題的提

柱體體積=底面積高zfzf(x,D曲頂柱體zf(x,yDOx設有一立體，它的底是xOyzf(x,yDOx它的側面是以邊 D為準 z軸的柱面， 曲面zf(x,y)這種立體叫 曲頂柱體討論如何定義及計算 頂柱體的體積

zf(x,

y作和、取極限”的方法，如下動畫演示作和、取極限”的方法，如下動畫演示作和、取極限”的方法，如下作和、取極限”的方法，如下作和、取極限”的方法，如下作和、取極限”的方法，如下動畫演示zyOzyOx D分n個小閉區(qū)域 1,2 ,n以i為底作nn體積為 (i1,2 n V

Vi第二步：近似代

i(i,i) (i1,2 Vif(in,i)

(i1,2 第三步：求

V f(i,i)i

in第四步：取極 記n個小區(qū)域的直徑的最 者為n令0

limf(i,i) 0i非均勻密度的平面薄片的質yD0x xOy平面上占有區(qū)域 該薄片在點(x,y)處的面密度為(x,y)，其中(x,y)0yD0x 第一步：分把D分成n小區(qū)域：1,2 ,第二步近似代 (i,i) (i1,2 則mi,i) (i1,2 第三步：求

Mmi(i,i)i i第四步：取極限記n個小區(qū)域的直徑的最 者為n令0

lim(i,i)i0i二、二重積分定義1設f(xy)是有界閉域D上的有界函數(shù)，將1,2 ,n個任意取(i, i) nlimf(i,i)0in存在，則稱其為f(xy)在D上的二重積分nf(x,y)dlimf(i,i) 0in其中f(x, y)稱為被積函數(shù), σ為面積元素,x與y稱為變量,f(x,yσ稱為被積表nfξi,ηiσi稱為積分和inf(x,y)dlimfnD積被積面分積分積區(qū)函變元域數(shù)量

0 Vf(x,y)dD平面薄片的質量Mx,y)dDf(xy)在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式的

d f(x,y)df(x, f(s,t 三、二重積分的

kf(x,y)dkf(x,y)d [f(x,y)g(x,Df(x,y)dg(x,y)d (DD1D2,D1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d 為D的面積，1dd

若在D上fx,ygx,fx,y)dgx,y)d f(x,y)df(x,y)d （比較定理 設M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上mf(x,y)dD設函數(shù)fx,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),為的面積，則在D上至少存在一點(,)f(x,y)df(,) 例1設給定xOy平面上的有界閉區(qū)域Dxy|x2y21x21x2求出二重積分：D1x21x2y2

在D上可 并利用幾何意1x1x2在區(qū) D上連續(xù)所以函 z在D上可積1x2根據(jù)二重積1x2D

表示半徑

球心位于坐標原點的

的上半部即xOy面上面的部所 D

d14 21x21x2例 設區(qū)域D:x2y2求Dfx,y)d

f(x,y)5Df(x,y)d 設ADf(x,y)d f(x,y)5AD(5 (5A)D(5A)解 A

f(x,y)d

1 x2y2x2y22xyD

其中D：0x