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文檔簡介

二、無界函數的積分第八節(jié)正常積分積分限有限被積函數有界推廣一、無窮區(qū)間上的積分機動目錄上頁下頁返回結束反常積分(廣義積分)反常積分與伽瑪函數

第六章一、無窮區(qū)間上的積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結束定義1.

設若存在,則稱此極限為

f(x)在[a,+∞)上的廣義積分,記作這時稱廣義積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散

.類似地,若則定義機動目錄上頁下頁返回結束則定義(c

為任意取定的常數)只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.無窮區(qū)間上的廣義積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:

上述定義中若出現機動目錄上頁下頁返回結束它表明該反常積分發(fā)散.引入記號則有類似N

–L公式的計算表達式:機動目錄上頁下頁返回結束例.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對廣義積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質,否則會出現錯誤.例.

證明第一類p

積分證:當p=1時有當p≠1時有當p>1時收斂;p≤1

時發(fā)散.因此,當p>1

時,廣義積分收斂,其值為當p≤1

時,廣義積分發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結束例.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結束二、無界函數的廣義積分引例:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結束定義2.

設而在點a

的右鄰域內無界,存在,這時稱廣義積分收斂;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內無界,若極限數f(x)在(a,b]上的廣義積分(或瑕積分),記作則定義機動目錄上頁下頁返回結束則稱此極限為函若被積函數在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類說明:而在點

c

的無界函數的積分又稱作第二類廣義積分,無界點常稱鄰域內無界,為瑕點.例如,機動目錄上頁下頁返回結束間斷點,而不是反常(廣義)積分.則本質上是正常積分,則定義下述解法是否正確:,∴積分收斂例.

計算廣義積分解:

顯然瑕點為

a,所以原式機動目錄上頁下頁返回結束例.

討論廣義積分的收斂性.解:所以廣義積分發(fā)散.三、函數1.定義機動目錄上頁下頁返回結束下面證明這個特殊函數在內收斂.令機動目錄上頁下頁返回結束綜上所述,2.性質遞推公式機動目錄上頁下頁返回結束證:(分部積分)注意到:內容小結1.廣義積分積分區(qū)間無限被積函數無界正常積分的極限2.兩個重要的反常積分機動目錄上頁下頁返回結束說明:(1)

有時通過換元,廣義積分和正常積分可以互相轉化.例如,(2)

當一題同時含兩類反常積分時,機動目錄上頁下頁返回結束應劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的廣義積分.第五節(jié)目錄上頁下頁

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