數(shù)學(xué)理卷·2023屆吉林省長春市高中畢業(yè)班第一次調(diào)研測試(2023.12)掃描版

2023年長春市高中畢業(yè)班第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)填寫在答題紙上）題號123456789101112答案BBADCDADBDCC1.【試題答案】【試題解析】由復(fù)數(shù)虛部定義：復(fù)數(shù)的虛部為，得的虛部為，故選.2.【試題答案】【試題解析】因?yàn)?，，所以，故選.3.【試題答案】【試題解析】化簡，∴將選項(xiàng)代入驗(yàn)證，當(dāng)時，取得最值，故選.4.【試題答案】【試題解析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義為：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，又，故選.5.【試題答案】【試題解析】，設(shè)公比為，又，則，即，解得或，故選.6.【試題答案】【試題解析】由題意可知，程序框圖的運(yùn)算原理可視為函數(shù)，所以，，，故選.OA1第7題圖OA1第7題圖【試題解析】由，得,則表示該組平行直線在軸的截距。又由約束條件作出可行域如圖，先畫出，經(jīng)平移至經(jīng)過和的交點(diǎn)時，取得最大值，代入，即，所以，故選.8.【試題答案】【試題解析】A選項(xiàng)，直線可能在平面內(nèi)；B選項(xiàng)，如果直線不在平面內(nèi)，不能得到；C選項(xiàng)，直線與可能平行，可能異面，還可能相交；故選.9.【試題答案】【試題解析】由得，又，，則，，所以有，即，從而解得，又，所以，故選.10.【試題答案】【試題解析】由三視圖可知，該幾何體為一個球體，下半球完整，上半球分為四份，去掉了對頂?shù)膬煞?，故表面積應(yīng)為球的表面積，去掉球的表面積，再加上個圓面積，故，又球半徑，，故選.11.【試題答案】【試題解析】不等式表示的平面區(qū)域如圖所示，函數(shù)具有性質(zhì)，則函數(shù)圖像必須完全分布在陰影區(qū)域①和②部分，分布在區(qū)域①和③內(nèi)，分布在區(qū)域②和④內(nèi)，圖像第11題圖分布在區(qū)域①和②第11題圖在每個區(qū)域都有圖像，故選12.【試題答案】【試題解析】驗(yàn)證，易知時，；時，所以在上恒成立，故在上是增函數(shù)，又，∴只有一個零點(diǎn)，記為，則.同理可證明也只有一個零點(diǎn)，記為，且.故有個不同零點(diǎn)，,即將向左平移個單位，即將向右平移個單位，∴，，又函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，且，故當(dāng)，時，即的最小值為，故選第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）13.【試題答案】【試題解析】.14.【試題答案】【試題解析】設(shè)球半徑，上下底面中心設(shè)為，，由題意，外接球心為的中點(diǎn)，設(shè)為，則，由，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，即棱柱的高，所以該三棱柱的體積為.15.【試題答案】【試題解析】設(shè)圓與圓交于,，則直線的方程為：，化簡得：又圓平分圓的周長，則直線過,代入的方程得：,∴.16.【試題答案】=3\*GB3③【試題解析】，，則，故①錯。，∴，故②錯。在是單調(diào)遞增的周函數(shù)，知，故，故=3\*GB3③正確，易知=4\*GB3④錯。綜上，正確序號為=3\*GB3③。三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17.【試題解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又，則，故.……………6分（2）由（1）可得，又，即，化簡得，解得或（舍），所以的值為4.……12分18.【試題解析】（1）…………4分因?yàn)椋宰钚≌芷?……6分（2）由（1）知，當(dāng)時，.由正弦函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，取得最大值，又為銳角所以.……8分由余弦定理得，所以或經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意.……10分從而當(dāng)時，△的面積；……………11分.……12分19.【試題解析】（1）連結(jié)交于，∵四邊形為正方形，第19題圖（1）∴，第19題圖（1）∵正方形與矩形所在平面互相垂直，交線為，，∴平面，又平面∴，又，∴平面，又平面，∴.……………6分第19題圖（2）（2）存在滿足條件的.第19題圖（2）【解法一】假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，則，所以為二面角的平面角，……9分所以，在中，所以，又在中，，所以，∴，在中，，∴．故在線段上存在一點(diǎn)，使得二面角為，且.………12分【解法二】依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，，，所以，.易知為平面的法向量，設(shè)，所以,設(shè)平面的法向量為，所以，即，第19題圖2所以，取，第19題圖2則，又二面角的大小為，所以，即，解得.又因?yàn)?，所?故在線段上是存在點(diǎn)，使二面角的大小為，且.……………12分20.【試題解析】（1）設(shè)半焦距為.由題意的中垂線方程分別為，于是圓心坐標(biāo)為.所以，整理得，……………4分即，所以，于是，即.所以，即.……………6分（2）當(dāng)時，，此時橢圓的方程為，設(shè)，則，所以.…8分當(dāng)時，上式的最小值為，即，得；…………10分當(dāng)時，上式的最小值為，即，解得，不合題意，舍去.綜上所述，橢圓的方程為.……12分21.【試題解析】（1）由題意，其定義域?yàn)?，則，2分對于，有.①當(dāng)時，，∴的單調(diào)增區(qū)間為；②當(dāng)時，的兩根為，∴的單調(diào)增區(qū)間為和，的單調(diào)減區(qū)間為.綜上：當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為和，的單調(diào)減區(qū)間為.………6分（2）對，其定義域?yàn)?求導(dǎo)得，，由題兩根分別為，，則有，，………8分∴，從而有，……10分.當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，又，∴.………………12分請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.【試題解析】(1)由題意知，與圓和圓相切，切點(diǎn)分別為和，由切割線定理有：所以，即為的中點(diǎn).…5分(2)由為圓的直徑，易得，∴，∴∴.………10分23.【試題解析】（1）直線的參數(shù)方程，即（為參數(shù)）由題知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，圓半徑為，∴圓方程為將代入得圓極坐標(biāo)方程………5分（2）由題意