六年級(jí)奧數(shù)：扇形的周長(zhǎng)與面積和弓形面積

六年級(jí)奧數(shù)：扇形的周長(zhǎng)與面積和弓形面積圓規(guī)和直尺圓規(guī)和直尺一塊兒住進(jìn)了文具盒。圓規(guī)說：“我能畫圓，你行嗎？”“我橫豎都會(huì)畫，你行嗎？”直尺很不服氣。文具盒聽了，說：“別爭(zhēng)了，誰(shuí)能畫一面扇形，誰(shuí)就最行?！眻A規(guī)和直尺都為難了。文具盒又說：“你倆一塊兒合作，不就行了嗎？”圓規(guī)和直尺同心協(xié)力，很快畫好了扇形。從此，它們成了好朋友。編后語(yǔ)：圓規(guī)和直尺各有自己的長(zhǎng)處，也各有自己的不足，兩者是不應(yīng)互相瞧不起的。后來，由于雙方的真誠(chéng)合作，充分發(fā)揮了各自的優(yōu)勢(shì)，創(chuàng)造了許多新的事物。這則寓言告訴我們這樣一個(gè)道理：一個(gè)人的智慧和力量是有限的，眾人合作就會(huì)創(chuàng)造出新事物，新生活。圓的知識(shí):.當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O在平面上旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一端點(diǎn)所畫成的封閉曲線叫做圓，點(diǎn)O叫做這個(gè)圓的圓心..連結(jié)一個(gè)圓的圓心和圓周上任一點(diǎn)的線段叫做圓的半徑..連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做圓的弦.過圓心的弦叫做圓的直徑..圓的周長(zhǎng)與直徑的比叫做圓周率.圓周上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧..圓周長(zhǎng)二直徑xn尸半徑x2兀 圓面積=3半徑2.扇形的知識(shí)：.扇形是圓的一部分，它是由圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧組成的圖形.頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.第1頁(yè)共14頁(yè).我們經(jīng)常說的1圓、1圓、1圓等等其實(shí)都是扇形，而這個(gè)幾分之幾表示的其實(shí)是這2 4 6個(gè)扇形的圓心角占這個(gè)圓周角的幾分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是—.360.扇形中的弧長(zhǎng)二黑扁形的周長(zhǎng)二黑+2r扇形的面積二山=hr.180 180 360 2弓形的知識(shí)：【例1】弦與它所對(duì)的弧所組成的圖形叫做弓形.【一般來說，弓形面積=扇形面積-三角形面積.（除了半圓）】重點(diǎn)：圓與扇形的面積和周長(zhǎng)計(jì)算公式；弓形的面積公式。難點(diǎn)：計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)，首先要分清圍成這一圖形的邊有哪些，再正確計(jì)算。計(jì)算面積時(shí)，首先要根據(jù)圖形組合的形式，用會(huì)求的圖形的面積去求的題目所要求的圖形面積?！纠?】將半徑分別為3厘米和2厘米的兩個(gè)半圓如圖放置（小圓過大圓圓心），那么陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？法1:陰影部分的周長(zhǎng)二大半圓弧長(zhǎng)十小半圓弧長(zhǎng)+兩條線段的長(zhǎng).二大半圓弧長(zhǎng)+小半圓弧長(zhǎng)+（小圓直徑一大圓半徑）+大圓半徑法2:陰影苗分的周長(zhǎng)二大半圓周長(zhǎng)十小半圓周長(zhǎng)-2x大半圓半徑【答案】陰影部分的周艮=211X2X-+2ttX3X-+（3-2）+3=57t+4=19.71.厘米）2 2第2頁(yè)共14頁(yè)

【鞏固】如圖所求，圓的周長(zhǎng)是16.4厘米,圓的面積與長(zhǎng)方形的面積正好相等.圖中陰影部分的周長(zhǎng)是厘米.（8:3」4）【解冊(cè)】設(shè)圓的半徑為「廁圓面積即長(zhǎng)方形面海為G■工故長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為D匚=仃I陰影部分局長(zhǎng)=DC+EC+BX+AD=仃+了+（仃一力+^父2仃=三乂2狂r=三工164=厘米）陰 4 4 4【答案】2a5厘米【例2】在一個(gè)大圓內(nèi)有許多個(gè)小圓，其直徑的和等于大圓的直徑。請(qǐng)問：大圓周長(zhǎng)與所有小【解析】設(shè)五個(gè)圓的直徑分別為心，&，必，d5）則4=山+也+/+4所有小網(wǎng)周長(zhǎng)的和5dl+nd2-Fnd3+nd4=ntd1+d2+&）=tc（1s=大圓周長(zhǎng)【鞏固】已知AB=50厘米，求圖中各圓的周長(zhǎng)總和。［解析］各圓周長(zhǎng)的和=直徑為50厘米的大圓的周長(zhǎng)口［答案］各圓周長(zhǎng)的和二50kl57cm【例3】夏天到了，爸爸從商店買了4瓶啤酒，售貨員將4瓶啤酒捆扎在一起，如圖7所示，捆4圈至少用繩子多少厘米？（接頭處忽略不計(jì)）第3頁(yè)共14頁(yè)

【解析】捆每一圈的德長(zhǎng)可分解為四段相等的弧長(zhǎng)與四段相等的線段技&捆每一周的四段弧長(zhǎng)可以拼成一個(gè)整圓一每條或段的首度都等于直徑的長(zhǎng)度.總繩長(zhǎng)二（7x4+7-31）X4（厘米）=（2SkI112）（厘米）=199.92（厘米）【鞏固】有7根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們捆成一捆（如下圖），此時(shí)橡皮筋的長(zhǎng)度是多少？捆每一圄的繩長(zhǎng)可分解為6段相等的福長(zhǎng)與6段相等的線段長(zhǎng).捆每一園的ES段瓠長(zhǎng)可以拼或一個(gè)整圓，每條線段的長(zhǎng)度都等于直任的長(zhǎng)度.總繩大=5*6+5正（厘米）I等案】總蹦技■二務(wù)"+豆江1厘米）印5。（厘淞）【例4】三個(gè)半徑為100厘米且圓心角為60°的扇形如圖擺放；那么，這個(gè)封閉圖形的周長(zhǎng)是厘米.（兀取3.14）［解析］三個(gè)扇炒的弧技相當(dāng)于半徑100厘米,圓心用為1X0度得扇形弧裝，2X3.14k—=314第4頁(yè)共14頁(yè)

【鞏固】分別以一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以2厘米為半徑畫弧，得到右圖；那么，陰影圖形的周長(zhǎng)是 厘米.（取3.14）【解析】每段瞅長(zhǎng)為六分之一圓弧，因此陰影的周大二六個(gè)六分之一圓弧的艮度和二一個(gè)圓的周長(zhǎng)=2x2X3.14:12.56厘米【例5】求下列各個(gè)陰影部分的面積；（答案用一表示即可）第5頁(yè)共14頁(yè)(1｝陰影面瓶口扇出面枳三南形面積56gxl-6X3+2=9ir-9(2)陰影面積二扇形面枳一三南形面積54工乂：-4x4+2=4ir—8(3)陰影面枳二(扇形面枳一三角形面積)X2或者陰影面枳三扇形面枳X2一正方形面根=n4>X^X2-4X4=8k-16(4)陰影面飄二扇形面粉一半圓面枳=tt2?X—irl2X|=1it(5)陰影面瓶二正方超面積扇形面積三4X4—口甲X：=16—4n【鞏固】下列圖形中的正方形的邊長(zhǎng)為4,求各個(gè)陰影部分面積的大??；(答案用一表示即可)1(1)陰影面積=4倍葉子的面枳=4X(2X2-irZ24)=16-4tt(2)陰影面積=正方形面積1個(gè)I?面租=4X4—n22=1&—4tt【例6】在直角三角形中，已知三角形的兩條直角邊分別為3厘米和4厘米，以三角形的頂點(diǎn)為圓心的三個(gè)圓，半徑長(zhǎng)都是1厘米，求圖中陰影部分的面積。()第6頁(yè)共14頁(yè)

陰影面枳二直角三角形面積減去三個(gè)扇形面枳之和三個(gè)扇形面粽之和=半徑為1的圓的面卻【答案】陰影面積三3x4+2—兀xF=6—n（厘米）=3（.厘米）【鞏固】圖中三個(gè)圓的周長(zhǎng)都是25.12厘米，不用測(cè)量，計(jì)算出圖中陰影部分的總面積?！窘馕觥肯惹蟪錾刃蔚陌霃饺齻€(gè)小扇形和在一起是一個(gè)角度為3注90=270度的扇步【答案】陰影部分的面枳二（25.12+M14+2）*X歿券=37.681平方厘米）【例7】?jī)蓚€(gè)圓半徑都是1厘米，且圖中兩個(gè)陰影部分面積相等，求長(zhǎng)方形ABOO’的面積。（兀取3）【解析】直接去求，設(shè)陰影部分的面積為注，則長(zhǎng)方形AEOO,的面積三xnxl2-|-ix<n-xl2-a+a=|n=0.5平方厘米【鞏固】下圖中，正方形的邊長(zhǎng)是5cm,圖形的總面積是多少？（兀取3）第7頁(yè)共14頁(yè)【解析】一個(gè)圓的面枳十四分之三圓的面猊十（正方格面枳.四分之一圓的面積）二一又二分之一圓面枳十正方形面枳=37,5—25=137.5平方厘米【例8】如下圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，，乂是的中點(diǎn)，H是弦CD的中點(diǎn).若N是OB上一點(diǎn)，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積是平方厘米.由于CD是半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)；M是①的中點(diǎn)，H是弦CD的中點(diǎn)，所以這個(gè)圖格是對(duì)稱的，由對(duì)稱極可的CDAB平行，所以，三角形CHN和三角影CHO的而和相等,所以陰影部分的面枳等于扇粥COD的面枳的一半：而扇用COD的面積又等于牛圓面積的三分之一、所以明韻部分的面枳等于半圓的去分之一，為12+6=2平方.厘米【鞏固】如圖，C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，O是圓心，且半徑為6.求圖中陰影部分的面積.連接DC、OD.CD由于由于C、D是半圓的兩外三等分點(diǎn)，所以三角彤AOC和三角形CPD都是正三角形，那良C口與AB平行，防以三角形AOC和三兩陽(yáng)口3口的面積相等，那之所以陰秘部分的面枳等于扇形COD的面積，為nrx62x==61T=18,84第8頁(yè)共14頁(yè)

【例9】圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABCD的面積是7平方厘米，角ABC等于30°,求陰影部分的面積（）連接CO一則陰影部分的而松-平行四邊形ABCD的面版一扇形AOC面粗一三角彩COE面積陰影春分的面松=7—|Xn;X2i—X7=g—gk=3.25平方厘米或者是陰影部分的面積乏一《二,區(qū)2工一之＞＜皿乂9=?一：,=3.25平方厘米【鞏固】三角形ABC的面積是31.2平方厘米，圓的直徑AC=6CM，BD:DC=3:1，求陰影部分的面積?！窘馕觥咳怯肁DC的面板二四分之一三角形ABC的面枳=31247.8三角形AOD的面積二二分之一三角期ADC的面積=39陰影面珈二三分之一間-里9=航-3.9=5.52平方厘米【例10】每個(gè)小圓的半徑都是1，求陰影部分的周長(zhǎng)和面積第9頁(yè)共14頁(yè)【解析】由小畫的半徑可以推出大回的半徑為3.陰影部分的面枳二大圓的面那吹去7個(gè)小圓的面料=tl32-nXl2X7=2n=6.28陰影部分的周長(zhǎng)匚大園的周長(zhǎng)加上7個(gè)小國(guó)的病長(zhǎng)=2irx3+2nX1X7=2Utt=62.8【鞏固】正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1厘米，現(xiàn)在依次以ABCD為圓心，以ADBECFDG為半徑畫出扇形，得到下圖，的陰影部分，求陰影部分的面積和周長(zhǎng)?！窘馕觥筷幱安糠值拿骅诪棰枇ι炔实拿姘鸷?陰影部分的周長(zhǎng)為四個(gè)四分之一圓弧的和.+一個(gè)正方形的邊長(zhǎng).陰影部分的面積WX3,14X〔V+2±+3?+產(chǎn)｝=23.55平方厘米阱影部分的周長(zhǎng)」X2X3.14X(1+2+34-4)+1X4=L9.7厘米4堂檢蒯1、下圖是三個(gè)半圓（單位：cm），其陰影部分的周長(zhǎng)是多少?第10頁(yè)共14頁(yè)

【解析】陰影部分的周長(zhǎng)二三個(gè)半圓的周代相加【答案】陰影部分的周管=（IOk+M+1n）=2二1樂2、一個(gè)人要從A地到B地（如圖），有兩條路可走，是按哪一號(hào)箭頭所走的路線近一些?為什么？?jī)蓷l路線相等。設(shè)五個(gè)圓的直徑分別為由，之,與，4，則4=九+2+/2號(hào)珞緘=（irdi+互也+ndQ+25（山+心+&）+Z=nd4+2=1號(hào)路戰(zhàn)【答案】一樣近.3、如下圖所示，平行四邊形ABCD的面積是40求圖中陰影部分的面積。［解析］連接RD三南形BDC面枳二20因?yàn)?。為DC中點(diǎn)，三角形BOC面枳為三角形BDC面積的一半等于1。cni4、圖中三角形是等腰直角三角形,陰影部分的面積是多少平方厘米?第11頁(yè)共14頁(yè)從閱中可以看出出第部分的西叔是兩個(gè)半圃的面積與三角格面銳之差t即3.14乂（6 -L”=10,262復(fù)習(xí)總結(jié)復(fù)習(xí)總結(jié)在解決圓與扇形的周長(zhǎng)和面積時(shí)，首先要找到所求圖形的周長(zhǎng)（或面積）是由哪幾部分組成的，再利用公式去解決問題。家庭作業(yè)1、AB是圓的直徑，C、D是AB上兩點(diǎn)且AC=CD=DB=3厘米.求陰影部分的周長(zhǎng)。【解析】陰影部分的周長(zhǎng)二個(gè)直徑為（5的半圓的瓶長(zhǎng)+2個(gè)直徑為3的半圓的弧長(zhǎng)【答案】陰影部分的周長(zhǎng)=frrt+3n=97T=28.26（.厘米）2、如圖所示，連接六個(gè)半徑為3厘米的小圓的圓心組成一個(gè)六邊形，求六邊形內(nèi)陰影部分面積。第12頁(yè)共14頁(yè)

【解析】利用六迓形的內(nèi)用和為720度“相當(dāng)于兩個(gè)小圓的面枳陽(yáng)果部分面料5X32x^=1871（平方厘米）3、如圖所示，求陰影面積，圖中是一個(gè)正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個(gè)半徑為10厘米的小扇形.（圓周率取3.14）【解析】六個(gè)小扇彩都是圓心角為120度得扇用.陰影部分的面積二正六邊形面積減去六個(gè)小扇形的面T兩一3"xdX券X51040-628=412平方厘米4、如圖所示，以B、C為圓心的兩個(gè)半圓的直徑都是2厘米，則陰影部分的周