教育部課題2023高一入學(xué)必修4教學(xué)隨筆

2023高一入學(xué)必修4教學(xué)隨筆《1.1.1任意角》=1\*CHINESENUM3一、角是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，角是可以度量其大小的.在平面幾何中，角的取值范圍如何？=2\*CHINESENUM3二、對(duì)于角的圖形特點(diǎn)有如下兩種認(rèn)識(shí)：①角是由平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形（如圖1）；②角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形（如圖2）.你認(rèn)為哪種認(rèn)識(shí)更科學(xué)、合理？（圖略）答：一個(gè)是靜的，一個(gè)是動(dòng)的。用動(dòng)的更合理，因?yàn)殪o止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)時(shí)絕對(duì)的。=3\*CHINESENUM3三、=1\*Arabic1、問(wèn)有沒(méi)有361°角？與1°有什么異同？能舉出現(xiàn)實(shí)生活中的例子來(lái)理解嗎？即它是有現(xiàn)實(shí)根據(jù)的，是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)的。=2\*Arabic2、能不能說(shuō)361°就是1°即361°=1°？為什么要區(qū)分361°、1°？答：361°、1°隱含的意義是不同的，雖然這種意義對(duì)事物的效果來(lái)說(shuō)結(jié)果都是一樣也就是賭回到原來(lái)位置，我們區(qū)分361°、1°并不是區(qū)分這種意義的效果而是區(qū)分這種意義。比如361°是轉(zhuǎn)了一圈又回到1°的位置，我們要把這種區(qū)別區(qū)分開(kāi)來(lái)，如果不區(qū)分那很不容易表達(dá)一些現(xiàn)象。這種區(qū)分有現(xiàn)實(shí)意義。比如：過(guò)去我們學(xué)習(xí)了0°～360°范圍的角，但在實(shí)際問(wèn)題中還會(huì)遇到其他角．如在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水等比賽中，常常聽(tīng)到“轉(zhuǎn)體1080°”、“轉(zhuǎn)體1260°”這樣的解說(shuō)．再如鐘表的指針、擰動(dòng)螺絲的扳手、機(jī)器上的輪盤(pán)等，它們按照不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角，不全是0°～3600范圍內(nèi)的角.因此，僅有0°～360°范圍內(nèi)的角是不夠的，我們必須將角的概念進(jìn)行推廣。=3\*CHINESENUM3三、=1\*Arabic1、先介紹幾個(gè)概念：始邊、終邊。（看幻燈片）=2\*Arabic2、旋轉(zhuǎn)有幾個(gè)方向？既然旋轉(zhuǎn)有方向，那我們可以規(guī)定……。你能說(shuō)出這種規(guī)定它的現(xiàn)實(shí)來(lái)源嗎？即規(guī)定正角、負(fù)角對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的解釋是不是更容易清晰？舉個(gè)例子：如果只給出30°，那我們就不知道這是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)還是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。如果規(guī)定正角、負(fù)角的意義，那隨便給出多少度，我們就知道他的意義。答：規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)零角。還是體操、鐘表、跳臺(tái)等等的例子。=3\*Arabic3、這樣子角的范圍變的多大？稱為什么角？任意角的分類(lèi)與實(shí)數(shù)的分類(lèi)有什么關(guān)系？答：負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮。任意角。相似。=4\*Arabic4、你會(huì)做出210°、-150°、-660°的角嗎？=5\*Arabic5、如果你的手表慢了20分鐘，或快了1.25小時(shí)，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多少度才能將時(shí)間校準(zhǔn)？=6\*Arabic6、任意兩個(gè)角的數(shù)量大小可以相加、相減，如50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解釋一下這兩個(gè)式子的幾何意義嗎？=4\*CHINESENUM3四、=1\*Arabic1、為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，你想想角的頂點(diǎn)該在哪里，始邊該在哪里？，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？=2\*Arabic2、如果角的終邊在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于如何象限，或稱這個(gè)角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？=3\*Arabic3、銳角與第一象限的角是什么邏輯關(guān)系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關(guān)系？直角與軸線角是什么邏輯關(guān)系？=4\*Arabic4、第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？答：象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.=5\*CHINESENUM3五、=1\*Arabic1、終邊相同的角比如與1°角有多少個(gè)？他們有規(guī)律嗎？能用符號(hào)把他們表達(dá)出來(lái)嗎？答：1°+k?360°=2\*Arabic2、1°還可以改為多少度？k?360°幾何意義是什么？k?180°,k?90°幾何意義是什么？=3\*Arabic3、能從簡(jiǎn)單具體例子推廣為一般嗎？=4\*Arabic4、寫(xiě)出終邊在y軸上角的集合，有規(guī)律嗎？先看書(shū)的解法，繁不繁？難不難？抽象不抽象？它是從代數(shù)角度來(lái)解的。有直觀的幾何角度的解法嗎？=5\*Arabic5、用上面直觀的幾何角度的解法解出終邊在坐標(biāo)軸上角的集合，有規(guī)律嗎？。寫(xiě)出終邊在直線y=x上的角的集合S，有規(guī)律嗎？并把S中適合不等式-360°到720°的角找出來(lái)。=6\*Arabic6、第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？=7\*Arabic7、如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分別是第幾象限的角？《1.1.2弧度制》=1\*CHINESENUM3一、繼續(xù)上節(jié)課。=1\*Arabic1、如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分別是第幾象限的角？=2\*Arabic2、P9習(xí)題1.1A組第二題、第五題。=3\*Arabic3、換個(gè)角度看問(wèn)題：2023-1-17睡覺(jué)的時(shí)候想到了把0°到360°推廣為任意角的一個(gè)形象的比喻，就是0°到360°對(duì)于任意角是個(gè)受精卵，任意角有這個(gè)受精卵發(fā)育生成，那到底是如何發(fā)育生成，就是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈。所以在解終邊在y軸上角的集合時(shí)，這樣的角有無(wú)數(shù)個(gè)，但有什么角發(fā)育生成，如何發(fā)育生成。即有90°或270°發(fā)育生成，那如何發(fā)育生成，就是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)整數(shù)個(gè)半圈，或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)整數(shù)個(gè)半圈。同理，對(duì)于寫(xiě)出終邊在坐標(biāo)軸上角的集合，可以有0°或90°或180°或270°這個(gè)受精卵發(fā)育生成，如何發(fā)育生成就是逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)整數(shù)個(gè)1/4圈。對(duì)于終邊在直線y=x上角的集合也一樣。還有就是沒(méi)有時(shí)間寫(xiě)出終邊在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限的角的集合。這些集合也可以用上述思路來(lái)分析。比如終邊在第一象限角的集合有0°到90°這個(gè)受精卵發(fā)育生成，那如何發(fā)育生成？就是旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈。事物的發(fā)生發(fā)展可以有一個(gè)形象的比喻就是人有受精卵發(fā)育生成，如何發(fā)育生成學(xué)了生物就知道，《道德經(jīng)》里的一句名言：“道”生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。受精卵相當(dāng)于“道”。=2\*CHINESENUM3二、=1\*Arabic1、大家知道不知道度量一個(gè)物體的長(zhǎng)短或路程的遠(yuǎn)近我們是怎么說(shuō)的？答：多少米，多少公里。=2\*Arabic2、大家知道1米是多長(zhǎng)？度量長(zhǎng)度有幾種單位制？相互之間轉(zhuǎn)換知道嗎？度量重量有幾種單位制？相互之間轉(zhuǎn)換知道嗎？答：米、英尺、碼。千克、磅?？梢园俣取Ｒ韵罗D(zhuǎn)換來(lái)自百度：米：等于氪-86原子的2p10和5d5之間躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射在真空中的1,650,763.73個(gè)波長(zhǎng)的長(zhǎng)度。1英尺(呎)=12英寸(吋)=30.48厘米。關(guān)于英尺的來(lái)歷：正如如同英尺的英文單詞意義一樣，foot,簡(jiǎn)稱ft，古英國(guó)時(shí)期因?yàn)闆](méi)有國(guó)際公認(rèn)的度量單位，所以人們往往使用自己的腳來(lái)測(cè)量實(shí)地的面積，久而久之，一種基于成年男子單腳的長(zhǎng)度就被公認(rèn)為英國(guó)等國(guó)家人可得標(biāo)準(zhǔn)度量衡。德國(guó)人出了一招，讓最早從教堂出來(lái)的16個(gè)男子量出左腳的長(zhǎng)度加在一起，再除以16，商就是一尺。碼：英制長(zhǎng)度單位,美制碼等于0.9144米,在英國(guó),則1碼等于保存在威斯敏斯特商務(wù)部標(biāo)準(zhǔn)局的青銅棒兩個(gè)金塞子上橫線標(biāo)記之間的距離(在62癋時(shí))[yard(縮寫(xiě)yd)]磅：英美制重量單位，1磅等于0.45359237千克。=3\*Arabic3、為什么會(huì)有多種單位制？單位制的本質(zhì)是什么？答：一是各個(gè)國(guó)家歷史原因，二是每個(gè)單位制各有千秋。為了度量物體的長(zhǎng)短、輕重、大小我們只能先規(guī)定一個(gè)單位是什么東西，然后讓物體跟這個(gè)單位比較看看有多少個(gè)單位，這就是單位制的本質(zhì)。=4\*Arabic4、角的單位制是什么？是如何規(guī)定的？這種規(guī)定有什么優(yōu)劣？如果有劣該如何？答：出示PPT。=5\*Arabic5、一弧度如何規(guī)定？出示PPT，完成P6探究。=3\*CHINESENUM3三、接下去跟百度出來(lái)的課件一樣?！?.1.2弧度制》反思=1\*Arabic1、在我叫同學(xué)們回憶角度制的弧長(zhǎng)公式和扇形公式時(shí)同學(xué)們是靠記憶說(shuō)出，這是死知識(shí)，我們要把死知識(shí)變成活知識(shí)，即知道公式是如何得來(lái)的。=2\*Arabic2、為什么弧度制有些同學(xué)覺(jué)得難適應(yīng)，是因?yàn)榻嵌戎剖且环N思維方式，弧度制是一種思維方式，并且我們已經(jīng)習(xí)慣了角度制的思維方式。我舉個(gè)例子，我們從小成長(zhǎng)在中國(guó)，適應(yīng)了中國(guó)文化也習(xí)慣用中國(guó)人思維看問(wèn)題，一下子到了美國(guó)就不習(xí)慣美國(guó)文化，不習(xí)慣美國(guó)人看問(wèn)題的思維方式。這得了“文化休克癥”，百度：文化休克，得到下面信息。“文化休克”(CulturalShock)是1958年美國(guó)人類(lèi)學(xué)家?jiàn)W博格(KalveroOberg)提出來(lái)的一個(gè)概念，是指一個(gè)人進(jìn)入到不熟悉的文化環(huán)境時(shí)，因失去自己熟悉的所有社會(huì)交流的符號(hào)與手段而產(chǎn)生的一種迷失、疑惑、排斥甚至恐懼的感覺(jué)?！靶菘恕北緛?lái)是指人體重要功能的喪失，如身體失血過(guò)多，呼吸循環(huán)功能衰竭等。但是，當(dāng)一個(gè)長(zhǎng)期生活于自己母國(guó)文化的人突然來(lái)到另一種完全相異的新的文化環(huán)境中時(shí)，其在一段時(shí)間內(nèi)常常會(huì)出現(xiàn)這種文化休克的現(xiàn)象?！?.2.1任意角的三角函數(shù)》=1\*CHINESENUM3一、=1\*Arabic1、我們還記不記得在高中是如何重新學(xué)習(xí)函數(shù)的？同學(xué)們,我跟你們講一件事情。就是著名教育家朱永新的故事。2023年暑假我到海門(mén)參加他的新教育實(shí)驗(yàn)會(huì)，我看了他的報(bào)告。朱老師把全國(guó)老師看的清清楚楚。朱老師為什么能把全國(guó)老師看的清清楚楚，因?yàn)樗镜慕嵌扰c他人不一樣，站的高度很高很高。比如誰(shuí)可以把溫州人民看的清清楚楚，那這個(gè)人可以當(dāng)溫州市市委書(shū)記，把浙江人民看的清請(qǐng)楚楚，那這個(gè)人可以當(dāng)浙江省委書(shū)記，把全國(guó)人民看的清請(qǐng)楚楚，那這個(gè)人可以當(dāng)國(guó)家主席。人只有站在較高一個(gè)層次才能看清較低層次的事情。把國(guó)家看的清請(qǐng)楚楚的人一定可以把浙江人民看的清請(qǐng)楚楚，把浙江人民看的清請(qǐng)楚楚的人，一定可以把溫州人民看的清請(qǐng)楚楚。反之不一定。我再舉例子，你把高等數(shù)學(xué)看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等數(shù)學(xué)看的清清楚楚。但你把初等數(shù)學(xué)看的清清楚楚，高等數(shù)學(xué)也不一定看的清清楚楚。我在某一程度上可以把小學(xué)、初中、數(shù)學(xué)看的清清楚楚，但對(duì)高等數(shù)學(xué)看不清清楚楚。我畫(huà)一個(gè)圖形給你們看。在你們面前有個(gè)正方形的盒子，沒(méi)蓋，里面有一只哈巴狗。當(dāng)你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面這個(gè)面的中位線中點(diǎn)，那你可以把這個(gè)盒子的前面看的清清楚楚，但這只哈巴狗你看不見(jiàn)。接下去我們這樣，我們改變眼睛的角度與高度，把眼睛上升，上升到眼睛還是在前面這個(gè)面的前面，但高度上升到盒子上面那個(gè)面的上面，這時(shí)，我們依然把前面這個(gè)面看的清清楚楚，但發(fā)現(xiàn)了許多新東西，比如我們看到了盒子里有只哈巴狗。所以改變角度，上升高度，原來(lái)的事情依然可以看的清清楚楚，并且把發(fā)現(xiàn)的新東西也可以看的很清楚。我為什么要講這些東西，因?yàn)槲覀兘裉鞂W(xué)習(xí)函數(shù)的概念。=2\*Arabic2、初中三角函數(shù)定義3、高中三角函數(shù)定義（先不考慮單位圓）4、單位圓的三角函數(shù)定義（高度一樣，角度不同，是特殊情況）以上四點(diǎn)PPT打出。PPT百度搜索。=5\*Arabic5、把全國(guó)人民看的清清楚楚難不難？我說(shuō)有沒(méi)有人把高一（3、4）班同學(xué)看的清清楚楚？看清楚了可以當(dāng)班級(jí)的什么干部？答：班長(zhǎng)。=6\*Arabic6、只有政治家把全國(guó)人民看的清清楚楚嗎？答：思想家、文學(xué)家、哲學(xué)家等等吧全國(guó)人民看清楚，他們只是從不同的角度吧全國(guó)人民看清楚。=7\*Arabic7、有的同學(xué)可能會(huì)問(wèn)，在每個(gè)象限三角函數(shù)的定義比如正弦、余弦、正切都是一樣，那是不是每個(gè)象限三角函數(shù)值也一樣。我們一個(gè)個(gè)分析下正弦、余弦、正切。=8\*Arabic8、在對(duì)三角函數(shù)定義教學(xué)的時(shí)候你們可能提出，正弦、余弦、正切為什么要這樣定義，那樣定義不行嗎？回答：可以，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在於它的自由.－－－康扥爾(Cantor)。但數(shù)學(xué)上概念的定義不是胡來(lái)，而是要能跟現(xiàn)實(shí)吻合，能解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。=2\*CHINESENUM3二、這個(gè)課件是綜合了自己的課件與百度搜索來(lái)的別人的課件。《1.2.1三角函數(shù)線》教案=1\*Arabic1、同學(xué)們比較一下，代數(shù)與幾何哪一種抽象？哪一種直觀？直觀有是什么好處？=2\*Arabic2、三角函數(shù)屬于代數(shù)，今天我們就把三角函數(shù)直觀化。如何直觀化？我們先學(xué)習(xí)一個(gè)概念：有向線段。=3\*Arabic3、顧名思義有向線段就是：答：有方向的線段。=4\*Arabic4、方向如何規(guī)定？答：與坐標(biāo)軸（x軸、y軸）同向?yàn)檎?，反向?yàn)樨?fù)=5\*Arabic5、有向線段特點(diǎn)與平時(shí)線段異同答：即有方向又有大小，平時(shí)線段只有大小=6\*Arabic6、為什么有向線段可以把三角函數(shù)直觀化？答：方向?qū)儆趲缀?，大小屬于代?shù)。所以有向線段是代數(shù)連接幾何的紐帶。=7\*Arabic7、綜合自己的教學(xué)設(shè)計(jì)與百度到的教學(xué)設(shè)計(jì)?！?.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》教案=1\*Arabic1、我們知道事物的發(fā)生發(fā)展過(guò)程可以引用《道德經(jīng)》里一句話：道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。我們還有個(gè)形象比喻就是事物的發(fā)生發(fā)展過(guò)程相當(dāng)于受精卵發(fā)育發(fā)展，生成一個(gè)人。目前有四個(gè)“道”或“受精卵”：任意角的推廣、一弧度的定義、寫(xiě)出終邊相同角的集合的時(shí)先找到受精卵、三角函數(shù)的定義。=2\*Arabic2、根據(jù)三角函數(shù)的定義這個(gè)“道”或“受精卵”找到正弦與余弦的關(guān)系。正弦、余弦、正切的關(guān)系。=3\*Arabic3、綜合自己的教學(xué)設(shè)計(jì)與百度到的教學(xué)設(shè)計(jì)。《1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》備課后反思=1\*Arabic1、這一節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)思考過(guò)來(lái)思考過(guò)去還是逃不出傳統(tǒng)設(shè)計(jì)。不過(guò)思考過(guò)來(lái)思考過(guò)去也是一會(huì)兒工夫。誘導(dǎo)公式不只6組，要讓學(xué)生知道這不只6組的關(guān)系，其實(shí)真正獨(dú)立的只有三組，其他幾組可以有這三組推倒出來(lái)。要讓學(xué)生知道組與組之間的關(guān)系。讓知識(shí)形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。=2\*Arabic2、與的關(guān)系我們不從一般化推導(dǎo)，我們從特殊例子來(lái)總結(jié)，=0°、15°、30°、45°、75°、90°。同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式的反思=1\*Arabic1、這幾節(jié)有個(gè)特點(diǎn)就是知識(shí)點(diǎn)不是很深不難理解，但要靈活運(yùn)用，既然靈活運(yùn)用那就涉及到運(yùn)算技巧，所以運(yùn)算技巧很高，既然運(yùn)算技巧高，那就不容易想到。一些題目如果運(yùn)算途徑不恰當(dāng)那運(yùn)算量就很大。=2\*Arabic2、運(yùn)算途徑有遠(yuǎn)路、中路、近路。近路如何發(fā)現(xiàn)，那就是對(duì)遠(yuǎn)路非常熟悉。=3\*Arabic3、據(jù)有人試驗(yàn)不知是誰(shuí)，如果一個(gè)完全不懂的人要熟能生巧，那至多重復(fù)40次，所以有的同學(xué)一次就可以，有的同學(xué)要2次，有的同學(xué)要三次。我黑板上只能重復(fù)一次，需要我再重復(fù)的請(qǐng)課外問(wèn)?！?.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》教案=1\*CHINESENUM3一、當(dāng)我們沒(méi)見(jiàn)過(guò)、沒(méi)做過(guò)三角函數(shù)的圖象時(shí)要求我們畫(huà)出正弦函數(shù)的圖象，我們有沒(méi)有覺(jué)得是一種圖象不知是什么東東的感覺(jué)？今天要畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象那該怎辦？我們還記得這道題目嗎？對(duì)2023年山東高考數(shù)學(xué)理科試卷第6題分析=1\*Arabic1、試題:分析：當(dāng)我們不知道一個(gè)事物是什么東西的時(shí)候怎么辦？這個(gè)事物是怎樣子的我們不知道，沒(méi)關(guān)系。幾千年來(lái)人類(lèi)一直在探討人是什么東西？如果你知道人是什么東西你就出名了。比如馬克思提出人是各種社會(huì)關(guān)系的總和。但我們不知道人是什么東西不要緊，我們可以知道人的一些直觀的性質(zhì)，比如有一個(gè)鼻子、兩個(gè)耳朵，一雙手、一雙腳等等。所以這個(gè)函數(shù)我們不知道它是什么東西，但可以研究它的性質(zhì)。比如是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。定義域是實(shí)數(shù)去掉0，單調(diào)性是x趨向于+無(wú)窮，y趨向于1，x趨向于0，y趨向于+無(wú)窮或-無(wú)窮。所以選A。事物的本質(zhì)是抽象的，事物的性質(zhì)是直觀的。=2\*CHINESENUM3二、正弦函數(shù)的性質(zhì)：Sin(-x)=-sinx，所以是奇函數(shù)。sin1°=sin(360°+1°)=sin(360°+360°+1°)=……。Sin2°=sin(360°+2°)=sin(360°+360°+2°)=……。Sin3°=sin(360°+3°)=sin(360°+360°+3°)=……。Sin4°=sin(360°+4°)=sin(360°+360°+4°)=……。Sin5°=sin(360°+5°)=sin(360°+360°+5°)=……?！?，Sin359°=sin(360°+359°)=sin(360°+360°+359°)=……。這個(gè)稱為周期性。我們只須畫(huà)出0°到360°正弦函數(shù)的圖象。=3\*CHINESENUM3三、在前面一節(jié)課我們把三角函數(shù)進(jìn)行了直觀化，用什么表示？下面我們來(lái)畫(huà)。不用PPT演示過(guò)程，用手演示。=4\*CHINESENUM3四、上述方法能畫(huà)余弦函數(shù)的圖象嗎？能有其他簡(jiǎn)單方法嗎？=5\*CHINESENUM3五、對(duì)于在0°到360°之間的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)你覺(jué)得在圖象上哪幾點(diǎn)是最重要的。=6\*CHINESENUM3六、你能用幾種方法畫(huà)出下列圖象？哪種方法你比較上手？=1\*GB2⑴、y=1+sinx=2\*GB2⑵、y=-cosx《1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》=1\*CHINESENUM3一、某一天是星期一，如何用符號(hào)表示？經(jīng)過(guò)7天是星期幾？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示？再經(jīng)過(guò)7天呢？再再經(jīng)過(guò)7天呢？答：f(x)=1，f(x+7)=1，f(x+7+7)=1，f(x+7+7+7)=1=2\*CHINESENUM3二、得到什么結(jié)論？答：f(x+7)=f(x)，f(x+7+7)=f(x)，f(x+7+7+7)=f(x)=3\*CHINESENUM3三、你會(huì)畫(huà)這個(gè)函數(shù)的圖形語(yǔ)言嗎？x=4\*CHINESENUM3四、你會(huì)求這個(gè)對(duì)應(yīng)法則嗎？其實(shí)是不做要求的。=5\*CHINESENUM3五、求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，說(shuō)出最小正周期。周期有什么用？=6\*CHINESENUM3六、求下列函數(shù)的周期（1)y=sinx(2)y=2sinx(3)y=sin2x(4)y=2sin2x=7\*CHINESENUM3七、如果把sin變cos呢？（注：（1）求函數(shù)周期要緊緊抓住f(x+T)=f(x)，而教材的解法比較難理解。對(duì)于周期，用抽象的周期定義求周期反而具體，而如果離開(kāi)周期定義求周期，具體的反而抽象。雖然定義是抽象的，但對(duì)于求函數(shù)周期根據(jù)定義反而具體。（2）同學(xué)們能不能用幾何意義對(duì)求周期做出聲明？Sin2x周期為什么是“”？因?yàn)閟inx周期是“2”，就是旋轉(zhuǎn)一圈回到原來(lái)位置，從新開(kāi)始，因?yàn)閤有系數(shù)2，所以旋轉(zhuǎn)半圈乘以2就是一圈，所以sin2x周期是“”。=8\*CHINESENUM3八、如果一個(gè)函數(shù)f(x+T)=f(x)，我們就稱這樣的函數(shù)是周期函數(shù)。若f(x+T)=f(x)，則f(x+T+T+…….)=f(x)。T>0，T稱為最小正周期。六、求函數(shù)f七、求函數(shù)f八、如果函數(shù)y=f(x)的周期是T，求y=f(ωx)的周期。=9\*CHINESENUM3九、求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸。對(duì)稱軸、對(duì)稱中心有什么性質(zhì)？跟周期有什么關(guān)系？答：最短距離的兩個(gè)對(duì)稱中心是半個(gè)周期，最短距離的兩條對(duì)稱軸是半個(gè)周期。對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)最大、小值，對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是零。11注意：正弦函數(shù)的對(duì)稱軸時(shí)要與周期的第二個(gè)定義聯(lián)系起來(lái)。對(duì)稱中心不做要求例：周期的第二定義（具體例子）：f(4-x)=f(4+x)且f(6-x)=f(6+x)。先猜周期再推導(dǎo)周期。注：在求sinx、sin2x的周期時(shí)，除了根據(jù)周期定義f(x+T)=f(x)外，其實(shí)求解過(guò)程中有幾何意義，如果說(shuō)出幾何意義，那就更容易懂。我教了11年，在我們學(xué)校，學(xué)生對(duì)這兩個(gè)三角函數(shù)的周期混淆起來(lái)，其實(shí)還與2sinx、2sin2x混淆起來(lái)。Sin2x周期為什么是“派”？因?yàn)閟inx周期是“2派”，就是旋轉(zhuǎn)一圈回到原來(lái)位置，從新開(kāi)始，因?yàn)閤有系數(shù)2，所以旋轉(zhuǎn)半圈乘以2就是一圈，所以sin2x周期是“派”。正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期反思=1\*Arabic1、求函數(shù)的周期一般是求最小正周期=2\*Arabic2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期為什么不是？=3\*Arabic3、同學(xué)們可能問(wèn)如果對(duì)一個(gè)函數(shù)一無(wú)所知，那如何求周期如何證明周期？答：歷史上一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題是慢慢摸索出來(lái)的，有時(shí)候一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決要經(jīng)過(guò)100多年?！?.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》1、同學(xué)們看正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖，如何研究它的單調(diào)性？答：先找一個(gè)合理的周期，在這個(gè)周期內(nèi)研究它的單調(diào)性，再根據(jù)周期的意義進(jìn)行總結(jié)。2、單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間有無(wú)窮多個(gè)，我們不能用列舉法，只能用描述法，那如何用描述法表示無(wú)窮多個(gè)區(qū)間？答：道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。3、對(duì)于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，什么時(shí)候取最大值？什么時(shí)候取最小值？這些點(diǎn)多不多？能用列舉法表示嗎？如何用描述法表示？答：道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。例3.下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出取最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合，并說(shuō)出最大值、最小值分別是什么？（10）如果把sin變?yōu)閏os呢？例4.不通過(guò)求值，指出下列各式大于0還是小于0.注（1）把角轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間或同一個(gè)周期內(nèi)，根據(jù)圖像比較（2）根據(jù)三角函數(shù)線比較1、求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。（10）如果把sin變?yōu)閏os呢？正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象=1\*Arabic1、同學(xué)們還記得如何做出正弦函數(shù)的圖像嗎？=1\*GB3①、當(dāng)我們沒(méi)見(jiàn)過(guò)、沒(méi)做過(guò)三角函數(shù)的圖象時(shí)要求我們畫(huà)出正弦函數(shù)的圖象，我們有沒(méi)有覺(jué)得是一種圖象不知是什么東東的感覺(jué)？今天要畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象那該怎辦？我們還記得這道題目嗎？對(duì)2023年山東高考數(shù)學(xué)理科試卷第6題分析=1\*Arabic1、試題:分析：當(dāng)我們不知道一個(gè)事物是什么東西的時(shí)候怎么辦？這個(gè)事物是怎樣子的我們不知道，沒(méi)關(guān)系。幾千年來(lái)人類(lèi)一直在探討人是什么東西？如果你知道人是什么東西你就出名了。比如馬克思提出人是各種社會(huì)關(guān)系的總和。但我們不知道人是什么東西不要緊，我們可以知道人的一些直觀的性質(zhì)，比如有一個(gè)鼻子、兩個(gè)耳朵，一雙手、一雙腳等等。所以這個(gè)函數(shù)我們不知道它是什么東西，但可以研究它的性質(zhì)。比如是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。定義域是實(shí)數(shù)去掉0，單調(diào)性是x趨向于+無(wú)窮，y趨向于1，x趨向于0，y趨向于+無(wú)窮或-無(wú)窮。所以選A。事物的本質(zhì)是抽象的，事物的性質(zhì)是直觀的。=2\*GB3②、正弦函數(shù)的性質(zhì)：Sin(-x)=-sinx，所以是奇函數(shù)。sin1°=sin(360°+1°)=sin(360°+360°+1°)=……。Sin2°=sin(360°+2°)=sin(360°+360°+2°)=……。Sin3°=sin(360°+3°)=sin(360°+360°+3°)=……。Sin4°=sin(360°+4°)=sin(360°+360°+4°)=……。Sin5°=sin(360°+5°)=sin(360°+360°+5°)=……?！琒in359°=sin(360°+359°)=sin(360°+360°+359°)=……。這個(gè)稱為周期性。我們只須畫(huà)出0°到360°正弦函數(shù)的圖象。=3\*Arabic3、復(fù)習(xí)如何做出正弦函數(shù)的圖像=4\*Arabic4、正切函數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①、1、定義域：=2\*GB3②、奇偶性=3\*GB3③、周期性及其作用=4\*GB3④、單調(diào)性=5\*GB3⑤、值域=5\*Arabic5、百度課件做出正切函數(shù)的圖像=6\*Arabic6、求下列函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間《正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象》反思=6\*Arabic6、求下列函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間反思：=1\*GB3①、求周期時(shí)的兩個(gè)角度：一是幾何角度，二是代數(shù)角度即周期的代數(shù)定義。=2\*GB3②、同學(xué)們學(xué)到這里會(huì)經(jīng)歷高原現(xiàn)象，就是體育課長(zhǎng)跑中遇到極點(diǎn)。只要堅(jiān)持就能跨過(guò)去?！?1\*CHINESENUM3一、為什么函數(shù)y=Asinωx+φ重要？=2\*CHINESENUM3二、如何研究答：只要把具體的數(shù)字的簡(jiǎn)單的研究透了就可以上升到字母的符號(hào)的復(fù)雜的抽象的形式。只要具體的數(shù)字的簡(jiǎn)單的運(yùn)算熟練了才能上升到符號(hào)的字母的復(fù)雜的抽象的運(yùn)算。=3\*CHINESENUM3三、百度課件。如何記住特殊角的特殊函數(shù)值？根據(jù)高考考剛要求，特殊角的特殊函數(shù)值是要熟練靈活掌握的，根據(jù)我了解，特殊角的特殊函數(shù)值起碼有50﹪以上的同學(xué)沒(méi)掌握。但如果孤立一個(gè)個(gè)的去死記硬背那學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)很重，有沒(méi)有輕松的學(xué)習(xí)方法？以下方法供參考。我們畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，讓這些特殊值，這水平直線與圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是特殊角，我們只要記住初中里的特殊角，其他根據(jù)平移、對(duì)稱就可以得到。為什么上課聽(tīng)的懂，課后習(xí)題不會(huì)做？=1\*CHINESENUM3一、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像反思=1\*Arabic1、初相和位置的關(guān)系初相就是x=0的時(shí)候那個(gè)φ，把φ經(jīng)過(guò)解析式的計(jì)算就得到位置，同學(xué)們可以結(jié)合單擺運(yùn)動(dòng)來(lái)理解。=2\*CHINESENUM3二、為什么上課聽(tīng)的懂，課后習(xí)題不會(huì)做？我可以打個(gè)比方，我們上課學(xué)習(xí)的是貓是怎樣的，如果是課后習(xí)題或考試考的是狗是怎樣的。要想考試考的出來(lái)，我們就要知道貓狗的聯(lián)系和區(qū)別，貓懂狗嗎？狗懂貓嗎？只有貓懂狗，狗懂貓才能做出題目。貓有貓的語(yǔ)言，狗有狗的語(yǔ)言，但貓的語(yǔ)言和狗的語(yǔ)言是有共同地方的，都是大自然進(jìn)化的結(jié)果，可我們不知道，所以課后習(xí)題考試考不出來(lái)。函數(shù)的反思=1\*Arabic1、如何講解通過(guò)怎樣平移得到答：這里是向右平移，不是向右平移。如果是向右平移那就是把2x看成整體是2x向右平移，于是畫(huà)圖時(shí)橫坐標(biāo)應(yīng)當(dāng)標(biāo)記為2x。如果x向右平移，那2x就是向右平移。是x平移不是2x平移，因?yàn)闄M坐標(biāo)是標(biāo)記x不是標(biāo)記2x。就像為什么y=sin2x的周期是，因?yàn)閥=sinx的周期是2，就是旋轉(zhuǎn)一圈又回到原來(lái)位置，所以只要x旋轉(zhuǎn)半圈，那2x就是旋轉(zhuǎn)一圈。《向量》第一節(jié)這一節(jié)新知識(shí)新概念很多，該如何學(xué)習(xí)？=1\*Arabic1、不是死記硬背，而是顧名思義。要達(dá)到只要懂的漢字就可以理解本節(jié)。=2\*Arabic2、向量的符號(hào)、模的符號(hào)、線段符號(hào)、線段的長(zhǎng)度符號(hào)、有向線段的大小方向符號(hào)會(huì)不會(huì)混淆？答：高中數(shù)學(xué)知識(shí)是屬于幾百年之前的事了，幾百年之前的數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在是非常完美了，所以同學(xué)們不用擔(dān)心符號(hào)會(huì)混淆，只要我們看到一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)其實(shí)馬上就知道是什么東西。=3\*Arabic3、為什么規(guī)定零向量的方向是任意的我能不能這樣解釋?假如規(guī)定零向量的方向是向東,那也可以規(guī)定零向量的方向是向西、向南、向北，所以干脆就規(guī)定是任意。=4\*Arabic4、平行向量與共線向量是一回事說(shuō)明平移不改變向量的大小和方向，平移不改變向量的任何內(nèi)含。學(xué)習(xí)、測(cè)試、會(huì)考、高考區(qū)別的一個(gè)形象比喻學(xué)習(xí)學(xué)的是小時(shí)候貓?jiān)鯓?，測(cè)試有時(shí)候測(cè)貓長(zhǎng)大了怎樣，所以考試難度加大。有時(shí)候考貓老了怎樣。會(huì)考小時(shí)候考貓?jiān)鯓?，有時(shí)候考貓長(zhǎng)大了貓?jiān)鯓?，有時(shí)候考貓老了怎樣。高考難在平時(shí)測(cè)試時(shí)考貓?jiān)鯓?，高考考狗怎樣。貓狗的關(guān)系很緊密又不同。有句話是三歲看大，七歲看老。對(duì)于人生經(jīng)驗(yàn)豐富的人來(lái)說(shuō)，他看到這個(gè)人三歲的樣子可以估算出長(zhǎng)大了的樣子，看到這個(gè)人七歲的樣子可以知道他老了的樣子?！断蛄俊返诙?jié)=1\*CHINESENUM3一、向量加法有三角形法則與平行四邊形法則，數(shù)學(xué)上為什么要這樣規(guī)定？我那樣規(guī)定不行嗎？注意什么？答：數(shù)學(xué)上的定義、規(guī)定不是胡來(lái)的，而是有深刻的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。三角形法則是向量首尾相連，平行四邊形法則是起點(diǎn)重合?！断蛄考臃ㄟ\(yùn)算及其幾何意義》的反思=1\*Arabic1、向量加法滿足交換律與結(jié)合律的證明根據(jù)什么只能根據(jù)什么？答：向量加法的定義=2\*Arabic2、向量的大小可正可負(fù)，那向量的模只能是正的或等于0，請(qǐng)問(wèn)模的符號(hào)好不好？這個(gè)符號(hào)會(huì)讓你產(chǎn)生模是負(fù)的嫌疑嗎？答：符號(hào)形象生動(dòng)，只要與數(shù)的絕對(duì)值聯(lián)系起來(lái)就可以理解。=3\*Arabic3、在書(shū)寫(xiě)向量的時(shí)候記住一條，也就是符號(hào)要讓人一看就知道是什么含義不要讓人誤會(huì)和嫌疑。舉個(gè)例子零向量的書(shū)寫(xiě)。符號(hào)都是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造出來(lái)的，是禁得起歷史的考驗(yàn)。數(shù)學(xué)家都是天才。=4\*Arabic4、符號(hào)表達(dá)向量的加法要知道有兩層意義在運(yùn)算，一層是大小的運(yùn)算，一層是方向的運(yùn)算。=5\*Arabic5、實(shí)數(shù)滿足交換律和結(jié)合律你覺(jué)得向量滿足嗎？為什么？答：世界是和諧的，雖然有時(shí)候無(wú)奇不有。如果不滿足，世界的和諧美被破壞掉，令人不舒服。6、兩向量相加如果不共線則用三角形法則或平行四邊形法則，但有種情況要區(qū)別對(duì)待那就是共線，而共線又分成同向和反向但也是首位相連。7、學(xué)生問(wèn)題：向量有什么用可以舉一例：用向量證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。此題學(xué)生反映是給人耳目一新的感覺(jué)，跟初中不一樣的感覺(jué)。2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義=1\*Arabic1、如何做出一個(gè)向量減去另一個(gè)向量？答：一個(gè)向量減去另一個(gè)向量就是加上另一個(gè)向量的相反向量，之后轉(zhuǎn)化為用三角形法則或平行四邊形法則。教材上是越講越亂，我們不要理他。=2\*Arabic2、舉一個(gè)例子演示向量的減法運(yùn)算，包括共線和不共線。=3\*Arabic3、=1\*GB3①、畫(huà)一個(gè)三角形先不規(guī)定方向，你根據(jù)向量加法減法定義可以得到多少結(jié)論？=2\*GB3②、畫(huà)一個(gè)平行四邊形也不規(guī)定方向，你根據(jù)向量加法減法定義可以得到多少結(jié)論？答：對(duì)角線垂直、對(duì)角線相等、對(duì)角線垂直且相等。三角形兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊的向量表達(dá)方式?！?.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義》反思1、實(shí)數(shù)減法的規(guī)定和運(yùn)算性質(zhì)與向量減法的規(guī)定及運(yùn)算性質(zhì)是類(lèi)似的，為什么？答：世界是和諧的，雖然有時(shí)候無(wú)奇不有。如果不滿足，世界的和諧美被破壞掉，令人不舒服。2、在畫(huà)一個(gè)三角形先不規(guī)定方向能得到多少結(jié)論時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)要得到減法首先要得到加法，然后通過(guò)移項(xiàng)得到減法。3、如何做出一個(gè)向量減去另一個(gè)向量？答：一個(gè)向量減去另一個(gè)向量就是加上另一個(gè)向量的相反向量，之后轉(zhuǎn)化為用三角形法則或平行四邊形法則。教材上是越講越亂，我們不要理他。=4\*Arabic4、兩向量共線時(shí)加法、減法的直觀理解答：當(dāng)兩向量不共線時(shí)加法、減法可以用三角形法則或平行四邊形法則。因?yàn)閮上蛄坎还簿€兩向量可以構(gòu)成三角形或平行四邊形。原型是位移模型和力的合成。如果共線我們還是用位移模型。相當(dāng)于一個(gè)人從起點(diǎn)出發(fā)，到最后的實(shí)際位移向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義=1\*Arabic1、規(guī)定=2\*Arabic2、，，即括號(hào)省略不寫(xiě)。注：如果規(guī)定某個(gè)東西，這說(shuō)明這個(gè)東西本來(lái)是沒(méi)有的。=3\*Arabic3、問(wèn)隱含的意義相同嗎？如果相同結(jié)果一樣嗎？答：隱含的意義不同，結(jié)果都記住。=4\*Arabic4、實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律同學(xué)們還記得嗎？設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，則：?jiǎn)枺喝绻褜?shí)數(shù)a、b改為運(yùn)算律還成立嗎？為什么？如何驗(yàn)證？答：還成立，因?yàn)槭澜缡呛椭C的，雖然有時(shí)候無(wú)奇不有。如果不滿足，世界的和諧美被破壞掉，令人不舒服。用特殊値法驗(yàn)證。令等于簡(jiǎn)單的數(shù)字。=5\*Arabic5、如果共線，用數(shù)乘角度你能得到什么么結(jié)論？答：先分類(lèi)討論：=1\*GB3①，=2\*GB3②，則=3\*GB3③=4\*GB3④，=6\*Arabic6、定理：向量則當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)=1\*GB3①問(wèn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是記住定理然后去套嗎？答：不是記住定理去套，而是要深刻理解定理的本質(zhì)。如果是去套，一般考個(gè)高職或?qū)？啤?7\*Arabic7、學(xué)了向量有什么用？=1\*GB3①用向量證明三角形中位線定理。向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義》反思=1\*CHINESENUM3一、向量數(shù)乘運(yùn)算律是如何發(fā)現(xiàn)的？向量數(shù)乘運(yùn)算律如下：因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要經(jīng)歷再創(chuàng)造的過(guò)程，個(gè)體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程相當(dāng)于重復(fù)歷史上人類(lèi)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程。有的老師如何再創(chuàng)造向量數(shù)乘的運(yùn)算律？那就是讓讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)運(yùn)算律，即從特殊到一般。那歷史上果真是這樣子的嗎？其實(shí)歷史上發(fā)現(xiàn)向量數(shù)乘的運(yùn)算律不是這樣發(fā)現(xiàn)的，而是通過(guò)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的，那就是實(shí)數(shù)的乘法滿足這個(gè)運(yùn)算律，那猜想向量數(shù)乘是否滿足這個(gè)運(yùn)算律？因?yàn)槭澜缡呛椭C的，雖然有時(shí)候無(wú)奇不有。如果不滿足，世界的和諧美被破壞掉，令人不舒服。然后或驗(yàn)證或證明。=2\*CHINESENUM3二、當(dāng)在黑板上畫(huà)出時(shí)得到是，有同學(xué)覺(jué)得不唯一，因?yàn)椴煌挠胁煌?。其?shí)這里要得到前提條件是是確定的。2.3.1平面向量的基本定理=1\*Arabic1、為了使基本定理表達(dá)更直觀更通俗易懂，我們稱是第一、第二個(gè)向量，稱為第三個(gè)向量。=2\*Arabic2、為什么唯一，因?yàn)榈谝?、第二、第三個(gè)向量只能做一個(gè)平行四邊形。=3\*Arabic3、如圖不共線，，用表示。這道題目在敘述的時(shí)候如何才能通俗易懂？我們說(shuō)P、A、B是前三個(gè)點(diǎn)，O是第四個(gè)點(diǎn)，要證三點(diǎn)共線，我們?nèi)〉谒膫€(gè)點(diǎn)。2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示=1\*CHINESENUM3一、在平面直角坐標(biāo)系中向量的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別：=1\*Arabic1、如果一個(gè)向量坐標(biāo)確定則這向量的大小和方向就能確定，但它在平面直角坐標(biāo)系中的位置不能確定，它可以在平面直角坐標(biāo)系中任意的平移，因?yàn)槠揭撇桓淖兿蛄康拇笮『头较?。如果點(diǎn)的坐標(biāo)確定，那這個(gè)店在平面直角坐標(biāo)系中的位置就可以確定。=2\*Arabic2、如果向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)即平移到原點(diǎn)，那向量就能確定，且向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)。=3\*Arabic3、如果向量的起點(diǎn)不是原點(diǎn)，那向量的坐標(biāo)和向量的起點(diǎn)坐標(biāo)終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)?？偨Y(jié)：一個(gè)向量在坐標(biāo)系中有三個(gè)關(guān)鍵詞：大小、方向、位置。=2\*CHINESENUM3二、為什么正交分解很重要？因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中有太多的模型，比如重力的分解等等。=3\*CHINESENUM3三、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)向量先畫(huà)點(diǎn)，讓點(diǎn)是向量終點(diǎn)，起點(diǎn)是原點(diǎn)。2.3.4_平面向量共線的坐標(biāo)表示=1\*CHINESENUM3一、同學(xué)們還記得兩向量共線可以分成幾種情況嗎？如果共線，用數(shù)乘角度你能得到什么么結(jié)論？答：先分類(lèi)討論：=1\*GB3①，=2\*GB3②，則=3\*GB3③=4\*GB3④，=6\*Arabic6、定理：向量則當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)=1\*GB3①問(wèn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是記住定理然后去套嗎？答：不是記住定理去套，而是要深刻理解定理的本質(zhì)。如果是去套，一般考個(gè)高職或?qū)？啤?2\*CHINESENUM3二、=1\*Arabic1、我們知道=1\*GB3①、=4\*GB3④得到上面的定理。下面我們這樣子：對(duì)于=1\*GB3①，我們把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩向量坐標(biāo)有什么關(guān)系。，，，則，所以消去，得：，因?yàn)?，所以還可以表示成：。注：這里先假定各分母0。因?yàn)殡m然但分母還是有可能=0。都可以當(dāng)分母，但至多兩個(gè)分母=0。=2\*Arabic2、問(wèn)=2\*GB3②、=3\*GB3③、=4\*GB3④還滿足上述關(guān)系嗎？答：=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③、=4\*GB3④都滿足，但不一定滿足。都可以當(dāng)分母，但至少兩個(gè)分母=0。=3\*Arabic3、問(wèn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是記住結(jié)論然后去套嗎？答：不是記住結(jié)論然后去套，而是要深刻理解結(jié)論的本質(zhì)。如果是去套，一般考個(gè)高職或?qū)？啤?4\*Arabic4、定比分點(diǎn)公式要告訴學(xué)生高考是考過(guò)程不是考結(jié)果。平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義=0\*CHINESENUM3零、向量的數(shù)量積是規(guī)定，既然是規(guī)定那就說(shuō)明世界上本來(lái)沒(méi)有這個(gè)東西，為什么要固定那就是讓向量威力更強(qiáng)大。=1\*CHINESENUM3一、問(wèn)向量的數(shù)量積或內(nèi)積為什么定義為a·b=a答：數(shù)學(xué)上的一個(gè)定義不會(huì)來(lái)自空中樓閣，而是有堅(jiān)實(shí)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，比如這個(gè)定義就是物理中功的原型。在語(yǔ)文寫(xiě)作中，作者在構(gòu)思一個(gè)人物形象時(shí)都可以在現(xiàn)實(shí)生活中找到原型?？梢詥?wèn)你們的語(yǔ)文老師。比如錢(qián)鐘書(shū)的〈〈圍城〉〉里面的人物，賈平凹的〈〈廢都〉〉里人物。=2\*CHINESENUM3二、=1\*Arabic1、同學(xué)們還記得直線或線段在一個(gè)平面內(nèi)的投影嗎？它是什么？線段的長(zhǎng)度有什么改變？答：畫(huà)一個(gè)平面和一條直線或線段，投影是條平面內(nèi)的直線或線段。=2\*Arabic2、在一個(gè)平面內(nèi)一條線段在一條直線上的投影是怎樣子的？線段的長(zhǎng)度有什么改變？答：投影還是線段，長(zhǎng)度=3\*Arabic3、那向量在另一個(gè)向量上的投影是怎么回事？答：線段只有大小沒(méi)有方向，所以投影肯定是正的，但向量是即有大小又有方向，所以大小、方向都有投影。那如何表示方向的投影？所以向量的投影是可正可負(fù)的，請(qǐng)同學(xué)們看看向量投影的定義。=3\*CHINESENUM3三、向量數(shù)量積的三種特殊情況或性質(zhì)。如果你覺(jué)得理解起來(lái)抽象，該怎辦？答：用兩個(gè)具體的向量來(lái)代入一下，這兩個(gè)具體向量可以取例1，再加畫(huà)圖來(lái)理解。=4\*CHINESENUM3四、向量數(shù)量積的三條運(yùn)算律哪幾條可以利用定義來(lái)證明，很快的。哪一條用定義證明不行？同學(xué)們用定義證明是什么感覺(jué)？是不是覺(jué)得是天馬行空找不到一個(gè)堅(jiān)實(shí)的支撐點(diǎn)，空蕩蕩的？這就是抽象運(yùn)算。=5\*CHINESENUM3五、于向量數(shù)量積的運(yùn)算律，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)滿足交換律、結(jié)合律，加絕對(duì)值的性質(zhì)，再根據(jù)定義，所以向量數(shù)量積也滿足交換律、結(jié)合律。對(duì)于證明滿足結(jié)合律比交換律要難許多。其實(shí)在證明結(jié)合律的時(shí)候取拉姆達(dá)=2，-2，具體值反而容易理解。=6\*CHINESENUM3六、我們講過(guò)世界是和諧的，雖然無(wú)奇不有，今天就是講講無(wú)奇不有。即三個(gè)向量的內(nèi)積不滿足結(jié)合律，即，用具體例子來(lái)驗(yàn)證。還有不滿足消去律即×。=7\*CHINESENUM3七、講向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)我們要說(shuō)明因?yàn)橄蛄颗c實(shí)數(shù)一樣滿足交換律、結(jié)合律、分配律，所以在形式上一樣，本質(zhì)上不一樣。比如向量的和平方公式、平方差公式。但有些東西是形式不一樣，本質(zhì)一樣。比如上論壇有句話，你換了馬甲我就不認(rèn)識(shí)你了。對(duì)于因?yàn)橄蛄恳蛴羞\(yùn)算律，所以不必每一步都根據(jù)向量數(shù)量積的定義。對(duì)于例4已知一種是教材代數(shù)解法，但如果一題多解，還有種幾何解法。我兩種都涉及。但在講幾何解法的時(shí)候，一些學(xué)生聽(tīng)不懂。所以幾何解法我們用來(lái)驗(yàn)證?？蛇@兩種解法可以比較優(yōu)劣。代數(shù)解法不知道本質(zhì)，幾何解法可以看出事物的本質(zhì)。代數(shù)解法是垂直但不知道為什么垂直，幾何解法卻可以知道垂直為什么是垂直。平面向量數(shù)量積的反思1=1\*Arabic1、學(xué)了平面向量的數(shù)量積到底有什么用，舉兩例。=1\*GB3①、在直角坐標(biāo)系內(nèi)給定已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)請(qǐng)判斷這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成哪種三角形？各內(nèi)角是多少？=2\*GB3②、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)給定已知的四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)請(qǐng)判斷四點(diǎn)構(gòu)成什么四邊形？?jī)?nèi)角是多少？或則已知是平行四邊形也已知三點(diǎn)坐標(biāo)求第四點(diǎn)坐標(biāo)。平面向量數(shù)量積的反思2=1\*Arabic1、引入向量的數(shù)量積后一個(gè)現(xiàn)象就是對(duì)一些概念、性質(zhì)變過(guò)來(lái)變過(guò)去，也是在做循環(huán)游戲，在繞口令。繞口令的結(jié)果就是暈頭轉(zhuǎn)向腦子里一筆糊涂賬。所以上到這里適合停頓休息。平面向量數(shù)量積的反思3這節(jié)課是校對(duì)習(xí)題2.4。學(xué)生疑問(wèn)學(xué)了向量有什么用。因?yàn)榘l(fā)明一種新方法是為了把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，如果把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化那說(shuō)明這新方法是不好的。但這里比如B組第三題、第五題你用傳統(tǒng)解法和新向量解法學(xué)生比較不出來(lái)到底有沒(méi)有把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。我只能說(shuō)明在高中階段看不出來(lái)，到大學(xué)里可以看出來(lái)。雖然后面一節(jié)是向量應(yīng)用，還有證明兩角差的余弦公式用向量方法。2.5.1《平面幾何中的向量方法》=1\*CHINESENUM3一、這節(jié)課我們主要講講向量解法與幾何解法有什么各自優(yōu)劣？向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計(jì)算，這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)極大的方便。由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問(wèn)題。=2\*CHINESENUM3二、例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和。解法1：幾何解法。注：過(guò)頂點(diǎn)向?qū)呑龃咕€。解法2：向量解法如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？解法1：幾何解法。取對(duì)角線中點(diǎn)O,連OE、OF。解法2：向量解法。=3\*CHINESENUM3三、各自優(yōu)劣=1\*Arabic1、代數(shù)解法不知道本質(zhì)，幾何解法可以看出事物的本質(zhì)。代數(shù)解法是垂直但不知道為什么垂直，幾何解法卻可以知道垂直為什么是垂直。代數(shù)解法（或向量解法）好象是天馬行空找不到一個(gè)堅(jiān)實(shí)的支撐點(diǎn)，空蕩蕩的？這就是抽象運(yùn)算。請(qǐng)問(wèn)為什么？答:由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái),但在運(yùn)算的時(shí)候，幾何意義我們沒(méi)有注意到已經(jīng)被隱藏起來(lái)了。=2\*Arabic2、解題就是思維的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，我們還要知道思維為什么這樣發(fā)生為什么這樣發(fā)展。對(duì)于幾何法一般因?yàn)榧记尚院芨?，所以思維的發(fā)生、發(fā)展比較難。向量法有統(tǒng)一的模式，比如=1\*GB2⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；=2\*GB2⑵通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；=3\*GB2⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。所以向量法的思維發(fā)生發(fā)展比較容易，但就是運(yùn)算量大。所以向量運(yùn)算表面上代數(shù)運(yùn)算，本質(zhì)上是幾何運(yùn)算既幾何證明。但同學(xué)們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有向量的威力很大，所以向量是一只披著羊皮的狼。向量解決問(wèn)題有一套統(tǒng)一的模式和程序，技巧性不是很高，有時(shí)候就是覺(jué)得運(yùn)算量比較大。這是因?yàn)橄蛄堪褞缀巫C明轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。但幾何證明技巧性比較高。同學(xué)們，向量這一章為什么這么難？在辦公室里許多同學(xué)問(wèn)我有關(guān)向量的問(wèn)題，這說(shuō)明向量這一章有點(diǎn)難。下面分析為什么有點(diǎn)難。一、為什么要研究向量？首先我解釋下定義、性質(zhì)、公理、定理有什么區(qū)別。定義是在世界中有許多事物非常重要，于是我們專門(mén)給它個(gè)名稱。比如三角形、圓等等。性質(zhì)是這個(gè)事物因?yàn)楹苤匾?，所以我們研究它，看看有什么?guī)律。公理是公認(rèn)正確的是顯而易見(jiàn)的非常直白的事實(shí)，是不證自明的事實(shí)。比如整體大于部分。定理是對(duì)于平面幾何第一個(gè)定理是根據(jù)公理推導(dǎo)出第一個(gè)定理，接下去是根據(jù)公理、定理推導(dǎo)出新的定理同學(xué)們可以分別百度百科：定義性質(zhì)公理定理。因?yàn)槭澜缰杏袀€(gè)東西很重要比如三角形，于是我們給這個(gè)東西專門(mén)一個(gè)名稱，然后研究它的性質(zhì)，但同學(xué)們?nèi)切挝覀兪强吹靡?jiàn)摸的著的，所以三角形是很具體、直觀的，越具體、直觀的東西越簡(jiǎn)單，所以三角形很簡(jiǎn)單。加速度、速度能不能看的見(jiàn)摸的著？現(xiàn)實(shí)中有沒(méi)有一個(gè)東西是加速度、速度？所以加速度、速度比三角形要抽象，越抽象的東西越難。所以學(xué)習(xí)加速度、速度要比學(xué)習(xí)三角形要難?，F(xiàn)實(shí)中有沒(méi)有向量？沒(méi)有向量。我們把加速度、速度再抽象出來(lái)得到向量研究它，因?yàn)檫@個(gè)東西很重要。所以向量又比加速度、速度抽象。二、向量這一章為什么難？我們?yōu)槭裁匆芯肯蛄?？因?yàn)橄蛄窟@個(gè)東西很重要，但向量比加速度、速度抽象，加速度、速度又比三角形抽象，越抽象的東西越難，所以我們學(xué)習(xí)向量很難。既然向量這個(gè)東西很抽象很難，如果我們要繼續(xù)研究它的性質(zhì)則是難上加難。所以向量這一章很難。三溪中學(xué)學(xué)生學(xué)情分析按傳統(tǒng)把學(xué)生分成三類(lèi)優(yōu)等生、中等生、學(xué)困生。但每個(gè)學(xué)校的這三類(lèi)底子又有不同。我學(xué)校學(xué)困生教材對(duì)他來(lái)說(shuō)是天書(shū)，看不懂。中等生看書(shū)一半懂一半不懂。優(yōu)等生是可以自己看書(shū)，但要老師幫助他知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)。各等級(jí)占學(xué)生比例。一個(gè)班算45人，10個(gè)是學(xué)困生、10個(gè)是優(yōu)等生、25個(gè)是中等生。所以對(duì)于課外作業(yè)比如星期六的試卷發(fā)下10張就差不多了。學(xué)困生把書(shū)看懂就占據(jù)了他大部分時(shí)間，中等生把書(shū)后的練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題做完也差不多沒(méi)時(shí)間做課外。只有10來(lái)個(gè)優(yōu)等生有剩余時(shí)間做點(diǎn)課外習(xí)題，但學(xué)校已經(jīng)