第一章 生命表

第一章生命表引言按壽險(xiǎn)保單的約定，保險(xiǎn)人（即壽險(xiǎn)公司）將根據(jù)被保險(xiǎn)人在約定時(shí)間內(nèi)的生存或死亡決定是否給付保險(xiǎn)金。被保險(xiǎn)人在未來(lái)某個(gè)時(shí)期的生死是一個(gè)不確定性事件，對(duì)這個(gè)不確定性事件的研究是壽險(xiǎn)精算中最重要的工作之一，它決定著保險(xiǎn)金的給付與否。它的研究把數(shù)學(xué)和生存與死亡概率結(jié)合在一起。所以，應(yīng)從生存或死亡概率的探討而著手生存狀況的研究。生存模型就是對(duì)生命個(gè)體從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)這一過(guò)程建立的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行清晰的描述，從而對(duì)死亡率的問(wèn)題作出一些解釋。從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個(gè)簡(jiǎn)單的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程有如下的特征：存在兩種狀態(tài)：生存和死亡。單個(gè)的人──經(jīng)常稱(chēng)作生命個(gè)體──可被劃分為生存者或死亡者，也就是說(shuō)，我們可說(shuō)出他們所處的狀態(tài)。生命個(gè)體可從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)，但不能相反。任何個(gè)體的未來(lái)生存時(shí)間都是未知的，所以我們應(yīng)從生存或死亡概率的探討而著手生存狀況的研究。生存模型就是對(duì)此過(guò)程建立的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行清晰的描述，從而對(duì)死亡率的問(wèn)題作出了一些解釋下面就是生存模型可回答的例子：一個(gè)45歲的人在下一年中死亡的概率是多少？假若有1000個(gè)45歲的人，那么他們中有多少人可能在下一年內(nèi)死亡？如果某一45歲的男性公民，在投保了一個(gè)10年的定期的某種人壽保險(xiǎn)，那么應(yīng)該向他收多少保費(fèi)？

一些特定因素(如一天吸50根煙)對(duì)于45歲的男性公民的未來(lái)生存時(shí)間的影響是怎樣的？本章結(jié)構(gòu)壽命分布生命表各年齡內(nèi)的壽命分布生命表1.1

壽命分布主要內(nèi)容壽命X的分布（分布函數(shù)和生存分布）未來(lái)壽命（余命）的分布死力（瞬時(shí)死亡率）重點(diǎn)掌握：

a.各函數(shù)的符號(hào)表示及理解其涵義

b.各種函數(shù)之間的關(guān)系1.1.1壽命X的分布函數(shù)連續(xù)型死亡年齡1.X:死亡年齡（從生存到死亡的時(shí)間長(zhǎng)度）是一連續(xù)型隨機(jī)變量

2.(x)：x歲的人

3.分布函數(shù)：

F(x)=Pr(X≤x)x≥0

含義：新生嬰兒在x歲前死亡的概率

4.概率密度：f(x)=F′(x)

5.數(shù)學(xué)期望：EX=∫xf(x)dx

新生嬰兒的平均壽命1.1.2生存函數(shù)s(x)=1-F(x)=Pr(X>x),x≥0含義新生嬰兒x歲以后死亡的概率新生嬰兒活過(guò)x歲的概率性質(zhì)

a.

b.單調(diào)遞減函數(shù)例題分析[例1.1]

用生存函數(shù)表示下列事件的概率：

a.新生嬰兒在60歲至70歲之間死亡的概率s(60)-s(70)1.1.3未來(lái)壽命T的分布

未來(lái)壽命（x歲的人剩余壽命）:

T(x)＝X-x，X≥xT(x),簡(jiǎn)記為T(mén)，是一連續(xù)型隨機(jī)變量隱含的條件：新生嬰兒在x歲仍活著購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的被保人，往往是已活到某個(gè)年齡x歲的人，因此，研究剩余壽命的分布更為重要。用概率來(lái)反映生存者未來(lái)壽命T(x)是精算學(xué)中一項(xiàng)基本內(nèi)容。1.1.3未來(lái)壽命T的分布T的分布函數(shù)

含義：(x)在x+t前死亡的概率1.1.3未來(lái)壽命T的分布

概率密度

生存函數(shù)

平均余命

含義：(x)在x+t歲時(shí)仍活著的概率1.1.3未來(lái)壽命T的分布

其他特殊符號(hào)a含義：

(x)生存t年后，在x+t歲與x+t+u歲之間死亡的概率

(x)在活過(guò)t年后的u年內(nèi)死亡的概率等于(x)在x+t歲時(shí)仍活著的條件概率與(x+t)在以后的u年內(nèi)死亡的概率之積。1.1.3未來(lái)壽命T的分布

其他特殊符號(hào)b

特別地

x=0時(shí)，有含義：新生嬰兒的未來(lái)壽命等于他的死亡年齡t=1時(shí)，有u=1時(shí)，有記?。?.1.3未來(lái)壽命T的分布說(shuō)明：

概率實(shí)質(zhì)上都是條件概率，隱含的條件是新生嬰兒在x歲是活著的。

重點(diǎn)掌握這幾個(gè)符號(hào)的含義[例1.2]

用國(guó)際通用符號(hào)和概率符號(hào)表示下述事件的概率。（1）20歲的人活到80歲的概率；（2）50歲的人在52歲至55歲之間死亡的概率。

例題分析60p20，2|3q501.1.4離散型未來(lái)壽命的分布取整余命（

K）1.1.4離散型未來(lái)壽命的分布思考下式為何成立及其含義是什么？（k為整數(shù)）記?。『竺鏁?huì)多次用到1.1.5死力

定義：

含義：

a)瞬時(shí)死亡率，描述了(x)將在某一瞬間內(nèi)死亡的變化情況；

b)在到達(dá)x歲的人當(dāng)中，瞬間死亡的人所占的比率

c)生存函數(shù)的相對(duì)變化率。1.1.5死力1.1.5死力

生存函數(shù)與死力關(guān)系：1.1.5死力

與死力之間的關(guān)系這說(shuō)明：未來(lái)壽命的分布可由死力決定，如果有了死力的解析表達(dá)式或者有了生存函數(shù)的解析表達(dá)式，問(wèn)題就可以得到解決。1.1.5死力1）deMoivre假設(shè)（1729）：其中的ω為極限年齡，即假定在此年齡下，所有的人均已死亡。

幾種常見(jiàn)的假設(shè)：1.1.5死力2）Gompertz假設(shè)（1825）：3）Makeham假設(shè)（1860）：4）Weibull假設(shè)（1939）：1.1.5死力（參數(shù)模型的問(wèn)題）雖然每一假設(shè)都比前一假設(shè)更符合實(shí)際，但至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個(gè)常用模型的擬合效果不令人滿(mǎn)意。使用這些參數(shù)模型推測(cè)未來(lái)的壽命狀況會(huì)產(chǎn)生很大的誤差壽險(xiǎn)中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類(lèi)壽命的分布。在非壽險(xiǎn)領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。1.2

生命表本節(jié)的主要內(nèi)容了解生命表的類(lèi)型掌握生命表的構(gòu)成要素（各類(lèi)函數(shù)）能夠利用一般生命表進(jìn)行計(jì)算理解選擇－終極生命表的含義，并能夠利用它解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。1.2生命表含義是根據(jù)以往一定時(shí)期那各種年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制的每個(gè)年齡死亡率組成的匯總表。是過(guò)去生命資料的記錄。最重要的是產(chǎn)生每個(gè)年齡的死亡率，影響死亡率的因素很多：年齡，性別，職業(yè)，習(xí)慣，以往病史等。但一般情況下，在設(shè)計(jì)生命表時(shí)，只注重考慮年齡和性別。是描述人的壽命或未來(lái)壽命概率分布的一種表格形式，是壽險(xiǎn)公司計(jì)算保費(fèi)的重要依據(jù)之一。含有一些基本函數(shù)的數(shù)值，并按各個(gè)年齡制成表格。反映的是離散型的壽命規(guī)律構(gòu)造原理簡(jiǎn)單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場(chǎng)合）、不依賴(lài)總體分布假定（非參數(shù)方法）1.2.1生命表的類(lèi)型生命表類(lèi)型國(guó)民生命表經(jīng)驗(yàn)生命表終極生命表選擇生命表男性生命表女性生命表男性生命表女性生命表年金生命表壽險(xiǎn)生命表1.2.1生命表的類(lèi)型國(guó)民生命表：根據(jù)全國(guó)范圍內(nèi)的人口統(tǒng)計(jì)資料構(gòu)造出來(lái)，反映的是一個(gè)特定時(shí)期內(nèi)全國(guó)人口的壽命分布情況。經(jīng)驗(yàn)生命表：許多家人壽保險(xiǎn)公司對(duì)被保險(xiǎn)人的統(tǒng)計(jì)資料構(gòu)造出來(lái)，反映的是這些公司的綜合經(jīng)驗(yàn)和他們的被保險(xiǎn)人的壽命分布情況。我國(guó)經(jīng)驗(yàn)生命表中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990—1993）

1996.6我國(guó)保險(xiǎn)監(jiān)管機(jī)構(gòu)頒布，1997.4.1開(kāi)始使用共六張：非年金保險(xiǎn)男（女）表、非年金保險(xiǎn)混合表年金保險(xiǎn)男（女）表、年金保險(xiǎn)混合表中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2000—2003）2005年12月22日，中國(guó)保監(jiān)會(huì)頒布新生命表使用于2006.1.1起生效共四張：非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)男（女）表養(yǎng)老金業(yè)務(wù)男（女）表新舊經(jīng)驗(yàn)生命表的比較1.2.2生命表的構(gòu)成考察一封閉式的生存群體，具有以下性質(zhì)：設(shè)定期初總?cè)藬?shù)隨著年齡的增加，活著的人數(shù)減少，最后活著的人數(shù)為零，且死亡的總?cè)藬?shù)等于期初的總?cè)藬?shù)設(shè)定一極限年齡ω1.2.2生命表的構(gòu)成1.群體的年齡x

x=0,1,2,…,ω，ω為極限年齡2.各年齡內(nèi)活著的人數(shù)lx

lω=01.2.2生命表的構(gòu)成3.死亡人數(shù)

在x～x＋1歲之間死亡的人數(shù)：

在x~x+k之間死亡的人數(shù)：1.2.2生命表的構(gòu)成4.死亡概率1.2.2生命表的構(gòu)成5.生存概率6.生存函數(shù)7.平均余命

a)連續(xù)型平均余命：

b)離散型平均余命：1.2.2生命表的構(gòu)成含義：x歲未來(lái)平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括不滿(mǎn)1年的零數(shù)余壽1.2.2生命表的構(gòu)成8.生存人年數(shù)9.累積生存人年數(shù)

x歲的人在x~x+n之間生存的人年數(shù)

x歲的人群未來(lái)累積生存的人年數(shù)

在死亡均勻分布假設(shè)下，1.2.2生命表的構(gòu)成10.中心率（中心死亡率）在區(qū)間(x，x+n)上的中心率在區(qū)間(x，x+1)上的中心率1.2.2生命表的構(gòu)成（例題分析）[例1.3]某生命表一部分如下：（1）新生嬰兒活到3歲的概率；（2）新生嬰兒在1歲和3歲之間死亡的概率。年齡xlxdx010000001580199842068029977404853997255435[例1.4]

右表是某個(gè)生命表的一部分,試計(jì)算下列概率：(1)34歲的人在35歲時(shí)活著的概率；(2)34歲的人在2年內(nèi)死亡的概率；(3)34歲的人在36歲至37歲之間死亡的概率。年齡x未來(lái)一年內(nèi)死亡的概率300.00133310.00134320.00137330.00142340.00150350.00159360.00170370.001831.2.2生命表的構(gòu)成（例題分析）答案：[例1.5]已知：計(jì)算下面各值：（1）（2）20歲的人在50~55歲死亡的概率。1.2.2生命表的構(gòu)成（例題分析）1.2.2生命表的構(gòu)成（例題分析）選擇-終極生命表構(gòu)造的原因：需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會(huì)優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會(huì)隨時(shí)間而逐漸消失1.2.3選擇－終極生命表選擇-終極表實(shí)例[x]選擇表終極表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.1024821.2.3選擇－終極生命表構(gòu)成要素

[x]：被選擇人的年齡

[x]＋k：被選擇的人所達(dá)到的年齡

l[x]＋k

：x歲經(jīng)過(guò)選擇的人，在x+k歲存活的人數(shù)

q[x]＋k

：x歲經(jīng)過(guò)選擇，在x+k至x+k+1歲之間死亡的概率選擇期r：經(jīng)驗(yàn)表明，相同年齡的死亡率會(huì)隨著選擇時(shí)間的推移而增大，即1.2.3選擇－終極生命表

隨著時(shí)間的推移，當(dāng)達(dá)到某一年齡時(shí)，上述現(xiàn)象會(huì)消失（差別越來(lái)越?。?。實(shí)務(wù)中，通常確定一個(gè)年限r(nóng)，當(dāng)選擇經(jīng)過(guò)r年后，忽略這個(gè)差別，即對(duì)于選擇時(shí)間超過(guò)r后的死亡概率采用如下近似公式計(jì)算：此時(shí)的r稱(chēng)為選擇期。1.2.3選擇－終極生命表選擇生命表依據(jù)選擇期各年度的死亡概率編制的生命表終極生命表依據(jù)終極死亡概率編制的生命表終極死亡概率：即保險(xiǎn)公司對(duì)被保險(xiǎn)人依據(jù)體檢，接受承保后超過(guò)選擇期的死亡概率

利用選擇－終極生命表計(jì)算時(shí)，首先應(yīng)確定選擇期！當(dāng)k≥r時(shí)，有

相關(guān)概率1.2.3選擇－終極生命表1.2.3選擇-終極生命表（例題分析）[例1.6]某選擇生命表如下：

（1）指出選擇期r為多少；（2）計(jì)算2p[31]和2q[31]+2同時(shí)指出各概率的含義。（3）現(xiàn)年31歲且一年前經(jīng)過(guò)選擇的人在32歲至33歲之間死亡的概率。[x]l[x]l[x]+1lx+2x+230313233100099699498799899499098399598898297032333435（1）r=2；（2）（3）答案：1.2.4生命表的構(gòu)造根據(jù)人口統(tǒng)計(jì)中的死亡率編制生命表采用假設(shè)同批人方法編制，即把某一時(shí)期某個(gè)年齡的死亡水平當(dāng)做同時(shí)出生的一批人在一生中經(jīng)歷各年齡時(shí)的死亡水平看待，編制的生命表稱(chēng)為時(shí)期生命表或假設(shè)同批人生命表。編制步驟：

1.計(jì)算根據(jù)人口統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)得到的中心死亡率

2.計(jì)算根據(jù)生命表得到的中心死亡率，并在一定假設(shè)下，將其表示成關(guān)于qx的函數(shù)

3.令上述兩者近似相等，即可得到生命表中的qx1.2.4生命表的構(gòu)造根據(jù)原始資料按統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)死亡概率qx1.計(jì)算死亡率2.修勻死亡率曲線（消除異常波動(dòng)）3.附加安全幅度（消除正常的隨機(jī)波動(dòng)）4.設(shè)置極限年齡（到該年齡仍生存者也按死亡者的待獲得保險(xiǎn)金而終止其保險(xiǎn)合同，或一次領(lǐng)取其積累額）1.3

各年齡內(nèi)的壽命分布使用背