D73-重積分的應(yīng)用

1.能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn)

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法*曲頂柱體的體積§7.3.1幾何應(yīng)用*有界閉區(qū)域的體積下邊界曲面上邊界曲面任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.*例1.求曲面分析:

第一步:求切平面方程;第二步:求與S2的交線在xOy面上的投影,寫出所圍區(qū)域D;第三步:求體積V.(示意圖)任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xOy

面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)*例1.求曲面所圍成的立體的體積.解（用極坐標(biāo)）*例2.投影區(qū)域D：*例3.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為1.曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即*若光滑曲面方程為*若光滑曲面方程為隱式則則有且例4.

計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.例5.

計算半徑為a

的球的表面積.解:方法1利用柱坐標(biāo)方程.例5.

計算半徑為

a

的球的表面積.設(shè)球面方程為球面面積元素為方法2利用球坐標(biāo)方程.例6.

設(shè)在海灣中，海潮的高潮與低潮之間的差是2m.并設(shè)水平面z=0對應(yīng)于低潮的位置。求高潮與低潮時小島露出水面的面積之比。解低潮時，z=0.故積分區(qū)域D為一個小島的陸地高度(單位為m).高潮時，z=2.故積分區(qū)域D為面積比§7.3.2重積分在力學(xué)中的應(yīng)用1、質(zhì)量非均勻薄片質(zhì)量非均勻物體質(zhì)量2.物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心將分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)同理可得則得形心坐標(biāo)：若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A

為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對x

軸的

靜矩—對y

軸的

靜矩例1.求位于兩圓和的質(zhì)心.

解:

利用對稱性可知而之間均勻薄片*例2.一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲有高為

h

的均質(zhì)鋼液,解:利用對稱性可知質(zhì)心在z

軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐不計爐體的其坐標(biāo)為3.物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.類似可得:對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.例3.求半徑為a

的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.解:

取球心為原點(diǎn),z

軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例4.求均勻球體對于過球心的一條軸

l

的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))利用“先二后一”計算.1.試計算橢球體的體積V.解法1思考與練習(xí)解法2利用三重積分換元法.令則2.[P1991(3)]*3.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個的另一邊長度應(yīng)為多少?提示:

建立坐標(biāo)系如圖.由對稱性知由此解得問接上去的均勻矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圓心上,4.計算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)(t

為時間)的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時,設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),問高度為130cm

的雪堆全部融化需要多少小時?考研真題數(shù)學(xué)一