浙江大學(xué)2023-2023秋冬學(xué)期微積分I期末考試-2

微積分習(xí)題一一、填空題（每題3分，總計(jì)15分）。1、，則.2、設(shè)在處連續(xù)，且，則.3、已知在處有極值-2，則的極大值為.4、已知.5、若向量垂直于向量與向量，且與向量的數(shù)量積等于-6，則向量.二、單向選擇填空題（每題3分，總計(jì)15分）1、設(shè)函數(shù)，下列關(guān)系正確的是（）.A.B.C.D.2、下列廣義積分收斂的是（）.A.B.C.D.3、已知=（）.A.1B.eC.2D.04、曲線的弧長(zhǎng)為（）.A.B.C.D.5、函數(shù)處處連續(xù)，則().A.2B.-2C.1D.–1三、計(jì)算題（每題6分，總計(jì)48分）。1.設(shè)連續(xù)，且求2.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，求的導(dǎo)數(shù)。3.已知是由方程所確定的隱函數(shù)，求.4.已知，求在處的值.5.求6.求7.求通過直線和點(diǎn)的平面方程.8.已知求四、應(yīng)用題（15分）。1、設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形的面積為又設(shè)與直線所圍成的圖形的面積為（1）試確定的值及使達(dá)到最小，并求出最小值.（2）求由該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.2.設(shè)有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿了水.問將池中的水全部抽出需作多少功？五、證明題（共7分）1.證明不等式在時(shí)成立.2.設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且試證明存在，使得答案：一、填空題（每題3分，總計(jì)15分）。1、2、A.3、極大值為.4、.5、.二、單向選擇填空題（每題3分，總計(jì)15分）1.B2.C3.D4.A5.B三、計(jì)算題（每題6分，總計(jì)48分）。1.設(shè)連續(xù)，且求2.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，求的導(dǎo)數(shù)。3.已知是由方程所確定的隱函數(shù)，求.4.已知，求在處的值.5.求6.求7.求通過直線和點(diǎn)的平面方程.8.已知求四、應(yīng)用題（15分）1.設(shè)有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿了水.問將池中的水全部抽出需作多少功？2、設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形的面積為又設(shè)與直線所圍成的圖形的面積為（1）試確定的值及使達(dá)到最小，并求出最小值.（2）求由該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.2.設(shè)有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿了水.問將池中的水全部抽出需作多少功？五、證明題（共7分）1.證明不等式在時(shí)成立.令2.設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且試證明存在，使得微積分習(xí)題二一、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1.極限＝_______.2.曲線的凸(向上凸)區(qū)間是______________.3.設(shè)在內(nèi)處處可導(dǎo)，則極限＝____________________.4.曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面方程是_______________.5.微分＝_________________.二、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1.設(shè)均為非零向量，則與向量不垂直的向量為（）.A.B.C.D.2.若函數(shù)滿足，則此函數(shù)必().A.有極值B.無極值C.不單調(diào)D.不可導(dǎo)3.下列廣義積分發(fā)散的是().A.B.C.D.4.星形線的全長(zhǎng)是()A.B.C.D.5.一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，比例常數(shù)為，則此物體從移至?xí)r克服媒質(zhì)阻力所作的功為().A.B.C.D.三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題7分，共49分）1.求極限.2.求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)3.設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.4.計(jì)算積分5.計(jì)算積分.6.計(jì)算定積分7.直線過點(diǎn)且與直線相交，又平行于平面，求此直線方程.四、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題7分，共14分）1.在一個(gè)半徑為的圓內(nèi)內(nèi)接一個(gè)矩形，當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬為多少時(shí)，矩形的面積最大？2.求由曲線與軸所圍成的平面圖形的面積，及此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.五、證明題（本大題共2小題，第1小題4分，第2小題3分）1.當(dāng)時(shí)，證明不等式.2.設(shè)在上連續(xù)，在上可積，且，則在上至少存在一點(diǎn)，使得.答案：一1.2.3.4.5.二1.2.3.4.5.三1.解:原式2.解:3.解:方程兩邊同時(shí)微分得:整理得:即4.解:原式5.解:原式6.解:原式=7.解:過點(diǎn)與平面平行的平面方程為記為與的交點(diǎn)為方程組的解解得交點(diǎn)為故所求的直線方程為：四1.解:設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為則滿足,矩形面積解得(負(fù)值舍去)當(dāng)時(shí)時(shí)故在時(shí),取得極值考慮實(shí)際意義,在區(qū)間端點(diǎn)處故在時(shí),取得極值即為最大值2.解:曲線與軸的交點(diǎn)為:和五1.證明:令則故單調(diào)減少,即所以2.證明:令取分別為在上的最大值和最小值則故由連續(xù)函數(shù)介值定理知:使得即:微積分習(xí)題三浙江大學(xué)2004級(jí)微積分（上）期中測(cè)驗(yàn)試題解答填空（每小題4分，共32分）判斷下列函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型：是的第一類（可去）間斷點(diǎn)；是的第一類（跳躍）間斷點(diǎn)；是的第二類間斷點(diǎn)。2．若，則。3．若，則。4．設(shè)當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小，則。5．設(shè)，則其n階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處取到極小值。6．設(shè)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，則參數(shù)。7．函數(shù)的圖形有鉛垂?jié)u近線和斜漸近線。8．已知，且，則。計(jì)算與證明（共68分）（6分）解：（6分）解1：解2：設(shè)，試確定a，b，使在處可導(dǎo)，并求。（8分）解：在處可導(dǎo)因而連續(xù)，，且則求由方程所確定的函數(shù)的微分以及在處的切線方程。（8分）解：方程兩邊求微分：或切線斜率，切線方程為：即設(shè)，求以及在處的曲率半徑。（8分）解：曲率，則曲率半徑求的取值范圍，使得方程有實(shí)根。（8分）解：設(shè)故有唯一極小值點(diǎn)，極小值為。而當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根，于是，。設(shè)，試證存在，并求此極限。（6分）證：，設(shè)成立，則單調(diào)遞增。又設(shè)成立，則有上界。于是收斂。設(shè)，則，。設(shè)在上可導(dǎo)，且，試證至少存在一點(diǎn)，使。（6分）解：設(shè)在上連續(xù)，可導(dǎo)，且由羅爾定理，至少存在一點(diǎn)，使，即。求（6分）解：求（6分）