第三章矩陣秩與線性方程組

矩陣的秩齊次線性方程組非齊次線性方程組第三章矩陣的秩與線性方程組§1矩陣的秩秩：書(shū)面語(yǔ)，次序。也就是說(shuō)，無(wú)論世界如何斗轉(zhuǎn)星移、“我自巍然不動(dòng)”的本質(zhì)性的東西。因此，矩陣的秩應(yīng)該指的是矩陣變換過(guò)程中保持不變的東西，是矩陣經(jīng)過(guò)“千錘百煉”后“提取”出來(lái)的“黃金”。

越是本質(zhì)的東西越難以理解。關(guān)于秩，若能說(shuō)出個(gè)“子戊寅卯”來(lái)，線性代數(shù)也就掌握的“八九不離十”了。例1

解線性方程組一、淘金記---矩陣秩的概念方程的個(gè)數(shù)不等于未知數(shù)個(gè)數(shù)，無(wú)法用克萊姆法則，我們回到“原點(diǎn)”，用消元法(即矩陣的初等行變換法)來(lái)求解。消去消去由得，代入，得，再代入，得。方程組有唯一解！這里方程變成了恒等式是個(gè)冗余方程。用矩陣表示，就是增廣矩陣作了下列初等行變換：增廣矩陣變成了行階梯矩陣。行階梯矩陣示例：例2解線性方程組消去這里方程變成了矛盾式是個(gè)矛盾方程。所以此例中的方程組是不相容方程組。方程組無(wú)解！消去用矩陣表示，就是增廣矩陣作了下列初等行變換：增廣矩陣仍然變成了行階梯矩陣。例3解線性方程組消去解得方程組有無(wú)窮個(gè)解！所以此例中的方程組是不定方程組。用矩陣表示，就是增廣矩陣作了下列初等行變換：增廣矩陣仍然變成了行階梯矩陣。另外，例3也說(shuō)明，方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組未必有唯一解。要保證唯一解，必須加上約束條件。這個(gè)事實(shí)最早是歐拉在解決所謂克萊姆悖論時(shí)注意到的。一般地，對(duì)于線性方程組經(jīng)過(guò)一系列行初等變換，并適當(dāng)交換未知數(shù)的位置，線性方程組可化成

這里是的某個(gè)排列結(jié)論：?jiǎn)栴}：用矩陣表示，就是增廣矩陣經(jīng)過(guò)了一系列初等行變換，變成了行階梯形矩陣。并且如果再經(jīng)過(guò)列交換變換后，可以將行階梯矩陣的左上角化成三角陣。為討論方便，不妨假定左上角已化成三角陣，即同時(shí)左上角的階子矩陣顯然可逆（其行列式不為零,因?yàn)槌醯茸儞Q不改變方陣的奇異性），雖然該矩陣中的行號(hào)已“不可考”。但其階數(shù)這個(gè)信息已經(jīng)足夠了。定義4對(duì)給定的矩陣，任取其行列（），位于交叉位置上的個(gè)元素可按原來(lái)的相對(duì)位置構(gòu)成矩陣，稱為的子矩陣。的階方子矩陣的行列式稱為矩陣的階子式。顯然要求定義5對(duì)給定的矩陣，稱其一切非零的子式（顯然此時(shí)相應(yīng)的方子矩陣不可逆）的最高階數(shù)為矩陣的秩，記為。并規(guī)定零矩陣的秩為。(Frobenius,1879)對(duì)于階方陣，就是。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。此時(shí)，也稱方陣為滿秩陣。根據(jù)秩的定義，顯然特別地，因此滿秩陣就是可逆陣。另外，例6

求矩陣的秩。由于3階非零子式解：而所有四階子式必定都包含第四行，因而全為零。這個(gè)矩陣是一個(gè)行階梯形矩陣，顯然從階梯數(shù)即非零行的個(gè)數(shù)上就能直觀看出它的秩是3。所以。定義7

對(duì)給定的矩陣稱為行階梯形矩陣，如果它滿足下列兩個(gè)條件：(1)某行是零行（即沒(méi)有非零元），則其下所有行（如果有的話）都是零行；(2)某行是非零行，則其首非零元的列號(hào)必大于上一行(如果有的話)首非零元所在的列號(hào)。定義8首非零元均為1，且首非零元所在列無(wú)其他非零元的行階梯形矩陣，稱為行最簡(jiǎn)形矩陣。行最簡(jiǎn)矩陣示例：二、矩陣秩的計(jì)算顯然用定義計(jì)算一般大型矩陣的秩，很不方便。然而當(dāng)矩陣是行階梯形矩陣時(shí)，可以通過(guò)數(shù)非零行的個(gè)數(shù)“數(shù)”出矩陣的秩。所以能不能把一般矩陣“變”成行階梯形矩陣呢？這里有兩個(gè)問(wèn)題：（1）一般矩陣能不能“變”成行階梯形矩陣？（2）變換是保秩的嗎？即變換前后的矩陣是否同秩？下面的兩個(gè)定理回答了這這兩個(gè)問(wèn)題。定理9任意矩陣必可以通過(guò)有限次行（列）初等變換化成行（列）階梯形矩陣。定理10

的必要條件是證明：必要性見(jiàn)教材。充分性的反例如下：由于可逆陣（即滿秩陣）是初等矩陣的乘積，故有推論1

是任一矩陣，分別是階滿秩陣，則

行（列）階梯形矩陣顯然可以繼續(xù)行、列變換最終變成標(biāo)準(zhǔn)形，此時(shí)有推論2

如果任意矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形分解為則必有實(shí)際計(jì)算矩陣的秩時(shí)，顯然不必把矩陣變換到標(biāo)準(zhǔn)形，只需要把矩陣變換到行（列）階梯形就足夠了。例11

求矩陣的秩，并求出的一個(gè)最高階非零子式。解：(1)

階梯形矩陣有三個(gè)非零行，因此（2）由于，所以的非零最高階子式為3階。然而的3階子式共有個(gè)?？疾?/p>

的階梯形矩陣。很容易注意到階梯形矩陣中，首元所在的列中有一個(gè)3階非零子式。由于我們只進(jìn)行了初等行變換，這說(shuō)明了階梯形矩陣中的首元列是由矩陣的相應(yīng)列變來(lái)的。令因此，所以有三階非零子式，經(jīng)計(jì)算可知的左上角的三階子式非零，因此所求為思考：因?yàn)榈淖罡唠A非零子式不唯一，所以如果令，能否得到最高階非零子式？如果令，情況又如何？試根據(jù)的行階梯形矩陣給出的所有最高階非零子式。%rank1.mfunctionb=rank1(A)%A為輸入矩陣，b為非零行個(gè)數(shù)[m,n]=size(A);U=rref(A);%將矩陣A化為階梯形矩陣Ub=0;%b是計(jì)數(shù)器fori=1:mifany(U(i,:))%內(nèi)置函數(shù)any(v),只要向量v中有非0就取1，否則取0

b=b+1;endendb%rank2.mfunctionb=rank2(A)%A為輸入矩陣，b為主元個(gè)數(shù)[m,n]=size(A);[U,ip]=rref(A);%將矩陣A化為階梯形矩陣Ub=length(ip);%ex3111.mA=[32050;3-236-1;2015-3;16-4-14];

r=rank(A)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)rank矩陣A的秩

%r1=rank1(A)%調(diào)用自定義函數(shù)rank1計(jì)算矩陣A的秩%r2=rank2(A)%調(diào)用自定義函數(shù)rank2計(jì)算矩陣A的秩[UC,ip]=rref(A)%rref(A)將矩陣A化為最簡(jiǎn)形UC，ip按升序返回%首元所在列號(hào)

L=length(ip);B=A(1:L,ip)%矩陣B對(duì)應(yīng)的行列式就是欲求的一個(gè)最高子式det(B)例12

已知矩陣問(wèn)為何值時(shí)，解：因此，時(shí)；

時(shí)；

時(shí)。例13

已知是矩陣，是矩陣。證明：證明*：由題，存在可逆矩陣，分別將化成行標(biāo)準(zhǔn)形，即有并且從而的非零行數(shù)+的非零行數(shù)例14

已知是矩陣，是矩陣。證明：證明*：例15

已知是矩陣，是矩陣。證明：證明*：由題，存在可逆矩陣，將化成行標(biāo)準(zhǔn)形，即有令，則從而所以又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?/p>

矩陣秩的總結(jié)(6)的證明*：設(shè)。將化為標(biāo)準(zhǔn)形，即存在可逆陣，使從而

為矩陣，其中

為矩陣。且由于，所以由于可逆，所以有及再由及知因此與很多問(wèn)題類似,數(shù)值軟件中計(jì)算矩陣秩(所謂數(shù)值秩)采用的方法不是初等行變換法,而是利用所謂的奇異值分解(SVD,SingularValueposition）。有興趣的同學(xué)請(qǐng)查閱相關(guān)文獻(xiàn)。經(jīng)過(guò)一系列行初等變換，并適當(dāng)交換未知數(shù)的位置，線性方程組可化成

§2齊次線性方程組上節(jié)我們看到，一般地，對(duì)于線性方程組這里是的某個(gè)排列當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為零時(shí)，得到齊次線性方程組經(jīng)過(guò)一系列行初等變換，并適當(dāng)交換未知數(shù)的位置，線性方程組可化成

這里是的某個(gè)排列I

、當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解，即

零解，也稱平凡解。II、當(dāng)時(shí)，方程組有非零解。由于，方程組始終有解，因此，其結(jié)論變成既然是系數(shù)矩陣的秩，所以我們有定理1

（齊次線性方程組解的判定定理）

元齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩，并且其通解式中帶有個(gè)參數(shù)。這個(gè)重要結(jié)論是由弗羅貝尼烏斯在1870年代得出的。顯然定理1的必要性是克萊姆法則的推廣，充分性則包含了克萊姆法則的逆定理。根據(jù)定理1，求解齊次線性方程組時(shí)，只需先把它的系數(shù)矩陣化成行階梯矩陣或行最簡(jiǎn)矩陣，就可以求出它的通解了。例2

解齊次線性方程組解：由行最簡(jiǎn)矩陣，得同解方程組原方程組有非零解。令得通解即得方程組的通解表達(dá)式%ex3202.mA=[32050;3-236-1;2015-3;16-4-14];

Z=null(A,‘r’)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)null，返回的矩陣Z中按列存放基礎(chǔ)解系%參數(shù)‘r’的作用是什么呢？基礎(chǔ)解系中的兩個(gè)基向量！Z=-1/2-7/23/41/4100201例3

解齊次線性方程組解：由行最簡(jiǎn)矩陣，得同解方程組原方程組有無(wú)窮個(gè)解。令得通解即通解為例4

解齊次線性方程組解：由行最簡(jiǎn)矩陣，得同解方程組原方程組有無(wú)窮個(gè)解。得通解令原方程組有無(wú)窮個(gè)解。由行最簡(jiǎn)矩陣，得同解方程組可得到與II類似的結(jié)論。也可得到與II類似的結(jié)論。令得通解原方程組只有零解。例5*

設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，且存在三階方陣，使得求：（1）的值；（2）的行列式。解：（1）由且知，的非零列都是線性方程組的非零解，因此因此解：因此由于，所以從而這說(shuō)明矩陣不滿秩，由于是方陣，故（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)。例6（人口流動(dòng)問(wèn)題）設(shè)某小城市共有30萬(wàn)人從事工、農(nóng)、商三業(yè)。假定這個(gè)總?cè)藬?shù)始終保持不變。社會(huì)調(diào)查顯示：（1）目前有15萬(wàn)人務(wù)農(nóng)，9萬(wàn)人務(wù)工，6萬(wàn)人經(jīng)商；（2）在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有20%改為務(wù)工，10%改為經(jīng)商；（3）在務(wù)工人員中，每年約有20%改為務(wù)農(nóng)，10%改為經(jīng)商；（4）在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，10%改為務(wù)工。如果向量表示第年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，那么由已知有初始向量根據(jù)題意，1年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)應(yīng)為即這里矩陣稱為遷移矩陣（migrationmatrix）.同樣地,顯然可見(jiàn),也就是馬爾可夫鏈(MarkovChain)的平衡向量（equilibriumvector）為。事實(shí)上,由得即得齊次線性方程組因此得同解方程組令得通解本題中經(jīng)過(guò)一系列行初等變換，并適當(dāng)交換未知數(shù)的位置，線性方程組可化成

前面我們看到，一般地，對(duì)于線性方程組§3非齊次線性方程組這里是的某個(gè)排列因而有如下結(jié)論：定理1

（非齊次線性方程組解的判定定理）

元非齊次線性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即既然是系數(shù)矩陣的秩，所以我們有這個(gè)定理的部分結(jié)果是由道吉森在1867年給出的。*證明:必要性。當(dāng)非齊次線性方程組有解時(shí)，如果，那么在中應(yīng)有一個(gè)矛盾方程，方程組無(wú)解，顯然這與原方程組有解相矛盾。所以只能有*證明:充分性。設(shè)，則的行階梯形矩陣中只有個(gè)非零行，從而知其含有個(gè)自由未知量。所以由方程組，得令，利用回代，顯然可以得到含有這個(gè)自由未知量的解，也就是非齊次方程組的通解式。證畢。根據(jù)此定理，求解非齊次線性方程組時(shí)，也只需先把它的增廣矩陣化成行階梯矩陣或行最簡(jiǎn)矩陣，就可以判斷方程組解的狀態(tài)，并在有解時(shí)求出它的解了。實(shí)際求解非齊次線性方程組時(shí)，我們使用下面的定理來(lái)具體討論解的各種狀態(tài)。定理2

（非齊次線性方程組解的判定定理）對(duì)元非齊次線性方程組，有：（1）時(shí)方程組無(wú)解；（2）時(shí)方程組有解。并且

時(shí)方程組有唯一解；時(shí)方程組有無(wú)窮個(gè)解，并且其通解式中含有個(gè)自由未知量。矩秩一出天下白定理2也可以從幾何上加以解釋。對(duì)于線性方程組每個(gè)方程表示一個(gè)平面。因此方程組是否有解就相當(dāng)于兩個(gè)平面有沒(méi)有交點(diǎn)。用和表示方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣。（1）時(shí)，的兩行對(duì)應(yīng)成比例，因而兩平面重合。方程組有（無(wú)數(shù)）解。（2）而時(shí)，的兩行對(duì)應(yīng)成比例，因而兩平面平行。但的兩行不對(duì)應(yīng)成比例，因此兩平面不重合。兩平面沒(méi)有交點(diǎn)。方程組無(wú)解。（3）時(shí)顯然，的兩行不對(duì)應(yīng)成比例，兩平面不平行，因而一定相交于一直線。方程組有（無(wú)數(shù)）解。例3

解非齊次線性方程組解：上一節(jié)例2中已求得導(dǎo)出組的通解為令，則下求此非齊次線性方程組的一個(gè)特解。解得即得非齊次線性方程組的一個(gè)特解所以非齊次線性方程組的通解為%ex3303.mA=[32050;3-236-1;2015-3;16-4-14];b=[-2-8-610]’

%調(diào)用自定義函數(shù)gsolution(A,b)%返回值中，x0為特解，矩陣Z中按列存放對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系[x0,Z]=gsolution(A,b)x0=210-20基礎(chǔ)解系中的兩個(gè)基向量！Z=-1/2-7/23/41/4100201例4解非齊次線性方程組所以原方程組有唯一解%ex3304.mA=[11-1;21-3;1-21;31-5]；b=[31-2-1]‘

%調(diào)用自定義函數(shù)gsolution(A,b)%返回值中，x0為特解，矩陣Z中%按列存放對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組%的基礎(chǔ)解系[x0,Z]=gsolution(A,b)x0=232Z=

Emptymatrix:3-by-0沒(méi)有基礎(chǔ)解系！即基礎(chǔ)解系為空集！（1）有唯一解；（2）無(wú)解；（3）有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮個(gè)解時(shí)求出通解。例5

為何值時(shí)，非齊次方程組解法一：方程組有唯一解。方程組無(wú)解。方程組有無(wú)窮組解。此時(shí)即令，所以原方程組的通解為驗(yàn)算可知，為非齊次方程組的解（特解），則為此齊次方程組的通解。

時(shí)原方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組為：顯然這與二階線性非齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)類似，這并不是偶然的。相關(guān)解釋見(jiàn)第四章。解法二：由于系數(shù)矩陣為方陣，因此也可以先通過(guò)求行列式獲知參數(shù)的取值情況。由克萊姆法則可知，方程組有唯一解。系數(shù)行列式不為零。方程組變成此時(shí)方程組無(wú)解。方程組變成方程組有無(wú)窮多解。令，所以原方程組的通解為此時(shí)有同解方程組解法二的優(yōu)點(diǎn)是增廣矩陣不含字母，進(jìn)行行初等變換比解法一方便，但先需計(jì)算含字母參數(shù)的行列式，同時(shí)只能針對(duì)方程組，另外可能需要根據(jù)字母參數(shù)的不同取值，多次變換類似的增廣矩陣。解法一則邏輯性較強(qiáng)。兩法