第06章-模糊規(guī)則

第六章

模糊規(guī)則CompanyLogo目錄由數(shù)值變量到語言變量語言限定詞模糊IF-THEN規(guī)則模糊規(guī)則庫CompanyLogo由數(shù)值變量到語言變量在日常生活中，變量常用詞語來描述，如，當說"今天熱"，或者說"今天的氣溫高"時，就是用詞語"高"來描述變量"今天的氣溫"。也就是說，變量"今天的氣溫"取值為"高"。當然，變量"今天的氣溫"也可以取值為250C、190C等。當一個變量取數(shù)值時，己經(jīng)有一個完善的數(shù)學體系對其進行描述。而當一個變量取語言值時，在經(jīng)典數(shù)學理論中并沒有一個正式的體系可對其進行描述。為了提供這樣一種正式體系，引入了語言變量的概念。粗略地講，如果一個變量取自然語言中的詞語為值，則稱其為語言變量?，F(xiàn)在，問題是怎樣用數(shù)學術(shù)語來描述這些詞語。這里用模糊集來描述這些詞語。于是，有下面的定義:

定義6.1如果一個變量能夠取普通語言中的詞語為值，則稱該變量為語言變量。這里，詞語由定義在論域上的模糊集合來描述，變量也是在論域上定義的。CompanyLogo由數(shù)值變量到語言變量例6.1 汽車速度是一個變量χ，其取值范圍為區(qū)間忡，V缸]，這里，V缸是汽車的最快速度。在[0，Vov]內(nèi)定義如圖6.1所示的三個模糊集"慢速"、"中速"、"快速"。如果把x看作一個語言變量，則它可取"慢速"、"中速"和"快速"為值，即"x為慢速"、"x為中速"、"x為快速"。當然，χ 圖6.1 汽車的速度作為一個語言變量也可取區(qū)間[0，VmaJ上的數(shù)值為值，如x=50mph，35mph等。

圖6.1CompanyLogo由數(shù)值變量到語言變量定義6.2 語言變量可表征為四元組(X，T，U，M)，其中? X為語言變量名稱;在例6.1中，X指汽車的速度。? T為語言變量X取值的術(shù)語集合;在例6.1中，T{慢速，中速，快速}。? U是語言變量X取值的論域;在例6.1中，U=[O，Vmax]。?M是研究X取值的語義規(guī)則，即將T中的每個語言值和U中的模糊集連接起來的語義規(guī)則;在例6.1中，M將"慢速"、"中速"、"快速"同圖6.1中的隸屬度函數(shù)連接起來。CompanyLogo由數(shù)值變量到語言變量比較定義6.1和定義6.2，可以看出，這兩種定義實際上是等價的。定義6.1更直觀些，而定義6.2則更正式些。由定義可以看出，語言變量某種意義上是數(shù)值變量的一種擴展，即允許語言變量取模糊集為值(見圖6.2)。

由數(shù)值變量到語言變量CompanyLogo由數(shù)值變量到語言變量

為什么語言變量的概念重要呢?這是因為，語言變量是人類知識表達中最基本的元素，當用傳感器測量一個變量時，傳感器會給出一個數(shù)值;而當征求專家對一個變量的評價時，專家會給出語言。例如，當使用雷達槍來測量汽車速度時，雷達槍會給出諸如39mph，42mph等數(shù)字;而當讓某個人告訴我們汽車速度時，他/她通常會說如"它開得慢"、"它開得快"等話語。因此，引入語言變量的概念就會使自然語言的模糊描述形成精確的數(shù)學描述，這是人類知識系統(tǒng)有效地嵌入工程系統(tǒng)的第一步。CompanyLogo目錄由數(shù)值變量到語言變量語言限定詞模糊IF-THEN規(guī)則模糊規(guī)則庫CompanyLogo語言限定詞根據(jù)語言變量的概念，我們可以將詞語賦給語言變量。在日常生活中，我們常用一個單詞以上的詞語來描述一個變量。例如，如果將汽車速度看做一個語言變量，則它的值可能為“不慢”，“非常慢”，“稍快”，“差不多中速”等等。一般說來，一個語言變量的取值是一個合成術(shù)語X=X1，X2…,xn，即為元辭X1，X2…,xn串接。這些元辭可以分成三類:

?基本術(shù)語，它是模糊集的說明性短語;如例6.1中，基本術(shù)語就是"慢速"、"中速"和"快速"。

?連接詞，"非"、"且"和"或"。

?限定詞，如"非常"、"稍微"、"差不多"等等。CompanyLogo語言限定詞

定義6.3令A(yù)為U上的一個模糊集合，則非常A也是一個U上的模糊集合，它可用如下隸屬度函數(shù)未定義:

μ非常A(χ)=[μA(χ)](6.1)差不多A也是U上的一個模糊集合，它可用如下隸屬度函數(shù)未定義:

μ差不多(χ)=[μA(X)](6.2)例6.2令U= {1，2，…，引，則模糊集合"小"可定義為

小=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5(6.3)然后，由式(5.1)和式(5.2)，可得

非常小=1/1+0.64/2+0.36/3+0.16/4+0.04/5 (6.4)

非常非常小=非常(非常小)=1/1+0.4096/2+O.1296/3+0.0256/4+0.0016/5(6.5)

差不多小=1/1+0.8944/2+0.7746/3+0.6325/4+0.4472/5

(6.6)21/2CompanyLogo目錄由數(shù)值變量到語言變量語言限定詞模糊IF-THEN規(guī)則模糊規(guī)則庫CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則在模糊系統(tǒng)與模糊控制中，人類知識可以用模糊IFTHEN規(guī)則來表述。一條模糊IF-THEN規(guī)則就是一個條件陳述句，它可以表述為IF<模糊命題)，THEN<模糊命題)因此，要想理解模糊IF-THEN規(guī)則，就必須先知道什么是模糊命題。CompanyLogo模糊命題有兩種類型的模糊命題(FuzzyPropositions):子模糊命題和復合模糊命題。子模糊命題是一個單獨的陳述句x為A (6.8)

這里，χ是語言變量，A是語言變量x的值(即4是一個定義在x 的論域上的模糊集合)。子模糊命題通過連接詞"且"、"或"、"非"連接起來而構(gòu)成的命題叫做復合模糊命題，這里"且"、"或"、"非"分別表示模糊交、模糊并和模糊補。如例5.1中，如果用x表示汽車的速度，則有以下模糊命題(前三個為子模糊命題，后三個為復合模糊命題):x為s(6.9)x為M(6.10)x為F(6.11)x為5或x非M(6.12)x非S或x非F(6.13)(x為5且x非F)或x為M(6.14)

這里，5、M和F分別表示模糊集"慢速"、"中速"和"快速"。CompanyLogo模糊命題

應(yīng)注意，在一個復合模糊命題中，子模糊命題是獨立的。即，對于命題(6.12)~命題(6.14)中的同一個變量x而言，X的取值可能是不同的。實際上，在復合模糊命題中的語言變量一般也是不同的。例如，令χ表示汽車速度，y=x表示汽車的加速度，如果將加速度取值為模糊集合大(L)，則有如下復合模糊命題:x為F且y為L

所以，復合模糊命題應(yīng)該被理解為一種模糊關(guān)系。那么，怎樣確定這些模糊關(guān)系的隸屬度函數(shù)呢?·CompanyLogo模糊命題?用模糊交表示連接詞"且"。具體地講，令x和y分別為定義域U和V上的語言變量，A和B分別為U和V上的模糊集合，則下面的復合模糊命題x為A且y為B(6.15)

可以解釋為UxV中的模糊關(guān)系A(chǔ)∩B①，其隸屬度函數(shù)為μA∩B(x，y)=t[μA(x)，μB(y)](6.16)其中，t:[0，1]x[0,1]→[0，1]是任意t-范數(shù)。?用模糊并表示連接詞"或"。具體地講，下面的復合模糊命題x為A或y為B(6.17)可以解釋為UxV中的模糊關(guān)系A(chǔ)UB，其隸屬度函數(shù)為μAUB(x，y)=s[μA(x)，μB(y)](6.18)其中，s:[0，1]x[0,1]→[0，1]是任意s-范數(shù)?用模糊補表示連接詞"非"。即，把非A用A來替代_CompanyLogo模糊命題例6.3模糊命題(6.14)，即FP=(X為5且x非F)或x為M(6.19)

是乘積空間[0，Vmax]中的一個模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為μFP(x1,x2,x3)=s{t[μS(x1)，c(μF(x2))],μM(x3)}(6.20)

其中，s、t和c分別表示s-范數(shù)、t-范數(shù)和模糊補算子，模糊集(其定義見圖5.1)5=慢速，M=中速，F(xiàn)=快速，x1=x2=x3=x解釋形如式(6.7)的模糊IF-THEN規(guī)則的準備工作己經(jīng)就緒。3CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋

由于模糊命題是用模糊關(guān)系未解釋的，所以剩下的關(guān)鍵問題是怎樣解釋IF-THEN的運算。在經(jīng)典命題運算中，表達式IFpTHENq可以寫成p→q，→可以看做是由表6.1所定義的一種連接，這里p和q都是命題變量，其值為真(T)或為假(F)。

表6.1CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋如果p和q的值都為真或都為假，則p→q為真;如果p的值為真，q的值為假，則p→q為假;如果p的值為假，q的值為真，則p→q為真。因此，認為p→q等價于pVq (6.21)

和(p∧q)Vp (6.22)即式(6.21)和式(6.22)與p→q都符合真值表(表6.1)的規(guī)律，這里-、∧、V和別代表(經(jīng)典)邏輯運算符"非"、"或"和"與"。__CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋由于模糊IF-THEN規(guī)則可以解釋為用模糊命題取代了p和q，所以，模糊IF-THEN規(guī)則也可以解釋為用模糊補、模糊并和模糊交來分別取代式(6.21)和式(6.22)中的-,

∨和∧算子。因為模糊補、模糊并和模糊交算子有很多種，所以文獻中提出的模糊IF-THEN規(guī)則也就有很多種不同的解釋。下面列舉了其中的一部分。將式(6.7)重寫為IF<FP1>THEN<FP2>，用FP1 和FP2來分別取代式(6.21)和式(6.22)中的p和q，這里FP1 和FP2都是模糊命題。假設(shè)FP1是一個定義在U=U1×…×Un上的模糊關(guān)系，F(xiàn)P2是一個定義在V=V1×…×Vm上的模糊關(guān)系，χ和y分別是U和V上的語言變量(向量)。CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋?Dienes-Rescher含義:把式(6.21)中的邏輯運算符和V分別用基本模糊補和基本模糊并未取代，就可得到Dienes-Rescher含義。具體地講，模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP]>THEN<FP2>，可以解釋為UxV中的一個模糊關(guān)系。D'其隸屬度函數(shù)為μQD(x,y)=max[1-μFP1(x)，μFP2(y)](6.23)?Lukasiewicz含義:。具體地講，模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP1>THEN<FP2>，可以解釋為UxV中的一個模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為μQZ(x,y)=max[1-μFP1(x)，min(μFP1(x),μFP2(y))] (6.24)?Zadeh含義:這里的模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP1>THEN<FP2>可以解釋為UxV中的一個模糊關(guān)系。z'其隸屬度函數(shù)為μQZ(X，y)=max[min(μFP1(χ)，μFP2(y))，1一μFP1(χ)] (6.25)CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋G?del含義:G?del含義是經(jīng)典邏輯中一個眾所周知的含義公式。通過將其推廣至模糊命題，得到的模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP1>THEN<FP2>可以解釋為UxV中的一個模糊關(guān)系QG，其隸屬度函數(shù)為

μQG（x,y）=(5.26)1

μFP1(x)≤

μFP1(x)

μFP1(y)其他

CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋Mamdani含義:模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP1>THEN<FP2>可以解釋為U×V中的一個模糊關(guān)系QMM

或QMP

其隸屬度函數(shù)為μQMM

（x,y）=min[μFPl(x)，μFP2(y)] (5.27)μQMP(x.y)=μFPl(x)μFP2(y) (5.28)Mamdani含義是在模糊系統(tǒng)與模糊控制中使用最廣泛的含義。其成立的論據(jù)是，模糊IF-THEN規(guī)則為局部含義。盡管，也許有一些人不同意這一觀點。如，有人可能認為，當說"速度快則阻力很大"時，其內(nèi)在含義是"速度慢則阻力小"。從這個意義上講，模糊 IF-THEN規(guī)則又是非局部的。這種爭論表明，當用模糊IF-THEN規(guī)則來表述人類的知識時，不同的人會有不同的解釋。因此，要求用不同的含義來處理不同的問題。例如，如果專家認為其規(guī)則是局部的，則會使用Mamdani含義;否則就會考慮全局含義式(5.23) 式(5.26)CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋例令U= {1，2，3，4}，V= {1，2，3}。假設(shè)己知x∈U是y∈V的逆命題。為描述這

一知識，可以使用下面的模糊IF-THEN規(guī)則:如果x為大，則y為小(1)這里，模糊集"大"和"小"的定義如下:

大=0/1+0.1/2+0.5/3+1/4 (2)小=1/1+0.5/2+0.1/3 (3)如果使用Dienes-Rescher含義，則模糊IF-THEN規(guī)則(1)就可以表述為如下UxV中的模糊關(guān)系QD

QD=1/(1，1)+1/(1，2)+1/(1，3)+1/(2，1+)0.9/(2，2)+0.9/(2，3)+1/(3，1)+0.5/(3，2)+0.5/(3，3)+1/(4，1+)0.5/(4，2)+0.1/(4，3) (4)CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋如果使用Lukasiewicz含義，則規(guī)則(1)就變成了QL=1/(1，1)+1/(1，2)+1/(1，3)+1/(2,1+)1/(2,2)+1/(2,3)+1/(3,1)+1/(3,2)+0.6/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0.1/(4,3) (5)如果使用Zadeh含義和G?del含義，則有Qz=l/(1,1)+1/(1,2)+1/(1,3)+0.9/(2,1)+0.9/(2,2)+0.9/(2,3)+0.5/(3,1)+0.5/(3,2)+0.5/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0.1/(4,3)(6)QG=l/( 1，1)+1/(1，2)+1/(1，3)+1/(2，1+)1/(2，2)+1/(2，3)+1/(3，1)+1/(3，2)+0.1/(3，3)+1/(4，1)+0.5/(4，2)+0.1/(4，3) (7)

最后，如果使用Mamdani含義，則模糊IF-THEN規(guī)則(1)就變成了QMM=0/(1,1)+0/(1,2)+0/(1,3)+0.1/(2,1)+0.1/(2,2)+0.1/(2,3)+0.5/(3,1)+0.5/(3,2)+0.1/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0.1/(4,3)(8)

QMP=0/(1,1)+0/(1，2)+0/(1，3)+0.1/(2，1)+0.05/(2，2)+0.01/(2，3)+0.5/(3，1+)0.25/(3，2)+0.05/(3，3)+1/(4，1)+0.5/(4，2)+0.1/(4,3) (9)CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋由式(4)式(9)可以看出，對于不包含在規(guī)則式(1)之內(nèi)的數(shù)據(jù)對，即(1，1)，(1，2)和(1，3)(因為μ大(1)=0)，QD，QL，Qz和Qc給出的隸屬度值是1，而QMM

和QMP

給出的隸屬度值是0。這同前面的結(jié)論，Dienes-Rescher含義、Lukasiewicz含義，Zadeh含義以及G?del含義為全局含義，而Mamdani含義為局部含義的結(jié)論是一致的。CompanyLogo目錄由數(shù)值變量到語言變量語言限定詞模糊IF-THEN規(guī)則模糊規(guī)則庫CompanyLogo模糊規(guī)則庫-結(jié)構(gòu)模糊規(guī)則庫是由模糊IF-THEN規(guī)則集合組成的。它是模糊系統(tǒng)的核心，從這個意義上講，模糊系統(tǒng)的其他組成部分都是以一種合理而有效的方式來執(zhí)行這些規(guī)則的。具體地講，模糊規(guī)則庫是由以下模糊IF-THEN規(guī)則組成的:Rμ:如果X1為A1; 且…且xn為An，則y為B (7.1)其中，Ai;和B分別是UiCR和VCR上的模糊集合，X=(x1，x2，…，Xn)∈U和y∈V分別是模糊系統(tǒng)的輸入和輸出(語言)變量。令M為模糊規(guī)則庫式(7.1)中的規(guī)則數(shù)目，即l=1，2，…，M。將形如式(7.1)的規(guī)則叫做標準模糊IF-THEN規(guī)則，因為正如下面的引理所表明的那樣，它包含了許多其他類型的模糊規(guī)則及特殊的模糊命題。（l）lllllTCompanyLogo模糊規(guī)則庫-結(jié)構(gòu)引理7形如式(7.1)的標準模糊IF-THEN規(guī)則包含了下列特例:(a)"不完整規(guī)則"

如果x1為A1;且…且Xm

為Am

，則y為B(7.2)其中，m<n(b)"或規(guī)則"如果x1為A1;且…且Xm

為Am

或Xm+1或Am+1且…且Xn為An，則y為B

(7.3)

llllllllllCompanyLogo模糊規(guī)則庫-結(jié)構(gòu)(c)單一模糊陳述y為B(7.4)(d)"逐級變化規(guī)則"x越小，則y越大(7.5)(e)非模糊規(guī)則(即傳統(tǒng)的擴展規(guī)則)lCompanyLogo模糊規(guī)則庫-特性

因為模糊規(guī)則庫是由規(guī)則集合組成的，所以這些規(guī)則之間的關(guān)系及規(guī)則整體都蘊涵著有趣的問題。如，這些規(guī)則涵蓋了模糊系統(tǒng)所有可能面對的情況了嗎?這些規(guī)則之間有沖突嗎?為回答這些問題，引入下列概念定義7.1 如果對任意x∈U，在模糊規(guī)則庫中都至少存在一條規(guī)則，稱之為規(guī)則Ru[形如規(guī)則(7.1)]，對于所有i=1，2，…，n都滿足

μAl(xi)≠0。

則稱這個模糊IF-THEN規(guī)則集合是完備的。直觀地講，一個規(guī)則集合的完備性表明，輸入空間中的任意點上都至少存在一條可用規(guī)則。也就是說，規(guī)則的IF部分的隸屬度值在這一點上是非零的

(l)CompanyLogo模糊規(guī)則庫-特性例7.1考慮U=U1xU2=[0，1J]x[0，1]和V=[0，1]上的一個二維輸入一維輸出模糊系統(tǒng)。在U1

上定義三個模糊集合同S1，M1

，L1

，在U2上定義兩個模糊集合S2，L2(見圖7.2)。為了保證模糊規(guī)則庫的完備性，該模糊規(guī)則庫必須