第1章 矢量分析upan

序論

一、電磁場理論的主要研究領(lǐng)域二、電磁場理論發(fā)展簡史三、電磁場理論的主要研究對象四、學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求作為理論物理學(xué)的一個重要研究分支，主要致力于統(tǒng)一場理論和微觀量子電動力學(xué)的研究。電磁

場的

主要

研究

領(lǐng)域

作為無線電技術(shù)的理論基礎(chǔ)，集中于三大類應(yīng)用問題的研究。一、電磁場理論的主要研究領(lǐng)域三大類應(yīng)用問題：?

電磁場（或電磁波）作為能量的一種形式，是當(dāng)今世界最重要的能源，其研究領(lǐng)域涉及電磁能量的產(chǎn)生、儲存、變換、傳輸和綜合利用。?電磁波作為信息傳輸?shù)妮d體，成為當(dāng)今人類社會發(fā)布和獲取信息的主要手段，主要研究領(lǐng)域為信息的產(chǎn)生、獲取、交換、傳輸、儲存、處理、再現(xiàn)和綜合利用。?電磁波作為探測未知世界的一種重要手段，主要研究領(lǐng)域為電磁波與目標(biāo)的相互作用特性、目標(biāo)特征的獲取與重建、探測新技術(shù)等。

二、電磁場理論發(fā)展簡史

1．電磁場理論的早期研究

電、磁現(xiàn)象是大自然最重要的現(xiàn)象，也最早被科學(xué)家們關(guān)心和研究的物理現(xiàn)象，其中貢獻(xiàn)最大的有來頓、富蘭克林、伏打等科學(xué)家。

19世紀(jì)以前，電、磁現(xiàn)象作為兩個獨立的物理現(xiàn)象，沒有發(fā)現(xiàn)電與磁的聯(lián)系。但是由于這些研究（特別是伏打1799年發(fā)明了電池），為電磁學(xué)理論的建立奠定了基礎(chǔ)。伏打2．電磁場理論的建立18世紀(jì)末期，德國哲學(xué)家謝林認(rèn)為，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他認(rèn)為電就是宇宙的活力，是宇宙的靈魂；電、磁、光、熱是相互聯(lián)系的。奧斯特是謝林的信徒，他從1807年開始研究電磁之間的關(guān)系。1820年，他發(fā)現(xiàn)電流以力作用于磁針。

安培發(fā)現(xiàn)作用力的方向和電流的方向以及磁針到通過電流的導(dǎo)線的垂直線方向相互垂直，并定量建立了若干數(shù)學(xué)公式。法拉第在謝林的影響下，相信電、磁、光、熱是相互聯(lián)系的。奧斯特1820年發(fā)現(xiàn)電流以力作用于磁針后，法拉第敏銳地意識到，電可以對磁產(chǎn)生作用，磁也一定能夠?qū)﹄姰a(chǎn)生影響。1821年他開始探索磁生電的實驗。1831年他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)磁捧插入導(dǎo)體線圈時；導(dǎo)線圈中就產(chǎn)生電流。這表明，電與磁之間存在著密切的聯(lián)系。

麥克斯韋深入研究并探討了電與磁之間發(fā)生作用的問題，發(fā)展了場的概念。在法拉第實驗的基礎(chǔ)上，總結(jié)了宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律，引進(jìn)位移電流的概念。這個概念的核心思想是：變化著的電場能產(chǎn)生磁場；與變化著的磁場產(chǎn)生電場相對應(yīng)。在此基礎(chǔ)上提出了一套偏微分方程來表達(dá)電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，稱為麥克斯韋方程組，是經(jīng)典電磁學(xué)的基本方程。3．電磁場理論的應(yīng)用和發(fā)展

1887年，德國科學(xué)家赫茲用火花隙激勵一個環(huán)狀天線，用另一個帶隙的環(huán)狀天線接收，證實了麥克斯韋關(guān)于電磁波存在的預(yù)言，這一重要的實驗導(dǎo)致了后來無線電報的發(fā)明。從此開始了電磁場理論應(yīng)用與發(fā)展時代，并且發(fā)展成為當(dāng)代最引人注目的學(xué)科之一。赫茲發(fā)現(xiàn)電磁波的實驗早在1862年，年僅31歲的英國物理學(xué)家麥克斯韋就從理論上科學(xué)地預(yù)言了電磁波的存在，但是他本人并沒有能夠用實驗證實。一些對電磁波理論持反對態(tài)度的人不斷發(fā)難：“誰見過電磁波？它是什么樣子？拿出來看看！”第一個證明電磁波存在的是德國物理學(xué)家赫茲。1888年2月，他用自己設(shè)計的儀器完成了這一轟動科技界的實驗。

1886年，29歲的赫茲在做放電實驗時，偶然發(fā)現(xiàn)身邊的一個線圈兩端發(fā)出電火花，原來是一個個小火花在迅速地來回跳躍。他想到，這可能與電磁波有關(guān)。后來，他制作了一個十分簡單而又非常有效的電磁波探測器──諧振環(huán)，就是把一根粗銅絲彎成環(huán)狀，環(huán)的兩端各連一個金屬小球，球間距離可以調(diào)整。最初，赫茲把諧振環(huán)放在放電的萊頓瓶（一種早期的電容器）附近，反復(fù)調(diào)整諧振環(huán)的位置和小球的間距，終于在兩個小球間閃出電火花。赫茲認(rèn)為，這種電火花是萊頓瓶放電時發(fā)射出的電磁波，被諧振環(huán)接收后而產(chǎn)生的。后來，赫茲又用諧振環(huán)接收其他裝置產(chǎn)生的電磁波，諧振環(huán)中也發(fā)出了電火花。所以，諧振環(huán)就好像收音機(jī)一樣，它是電磁波的接收器。就這樣，人們懷疑并期待已久的電磁波終于被實驗證明了。

1888年2月13日，赫茲在柏林科學(xué)院，將他的實驗結(jié)果公布于世。使整個科技界為之震動。赫茲實驗不僅證明了電磁波的存在，同時也導(dǎo)致了無線電通信的產(chǎn)生，開辟了電子技術(shù)的新紀(jì)元。赫茲在1894年元旦去世，終年不到37歲。但是，赫茲對人類的貢獻(xiàn)是不朽的，人們?yōu)榱擞肋h(yuǎn)紀(jì)念他，就把頻率的單位定為“赫茲”。有線電話

1876年,美國A.G.貝爾在美國建國100周年博覽會上展示了他所發(fā)明的有線電話。此后,有線電話便迅速普及開來。無線電報

1895年，意大利馬可尼成功地進(jìn)行了2.5公里距離的無線電報傳送實驗。1896年，波波夫進(jìn)行了約250米距離的類似試驗,1899年,無線電報跨越英吉利海峽的試驗成功；1901年，跨越大西洋的3200公里距離的試驗成功。馬可尼以其在無線電報等領(lǐng)域的成就，獲得了1909年的諾貝爾獎金物理學(xué)獎。無線電報的發(fā)明，開始了利用電磁波時期。廣播

1906年，美國費森登用50千赫頻率發(fā)電機(jī)作發(fā)射機(jī)，用微音器接入天線實現(xiàn)調(diào)制，使大西洋航船上的報務(wù)員聽到了他從波士頓播出的音樂。1919年，第一個定時播發(fā)語言和音樂的無線電廣播電臺在英國建成。次年，在美國的匹茲堡城又建成一座無線電廣播電臺。電視

1884年，德國尼普科夫提出機(jī)械掃描電視的設(shè)想，茲沃霄金在1923和1924年相繼發(fā)明了攝像管和顯像管。1927年，英國貝爾德成功地用電話線路把圖像從倫敦傳至大西洋中的船上。1931年，他組裝成世界上第一個全電子電視系統(tǒng)。雷達(dá)（RadioDetectionandRanging）二次世界大戰(zhàn)前夕，飛機(jī)成為主要進(jìn)攻武器。英、美、德、法等國競相研制一類能夠早期警戒飛機(jī)的裝置。1936年，英國的瓦特設(shè)計的警戒雷達(dá)最先投入了運行。有效地警戒了來自德國的轟炸機(jī)。1938年，美國研制成第一部能指揮火炮射擊的火炮控制雷達(dá)。1940年，多腔磁控管的發(fā)明，微波雷達(dá)的研制成為可能。1944年，能夠自動跟蹤飛機(jī)的雷達(dá)研制成功。1945年，能消除背景干擾顯示運動目標(biāo)的顯示技術(shù)的發(fā)明,使雷達(dá)更加完善。在整個第二次世界大戰(zhàn)期間,雷達(dá)成了電磁場理論最活躍的部分。衛(wèi)星通信技術(shù)

1958年,美國發(fā)射低軌的“斯科爾”衛(wèi)星成功,這是第一顆用于通信的試驗衛(wèi)星。1964年,借助定點同步通信衛(wèi)星首次實現(xiàn)了美、歐、非三大洲的通信和電視轉(zhuǎn)播。1965年,第一顆商用定點同步衛(wèi)星投入運行。1969年,大西洋、太平洋和印度洋上空均已有定點同步通信衛(wèi)星,衛(wèi)星地球站已遍布世界各國，這些衛(wèi)星地球站又和本國或本地區(qū)的通信網(wǎng)接通。衛(wèi)星通信經(jīng)歷10年的發(fā)展，終趨于成熟。衛(wèi)星定位技術(shù)

1957年衛(wèi)星發(fā)射成功后，人們試圖將雷達(dá)引入衛(wèi)星，實現(xiàn)以衛(wèi)星為基地對地球表面及近地空間目標(biāo)的定位和導(dǎo)航。1958年底，美國開始研究實施這一計劃，于1964年研究成功子午儀衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。1973年美國提出了由24顆衛(wèi)星組成的實用系統(tǒng)新方案，即GPS計劃。它是英文NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem的字頭縮寫NAVSTAR/GPS的簡稱，其含義是利用導(dǎo)航衛(wèi)星進(jìn)行測時和測距。1990年最終的GPS方案是由21顆工作衛(wèi)星和3顆在軌備用衛(wèi)星組成。超導(dǎo)技術(shù):是研究物質(zhì)在超導(dǎo)狀態(tài)下的性質(zhì)、功能以及超導(dǎo)材料、超導(dǎo)器件的研制、開發(fā)和應(yīng)用的技術(shù)。某些物質(zhì)在溫度降低到一定值時電阻會完全消失，這種現(xiàn)象稱為超導(dǎo)電性。具有超導(dǎo)電性的物質(zhì)稱為超導(dǎo)材料或超導(dǎo)體。超導(dǎo)材料包括金屬低溫超導(dǎo)材料、陶瓷高溫超導(dǎo)材料和有機(jī)超導(dǎo)材料等。超導(dǎo)技術(shù)的應(yīng)用可分成三類：一、用超導(dǎo)材料作成磁性極強的超導(dǎo)磁鐵，用于核聚變研究和制造大容量儲能裝置、高速加速器、超導(dǎo)發(fā)電機(jī)和超導(dǎo)列車，以解決人類的能源和交通問題；二、用超導(dǎo)材料薄片制作約瑟夫遜器件，用于制造高速電子計算機(jī)和靈敏度極高的電磁探測設(shè)備；三、用超導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場來研究生物體內(nèi)的結(jié)構(gòu)及用于對人的各種復(fù)雜疾病的治療。超導(dǎo)核磁共振層析成像儀

超導(dǎo)計算機(jī)

超導(dǎo)磁懸浮列車

光纖：即為光導(dǎo)纖維的簡稱。光纖通信是以光波作為信息載體,以光纖作為傳輸媒介的一種通信方式。從原理上看,構(gòu)成光纖通信的基本物質(zhì)要素是光纖、光源和光檢測器。

電子對抗技術(shù)包括電子對抗偵察技術(shù)、電子干擾技術(shù)、電子防御技術(shù)和反輻射摧毀技術(shù)等。按其運用領(lǐng)域，也可分為雷達(dá)對抗技術(shù)、通信對抗技術(shù)和光電對抗技術(shù)等。電子對抗偵察技術(shù)包括對敵方電磁輻射信號的截獲、測量、信號處理、識別、威脅判斷，以及對輻射源測向、定位等技術(shù)。電子干擾技術(shù)包括有源干擾技術(shù)和無源干擾技術(shù)。電子防御技術(shù)包括各種反電子偵察、反電子干擾和抗反輻射摧毀等技術(shù)。反輻射摧毀技術(shù)包括對輻射源精確定位技術(shù)和導(dǎo)引技術(shù)等。

三、學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求

掌握宏觀電磁場的基本屬性和運動規(guī)律掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法了解宏觀電磁場的主要應(yīng)用領(lǐng)域及其原理第一章矢量分析本章內(nèi)容1.1

矢量代數(shù)1.2矢量場的通量與散度1.3矢量場的環(huán)流與旋度1.4無旋場與無散場1.5拉普拉斯算子1.6標(biāo)量場的梯度1.7三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.8亥姆霍茲定理1.標(biāo)量和矢量標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。如：數(shù)字、溫度等。1.1矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。如：電場強度E、磁場強度H、速度V等。

矢量的幾何表示用坐標(biāo)分量表示矢量：zxy3個坐標(biāo)軸的投影：3個坐標(biāo)軸的單位向量：矢量的大小或模：矢量的單位矢量：矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

常矢量：大小和方向均不變的矢量。如：重力。

zxy矢量的幾何表示（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運算矢量的加法矢量的減法

在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律①標(biāo)量乘矢量②矢量的標(biāo)量積（點乘）q矢量與的夾角——矢量的標(biāo)積符合交換律（2）矢量的乘法運算③矢量的矢量積（叉乘）qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則④矢量的混合運算——

分配律——

分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積公式右邊為“BAC-CAB”,故稱為“Back-Cab”法則,以便記憶。1.1.2標(biāo)量場和矢量場

如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場。換句話說，在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場。例如:在教室中溫度的分布確定了一個溫度場，在空間電位的分布確定了一個電位場。場的一個重要的屬性：是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。若該物理量與時間無關(guān)，則該場稱為靜態(tài)場；若該物理量與時間有關(guān)，則該場稱為動態(tài)場或稱為時變場。

在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時，數(shù)學(xué)上只需用一個代數(shù)變量來描述，這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場稱為標(biāo)量場，如溫度場T(x,y,z)、電位場φ(x,y,z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時還需確定它們的方向，這就需要用一個矢量來描述，因此稱為矢量場，例如電場、磁場、流速場等等。1.2矢量場的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：對于矢量場A，用一些有向矢量線來形象表示矢量A在空間的分布，稱為矢量線。矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。圖矢量場的矢量線例：求矢量場A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解之即得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。§1.2通量與散度,散度定理

在描繪矢量場的特性時,矢量場穿過一個曲面的通量是一個很有用的概念。

通量：所謂通量就是一個矢量場乘以這個矢量場通過的面積。在矢量分析中,將曲面的一個面元用矢量

來表示,其方向取為面元的法線方向,其大小為ds,即

是面元的法線方向單位矢量。(1)開曲面上的面元:右手螺旋法則。(2)封閉曲面上的面元:封閉面的外法線方向。面積元矢量那么矢量A穿過面元的通量為：

將曲面S各面元上的各相加,它表示

穿過整個曲面S的通量,也稱為在曲面S上的面積分:如果S是一個封閉面,則可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):(標(biāo)量)物理上的場(無論是矢量場，還是標(biāo)量場）都是相應(yīng)的源作用的結(jié)果。矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果肯定與閉合曲面內(nèi)有無產(chǎn)生矢量場的源直接相關(guān)。使閉合曲面通量不為零的激勵源為通量源。矢量場對閉合曲面的通量與閉合曲面內(nèi)的通量源之間存在某種確定的關(guān)系。

表示通過閉合曲面有凈的矢量線流出表示有凈的矢量線流入表示流入和流出閉合曲面的矢量線相等或沒有矢量線流入、流出閉合曲面

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系1.2.2散度定義：如果閉合面dS所圍區(qū)域V無限的縮小,當(dāng)縮小為一點時,A的通量與體積V之比的極限存在，稱為矢量A在這點的散度（divergence），記為divA:矢量A的散度是標(biāo)量,它是A通過某點處單位體積的通量(即通量體密度)。它反映A在該點的通量源強度?？偨Y(jié)：

哈密頓(W.R.Hamilton)引入倒三角算符(讀作“del(德爾)”或“nabla(納不拉)”)表示下述矢量形式的微分算子:它兼有雙重作用：1、矢量：有3個坐標(biāo)軸的矢量；

2、微分運算,分別對x、y、z求偏導(dǎo)。

A的散度可表示為算子與矢量A的標(biāo)量積,即利用哈密頓算子,讀者可以證明,散度運算符合下列規(guī)則:則：點乘散度的有關(guān)公式：4.散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S

從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場A在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。上式也稱為矢量場的Gauss定理。oxy在直角坐標(biāo)系中計算zzDxDyDP例：一個正電荷，求通過一個閉合面的通量。

例1-8在坐標(biāo)原點處點電荷產(chǎn)生電場，在此電場中任一點處的電位移矢量為:求穿過原點為球心、R為半徑的球面的電通量(見圖1-4)。圖1-4例1-8圖解：由于球面的法線方向與D的方向一致，所以例1-10

球面S上任意點的位置矢量為

，求解：根據(jù)散度定理知而r的散度為所以§1.3環(huán)量與旋度,斯托克斯定理1.3.1環(huán)量

矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量),記為環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。環(huán)量的計算1.3.2旋度的定義和運算為反映給定點附近的環(huán)量情況,我們把封閉曲線收小,使它包圍的面積ΔS趨近于零,取極限

這個極限的意義就是環(huán)量的面密度,或稱環(huán)量強度。由于面元是有方向的,它與封閉曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點處,上述極限值對于不同的面元是不同的。為此,引入如下定義,稱為旋度(rotation):△S

矢量A的旋度是一個矢量,其大小是矢量A在給定點處的最大環(huán)量面密度,其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時,該面元矢量的方向。它描述A在該點處的旋渦源強度。若某區(qū)域中各點rotA=0,稱A為無旋場或保守場。

計算▽×A時,先按矢量積規(guī)則展開,然后再作微分運算,得

在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或旋渦場)，J稱為旋度源(或渦旋源)；

若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。1.4.3斯托克斯定理

因為旋度代表單位面積的環(huán)量，因此矢量場在閉合曲線c上的環(huán)量等于閉合曲線c所包圍曲面S上旋度的總和，即

此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

例1-11

求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線(x-2)2+y2=R2,z=0的環(huán)量(見圖1-6)。圖1-6例1-11圖解：由于在曲線l上z=0，所以dz=0。矢量A=-yex+xey+cez

例1-12

求矢量場A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。

在點M(1，0，1)處的旋度：解：矢量場A的旋度n方向的單位矢量在點M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度

例1-13

在坐標(biāo)原點處放置一點電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場強度為求自由空間任意點(r≠0)電場強度的旋度▽×E。解：這說明點電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。標(biāo)量場的等值面

等值面:標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。

等值面的特點：意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。標(biāo)量場的等值線(面)1.3標(biāo)量場的梯度

設(shè)M0是標(biāo)量場φ=φ(M)中的一個已知點，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l,在l上M0的鄰近取一點M，MM0=ρ，如圖1-2所示。若當(dāng)M趨于M0時(即ρ趨于零時)，的極限存在，則稱此極限為函數(shù)φ(M)在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為M0M方向?qū)?shù)的概念

2.方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。

若函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點M0(x0,y0,z0)處可微，cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦，則函數(shù)φ在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為：

證明：M點的坐標(biāo)為M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，由于函數(shù)φ在M0處可微，故zxy矢量的幾何表示兩邊除以ρ，可得當(dāng)ρ趨于零時對上式取極限，可得

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減??；

——

u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點：方向?qū)?shù)既與點M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。

例1-3

求數(shù)量場在點M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：l方向的方向余弦為而數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為在點M處沿l方向的方向?qū)?shù)問題：在什么方向上方向?qū)?shù)變化率最大、其最大的變化率為多少？標(biāo)量場的等值線(面)▽φ的模就是φ在給定點的最大方向?qū)?shù),而其方向就是該具有最大方向?qū)?shù)的方向,亦即φ的變化率最大的方向。2、梯度（矢量）我們定義標(biāo)量場φ(x,y,z)在P(x,y,z)點處的梯度(gradient)為

標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）

例1-4

設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動點M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，證明：證：因為所以例1-5

求r在M(1，0，1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：由例1-4知r的梯度為點M處的坐標(biāo)為x=1,y=0,z=1,

所以r在M點處的梯度為r在M點沿l方向的方向?qū)?shù)為而所以

例1-6

已知位于原點處的點電荷q在點M(x,y,z)處產(chǎn)生的電位為，其中矢徑r為r=xex+yey+zey，且已知電場強度與電位的關(guān)系是E=-▽φ，求電場強度E。解：根據(jù)▽f(u)=f′(u)·u的運算法則，

三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。

三種常用的正交曲線坐標(biāo)系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。1.直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz

直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx2.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）圓柱坐標(biāo)系哈密頓微分算子▽的表示式為:3.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系（半平面）（