《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》設(shè)計(jì)曾宇燕

高一數(shù)學(xué)《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用（二）》教學(xué)設(shè)計(jì)福州金山中學(xué)曾宇燕一、教學(xué)構(gòu)想在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)后，學(xué)生對(duì)其實(shí)際應(yīng)用比較陌生，對(duì)其中的數(shù)學(xué)意義和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的理解并不深刻；當(dāng)面對(duì)三角函數(shù)解決實(shí)際問題的陌生背景、復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理等，學(xué)生會(huì)感到困難；尤其是明確問題的實(shí)際背景、分析問題的復(fù)雜條件，考慮問題的實(shí)際意義，及對(duì)問題的解的分析等都會(huì)有一定的困難．因此在教學(xué)時(shí)，首先創(chuàng)設(shè)情境，通過觀看錢塘江大潮的視頻及有關(guān)百度百科相關(guān)的三角知識(shí)等情景，激發(fā)學(xué)生的求知欲；在審題環(huán)節(jié)，通過有針對(duì)性的引導(dǎo)，讓學(xué)生認(rèn)真閱讀，抓住關(guān)鍵的詞和句子，弄清題意；注意幫助學(xué)生在分析問題中提取其中的數(shù)量關(guān)系；借助散點(diǎn)圖，引導(dǎo)學(xué)生從“形”的特征發(fā)現(xiàn)各個(gè)量之間的關(guān)系及他們的變化規(guī)律；解決問題時(shí)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，并詳細(xì)講述函數(shù)解析式的求解過程；同時(shí)注意指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的實(shí)際意義對(duì)問題的解進(jìn)行具體的分析。本節(jié)課擬在（DIS）網(wǎng)絡(luò)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行，利用數(shù)字化教學(xué)平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用，使學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的作用，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的能力。二、學(xué)情分析由于三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用是三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，也是對(duì)第一章節(jié)三角函數(shù)知識(shí)的總結(jié)與提升，這一知識(shí)點(diǎn)也是新課標(biāo)教材的亮點(diǎn)之一。本節(jié)內(nèi)容將數(shù)學(xué)建模的一般思想方法進(jìn)行了必要的總結(jié)和歸納，同時(shí)也對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用。對(duì)學(xué)生而言，雖然平時(shí)有接觸過相關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用的事例，但是對(duì)于本節(jié)所涉及的三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用是學(xué)生首次接觸，如何突破是本節(jié)課的難點(diǎn)。尤其是學(xué)生還不懂的學(xué)習(xí)三角函數(shù)有什么用？因此本課的教學(xué)有一定的挑戰(zhàn)性。從學(xué)生的知能狀況來看，學(xué)生在本課之前已有三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，在知識(shí)儲(chǔ)備上已具備學(xué)習(xí)本節(jié)課程的條件。雖然我們學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)、理解能力較差，但對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)還是比較重視，也肯學(xué)。從本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容來看，屬于應(yīng)用教學(xué)，對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)有較高的要求，同時(shí)本課中所涉及的建模思想對(duì)學(xué)生來說比較陌生，通過課堂上對(duì)例題的分析及教師適時(shí)的引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律所在?；谝陨系姆治觯瑸榱嗽鰪?qiáng)“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”的直觀性、高效性，本節(jié)充分運(yùn)用具體的事例，以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，通過“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題—分析問題—解決問題”的教學(xué)模式，恰當(dāng)?shù)厥褂帽尘安牧?，設(shè)置一些與課程內(nèi)容相關(guān)的情景問題，使探究過程更加高效，使學(xué)生獲得用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的思想。三、教學(xué)目標(biāo)1、體驗(yàn)實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的全過程；體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型；2、讓學(xué)生體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問題的“建?！彼枷耄瑥亩囵B(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力；3、通過切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題教學(xué)中的價(jià)值和作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神。四、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：用三角函數(shù)模型刻畫潮汐變化規(guī)律，用函數(shù)思想解決具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題。難點(diǎn)：對(duì)問題實(shí)際意義的數(shù)學(xué)解釋，從實(shí)際問題中抽象出三角函數(shù)模型。五、教學(xué)支持條件教具：專題網(wǎng)站、幾何畫板、互動(dòng)白板、粉筆、黑板根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點(diǎn)，為了更直觀、形象地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，借助信息技術(shù)工具，以專題網(wǎng)站為平臺(tái)，變抽象為直觀；同時(shí)輔之以幾何畫板的功能，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究精神與提高數(shù)學(xué)思維提供支持．六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境—激發(fā)興趣課前我們已經(jīng)利用網(wǎng)站平臺(tái)鞏固了三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，實(shí)際上，在現(xiàn)實(shí)生活中，三角函數(shù)作為一個(gè)具有周期變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，能解決很多問題。本節(jié)課，我們將一起探討它在數(shù)學(xué)建模方面的具體應(yīng)用。同學(xué)們，看過錢塘江大潮嗎？在海水的潮起潮落中也蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)。師生活動(dòng)：共同觀看錢塘江大潮視頻?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過視頻演示，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)”。為學(xué)習(xí)本節(jié)探究問題埋下伏筆。（二）提出問題—觀察數(shù)據(jù)【背景材料】海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）現(xiàn)有一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有米的安全間隙（船底與洋底的距離），你能否根據(jù)上述所給的數(shù)據(jù)，判斷該船何時(shí)能安全進(jìn)入港口？在港口能呆多久？問題1：觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生思考、回答，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況加以補(bǔ)充，主要從變量間的關(guān)系、水深的最值、水深隨時(shí)間變化有無規(guī)律等方面去研究．【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察表格中的數(shù)據(jù)，先發(fā)現(xiàn)水深有變化，盡可能發(fā)現(xiàn)或猜想這種變化呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律，為用散點(diǎn)圖來表示這些數(shù)據(jù)做好鋪墊．問題2：什么是吃水深度、安全間隙？貨船要想安全進(jìn)港，水深至少需要多少米？師生活動(dòng)：教師學(xué)生共同操作幾何畫板，通過動(dòng)畫模擬，了解什么是吃水深度和安全間隙，引導(dǎo)學(xué)生回答安全水深即為吃水深度+安全間隙?！驹O(shè)計(jì)意圖】讀題，通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示讓學(xué)生更生動(dòng)的理解題中的有關(guān)概念，并對(duì)問題作出初步的判斷。問題3：結(jié)合前面的分析，安全水深出現(xiàn)在什么時(shí)間段？師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生思考、回答，再次觀察數(shù)據(jù)，只能得到時(shí)間的大致范圍，無法求出具體時(shí)刻，引導(dǎo)學(xué)生需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。【設(shè)計(jì)意圖】再次觀察數(shù)據(jù)，對(duì)問題作出初步的解釋。（三）分析問題—選擇函數(shù)模型問題4：如何畫出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖？描完點(diǎn)連線，觀察會(huì)是什么圖形？師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生思考、回答，以時(shí)間為x軸，水深為y軸，作出水深關(guān)于時(shí)間的散點(diǎn)圖。學(xué)生作圖，教師指導(dǎo)，選擇兩個(gè)學(xué)生在白板中畫圖，展示兩種具有代表性的圖象。一種是曲線型的三角函數(shù)圖象，一種是直線型的分段函數(shù)圖象。【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)由散點(diǎn)圖連成的曲線呈周期性的特點(diǎn)建構(gòu)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、推理、判斷、抽象概括等能力.問題5：兩種圖象分別代表什么函數(shù)模型？是否都體現(xiàn)數(shù)據(jù)的周期性規(guī)律？如何選擇模型？為安全起見，港口工作人員又在該季節(jié)每天的不同時(shí)刻測(cè)出時(shí)間與水深的關(guān)系表如下：時(shí)刻1:005:008:0011:0013:0017:0020:0023:00水深（米）現(xiàn)在也請(qǐng)同學(xué)們把這些點(diǎn)描在圖像當(dāng)中，會(huì)發(fā)現(xiàn)什么問題？師生活動(dòng)：對(duì)兩種圖象進(jìn)行分析，都體現(xiàn)了周期性規(guī)律。教師通過操作幾何畫板，加入新測(cè)量的八組數(shù)據(jù)，分析得出用三角函數(shù)模型擬合數(shù)據(jù)更為準(zhǔn)確；【設(shè)計(jì)意圖】為更好地?cái)?shù)據(jù)擬合提供事實(shí)依據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型。（四）分析問題—確定函數(shù)解析式問題6：如何求出函數(shù)中的值，從而確定函數(shù)模型的解析式呢？師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算，并將答案通過投票的形式提交到網(wǎng)站平臺(tái)，教師實(shí)時(shí)監(jiān)控完成情況。師生通過問答、教師在白板上寫出解題過程的形式，結(jié)合圖象，求出參數(shù)的值?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象以及已知表格中的數(shù)據(jù)，求出各參數(shù)的值，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．采用網(wǎng)站的投票功能，實(shí)現(xiàn)學(xué)生活動(dòng)的交互性，教師可以實(shí)時(shí)了解學(xué)生答題情況，同時(shí)學(xué)生也可以了解其他同學(xué)的作答情況。（五）解決問題我們已經(jīng)知道港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系可以近似用函數(shù)模型來刻畫，下面利用該模型解決有關(guān)貨船進(jìn)出港的一些實(shí)際問題.問題7：（進(jìn)出港時(shí)間問題）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4

m，安全條例規(guī)定至少要有

m的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？師生活動(dòng)：教師通過以下問題，引導(dǎo)學(xué)生探究.

（1）貨船能夠進(jìn)入港口所需要滿足的條件是什么

？（實(shí)際水深≥安全水深）

（2）怎樣用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表述這一條件？（）

（3）若把不等式兩端看成是兩個(gè)函數(shù)，分別作出它們的函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，那么滿足我們條件的解是圖象的哪部分？

（4）結(jié)合圖象，貨船應(yīng)該選擇什么時(shí)間進(jìn)港，什么時(shí)間出港？（5）如何解不等式？（6）如何描述結(jié)論？學(xué)生操作幾何畫板，回答上述問題；教師板書解題過程?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過問題串，幫助學(xué)生弄清楚題目的意思，引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型，借助幾何畫板，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.得出答案后，通過檢驗(yàn)它是否與實(shí)際意義相符，對(duì)答案的合理性做出解釋.過渡語：剛才的問題中，貨船從進(jìn)港、在港口停留，到后來離開港口，貨船的吃水深度一直沒有改變，也就是說貨船的安全深度一直沒有改變，但是實(shí)際情況往往是貨船載滿貨物進(jìn)港，在港口卸貨，卸完貨后離開港口，在卸貨的過程中，由物理學(xué)的知識(shí)我們知道，隨著船身自身重量的減小，船身會(huì)上浮，那么吃水深度如何變化？這樣以來，當(dāng)實(shí)際水深和安全水深都隨時(shí)間發(fā)生變化的情況下，我們又該如何選擇進(jìn)出港時(shí)間呢？

問題8：（卸貨時(shí)間問題）若某船的吃水深度為4

m，安全間隙為

m，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)

m的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？師生活動(dòng)：教師啟發(fā)學(xué)生類比、思考，組織學(xué)生討論如下問題：

（1）“必須停止卸貨”的含義是什么？需要滿足什么條件？（2）安全水深隨時(shí)間的變化的解析式是什么？

（）（3）如何解不等式？（4）如何描述結(jié)論？學(xué)生在這些問題的引導(dǎo)下思考探究，對(duì)于要求解的不等式，學(xué)生根據(jù)剛才解題的經(jīng)歷，相互討論尋求解決的途徑—數(shù)形結(jié)合。【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)模型刻畫貨船安全水深與時(shí)間的關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為不等式問題.

讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”思想和“函數(shù)與方程”思想在解決數(shù)學(xué)問題中的作用.問題9：在船的安全水深正好等于港口水深時(shí)，停止卸貨行嗎？為什么？正確的結(jié)論是什么？師生活動(dòng)：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生獨(dú)立思考、討論，然后給出回答：貨船應(yīng)該在6時(shí)之前駛離港口.否則就不能保證貨船有足夠的時(shí)間發(fā)動(dòng)螺旋槳.【設(shè)計(jì)意圖】將所得的數(shù)學(xué)解釋轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解釋.

（六）課堂小結(jié)—深化認(rèn)識(shí)問題10：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲嗎？（師生一起歸納）

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)了數(shù)據(jù)處理的基本方法和步驟：

①觀察收集到的數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)間的數(shù)量關(guān)系；

②根據(jù)已知數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖；

③用光滑的曲線連接散點(diǎn)圖；

④通過比較，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型擬合數(shù)據(jù)；

⑤求函數(shù)模型的解析式.（2）在解決實(shí)際問題時(shí)運(yùn)用了“數(shù)學(xué)建模思想”、“數(shù)形結(jié)合思想”、“函數(shù)與方程思想”等數(shù)學(xué)思想方法．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過思考和回答問題，歸納總結(jié)建立三角函數(shù)等數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本步驟，理清解決實(shí)際問題的基本思路，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達(dá)能