自動控制-離散系統(tǒng)

第八章線性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合8.1離散控制系統(tǒng)概述8.2連續(xù)信號的采樣與復現(xiàn)8.3Z變換及Z反變換8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學模型8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析8.8數(shù)字控制器的模擬化設計8.9數(shù)字控制器離散化設計8.1離散控制系統(tǒng)概述一、離散控制系統(tǒng)特點：從系統(tǒng)結構上看，含有采樣開關；從信號傳遞上看，系統(tǒng)中某一處或數(shù)處信號是脈沖序列或數(shù)字序列傳遞。二、離散控制系統(tǒng)的二種典型結構1、采樣控制系統(tǒng)

e﹡(t)是e(t)連續(xù)誤差信號經過采樣開關后，獲得的一系列離散的誤差信號。e*(t)作為脈沖控制器的輸入,經控制器對信號進行處理，在經過保持器（或濾波器）恢復為連續(xù)信號，對受控對象實施控制。

采樣系統(tǒng)中既有離散信號，又有連續(xù)信號。采樣開關接通時刻，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)。而在采樣開關斷開時刻，系統(tǒng)處于開環(huán)工作狀態(tài)。2、數(shù)字控制系統(tǒng)

計算機作為系統(tǒng)的控制器，其輸入和輸出只能是二進制編碼的數(shù)字信號，即在時間上和幅值上都是離散信號，而系統(tǒng)中被控對象和測量元件的輸入和輸出是連續(xù)信號，故需要A/D,D/A實現(xiàn)兩種信號的轉換。三、離散控制系統(tǒng)的分析方法

建立在Z變換的數(shù)學基礎上，采用脈沖傳遞函數(shù)，并利用類似連續(xù)控制系統(tǒng)的分析方法進行分析、研究。8.2連續(xù)信號的采樣與復現(xiàn)一、連續(xù)信號的采樣、數(shù)學描述

1、采樣過程：把一連續(xù)信號轉換成一串脈沖序列或數(shù)碼信號的過程，稱為

采樣過程。例如下圖中，采樣器可用一個周期性閉合的采樣開關表示，設采樣開關每隔Ts秒閉合一次（接通一次）。f(t)為輸入連續(xù)信號，則經采樣開關后，f*(t)為定寬度等于τ的調幅脈沖序列，在采樣瞬時nTs(n=0.1.2.3…）時出現(xiàn)。由于采樣開關閉合時間τ很小，τ<<Ts，分析可認為τ=0。采樣器的輸出f*(t)信號，等于輸入于采樣器的連續(xù)信號在采樣時刻的數(shù)值。2、數(shù)學描述為了對采樣過程和采樣信號進行數(shù)學描述，往往把它看成是一個幅值調制的過程，如下圖所示。

幅值調制的過程，數(shù)學上表示為兩個信號函數(shù)相乘，即f*(t)可以認為是輸入連續(xù)信號f(t)調制在理想脈沖δT（t）上的結果。

設理想脈沖序列

則采樣脈沖序列的數(shù)學表達式：

f*(t)=f(t)δT（t）=二、信號的復現(xiàn)及裝置

使采樣信號f*(t)大體上恢復連續(xù)信號f(t)的變化規(guī)律，稱信號的復現(xiàn)。怎樣才能使采樣信號f*(t)大體上反映連續(xù)信號f(t)的變化規(guī)律呢？從連續(xù)信號和其采樣后的離散信號的頻譜特性進行分析：采樣信號的頻譜理想單位脈沖系列是一個周期函數(shù)，展成傅氏級數(shù)形式：

(1)、對于一個有限頻譜的連續(xù)信號進行采樣，當采樣頻率時，采樣信號才可能無失真的復現(xiàn)原來的連續(xù)信號。(香農采樣定理)(2)、系統(tǒng)后半部分，有一低通濾波器。

觀察上圖，信號的復現(xiàn)需滿足兩個條件：零階保持器工程上最簡單、最常用的低通濾波器是零階保持器。零階保持器10Tsδ(t)

g(t)8.3Z變換及反變換

一、Z變換

在數(shù)學上表示：對上式兩邊取拉氏變換可看出，是以復變量s表示的函數(shù)。引入一新變量z

----定義在Z平面上的一個復變量，稱為Z變換子；

----采樣周期；

S---拉氏變換算子。Z變換的定義

8.2節(jié)指出，一個連續(xù)函數(shù)經采樣后，其采樣函數(shù)式中：

上式收斂時，被定義為采樣函數(shù)的Z變換。即注意：

1、是的Z變換式；2、只表征連續(xù)函數(shù)出現(xiàn)在采樣時刻之間的信號特性不能反映.在采樣時刻上的特性.(2)Z變換方法

Z變換方法多種，主要的有

1)級數(shù)求和法。以例說明例求單位價躍函數(shù)1（t）的Z變換.解：因為或者，由兩邊同乘以z-1得：

兩式相減得：

例8-2

求2)部分分式法方法是，先求出連續(xù)函數(shù)的拉氏變換式，并部分分式展開。

例8-3巳知原函數(shù)的拉氏變換式為求其Z變換。解：對拉氏變換式用部分分式展開逐項進行Z變換(查Z變換表)有(3)Z變換的主要性質

1)線性性質2)延遲定理

說明：原函數(shù)在時域中延遲幾個采樣周期，相當于在象函數(shù)上乘以,算子的含義可表示時域中時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲n個周期。3)超前定理若則4）復數(shù)位移定理5）終值定理若在平面上以原點為圓心的單位圓上和圓外沒有極點或（z-1）,F(z)全部極點位于Z平面單位圓內。則例8-6設的Z變換函數(shù)為求的終值。解：用終值定理結果是錯的。？6)初值定理7)二、Z反變換

Z反變換是已知Z變換表達式F（Z），求離散序列f（nTs）或的過程。Z反變換的方法也有多種，主要方法有1.部分分式法（因式分解法，查表法）步驟：①先將變換式寫成，并展開成部分分式，

②兩端乘以Z。F（Z）=

③查Z變化表。=例8-8巳知，求其原函數(shù)。解寫成兩邊同乘z查z變換表

2、冪級數(shù)法（長除法）

將表達式直接用長除法，求按降冪排列的展開式，便可直接寫出脈沖序列的表達式。例己知求其反z變換。解可先改寫z表達式用長除法，分子、分母相除有依z變換的定義，有

注：在實際應用中，常常只需要計算有限的幾項.

是開放形式。

8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學模型一、脈沖傳遞函數(shù)的概念定義：線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比。用式子表示為二、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求法

系統(tǒng)由串聯(lián)環(huán)節(jié)組成時，脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關的位置和數(shù)目有關。

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(圖a)G(Z)=G1(Z)G2(Z)2.串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(圖b)G(Z)=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)結論:有采樣開關斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的積；無采樣開關斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)其脈沖傳遞函數(shù)等于兩個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之后的Z變換。本結論可推廣到n個環(huán)節(jié)。

例：設G1(s)=1/s，G2(s)=5/(s+5),分別求上述兩種連接時的脈沖傳遞數(shù)。解：(1)二環(huán)節(jié)間有采樣器

G(Z)=G1(Z)G2(Z)=Z[1/s]Z[1/(s+1)]=(2)二環(huán)節(jié)間無采樣器(3)串聯(lián)有零階保持器P198例8-10求圖8-13系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)三、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

由于采樣開關在閉環(huán)系統(tǒng)中可以有多種配置的可能性，故閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有唯一的結構形式，通常須采用列出方程式，再消去中間信號變量求出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

例求下圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖轉遞函數(shù)解由圖取Z變換有又由圖有由以上三式，消去中間變量可得該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

b(t)注：1、典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或輸出表達式見表8.1;2、元部件相同但采樣開關的位置或個數(shù)不同，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不同；

3、有些結構的系統(tǒng)只有輸出表達式但求不出閉環(huán)傳遞函數(shù)。8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、S平面與Z平面的對應(映射)關系S平面Z平面左半平面單位園內虛軸單位園上右半平面單位園外注：S平面上的左半平面，相當于Z平面上的單位園內；S平面的虛軸，相當于Z平面上的單位園上；S平面上的右半平面，相當于Z平面上的單位園外。由下列關系式得出上述結果

二、離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件

離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件是:系統(tǒng)的特征方程的根全部位于Z平面以原點為園心的單位園內。例8-11某離散控制系統(tǒng)如右圖所示，采樣周期為1s，系統(tǒng)能否穩(wěn)定工作？解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為特征方程=0特征方程根(e-1=0.368)由于，在Z平面的單位園外，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定。三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據勞斯判據。具體方法、步驟：

1、求出特征方程式，

2、Z–W變換：令特征方程式中的，得到

3、用第三章勞斯判據的方法判穩(wěn)。例8-12(p202)設某離散控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析離散系統(tǒng)中誤差信號是指采樣時刻的誤差，其穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)到達穩(wěn)定后誤差脈沖序列。由于離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結構圖形式，故不能給出一般的誤差脈沖傳遞函數(shù)的計算公式,其穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)來求取。離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析、計算與連續(xù)系統(tǒng)的相類似，計算方法主要兩種。1）用終值定理計算2）誤差系數(shù)法一、用Z變換的終值定理計算

若系統(tǒng)穩(wěn)定,即全部極點位于z平面單位圖內,則可用z變換終值定理求出采樣瞬時終值誤差。方法、步驟如下：1、求出誤差傳遞函數(shù)

2、求出誤差Z變換式3、終值定理計算

二、誤差系數(shù)方法

設單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為其中含有的積分環(huán)節(jié)個數(shù)N，表征系統(tǒng)的無差度。N=00型系統(tǒng)；N=1一型系統(tǒng)；N=2二型系統(tǒng)

稱為位置誤差系數(shù)。且有（1）階躍輸入時

由終值定理有N=0,

N=0,

N=0,

N=0,

N=0N>1(2)斜坡輸入

，速度誤差系數(shù)當N=0時，當N=1時，有限值，當N=2時，(3)加速度輸入有，稱為加速度誤差系數(shù)。N=0、1時，N=2時，

r(t)y(t)例8-13求下列系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)定誤差系數(shù)8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

一、閉環(huán)極點（根的位置）與時間響應的關系

在連續(xù)系統(tǒng)里，如已知系統(tǒng)的極點位置，可估計出它的對應瞬態(tài)形狀。離散系統(tǒng)中，若己知閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點在z平面上單位圓內的分布與系統(tǒng)響應之間關系，這對系統(tǒng)設計、分析會有重要意義。分析：設閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為)r(t當)=1(t),離散系統(tǒng)輸出的z變換C(z)=Φ(z)R(z)=

展成部分分式為了方便討論，假設無重極點

A=式中反Z變換根據Pj在單位圓的位置，可以確定C*(t)的動態(tài)響應形式(1)單極點位于Z平面實軸上①Pj>1閉環(huán)極點位于Z平面單位圓外的正實軸上，脈沖響應單調發(fā)散②Pj=1單位圓上，動態(tài)響應為等幅（常值）脈沖序列。③0<Pj<1單位圓正實軸單調遞減。④-1<Pj<0

單位圓內負實軸，正負交替遞減脈沖序列，⑤Pj=-1正負交替的等幅脈沖序列⑥Pj<

-1正負交替發(fā)散脈沖序列用圖表示(2)極點（共軛復數(shù)極點）位于Z平面復平面上①|Pj|>1,振蕩發(fā)散序列。|Pj|越大，發(fā)散越快；

②|Pj|=1，等幅振蕩脈沖序列；

③|Pj|<1，收斂振蕩，|Pj|越小，收斂越快。二、離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能估算離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能計算復雜。P203頁提供式(8-39)、(8-39)作為離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能估算公式。

閉環(huán)極點最好是分布在單位園內右半部上并靠近原點的地方。8.8數(shù)字控制器的模擬化設計

一、設計原理先把數(shù)字調節(jié)器的脈沖傳遞函數(shù)看成為模擬調節(jié)器的傳遞函數(shù)，把離散系統(tǒng)視為一連續(xù)系統(tǒng)，再按連續(xù)系統(tǒng)的校正方法求出校正網絡，最后對求出的模擬調節(jié)器的傳遞函數(shù)進行數(shù)字化。二、模擬調節(jié)器的傳遞函數(shù)進行數(shù)字化常用方法：

1、直接差分法

2、雙線性變換法三、數(shù)字控制器的模擬化設計方法的步驟：

1、求出帶零階保持器的被控對象傳遞函數(shù)；

2、根據性能要求，用第六章開環(huán)對數(shù)頻率特性的博德圖法，求出校正網絡的傳遞函數(shù)；

3、選擇采樣頻率；

4、校正網絡傳遞函數(shù)的離散化處理；

5、求出差分方程，計算機程序實現(xiàn)。四、例題(P212；例題8-17)

某計算機控制系統(tǒng)如圖所示。設計數(shù)字控制器，使系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率大于或等于15，相位裕度大于或等于45度，開環(huán)增益(控制精度)大于或等于30。解

(1)設計模似校正裝置根據靜態(tài)性能要求，取開環(huán)放大系數(shù)為30；把零階保持器近似為一個慣性環(huán)節(jié)設取采樣周期為0.01秒，于是未校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為校正前系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖中實線所示計算截止頻率與超前校正設計：開環(huán)截止頻率約等于10(1/s)，相位裕度約等于13.8度。相位裕度也可以通過下式計算：不滿足性能指標。設計超前校正若串聯(lián)校正取為

采用串聯(lián)校正后，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性如圖中虛線所示。由圖有開環(huán)截止頻率等于19，相位裕度等于60度，開環(huán)增益(控制精度)大于或等于30。滿足性能要求值。(2)選取采樣頻率采樣周期值己選為0.01秒。(3)模擬校正裝置的離散化采用雙線性變換的離散化方法:于是，數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為(4)化數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為差分方程代入各時間常數(shù)的值，有

為了避免運算過程中出現(xiàn)溢出，因此將控制量中誤差項的傳遞系數(shù)縮小20倍，其增益的補償將由系統(tǒng)中的功放實現(xiàn)。于是數(shù)字調節(jié)器的輸入輸出表達式為根據上式編制計算機控制算法程序。8.9數(shù)字控制器的離散化設計

數(shù)字控制器的離散化設計方法有Z平面的根跡法、W平面的博德圖法、解析法（最少拍）等。這里只介紹W平面的博德圖法。最少拍在<微機控制>課程中都有介紹。一、原理系統(tǒng)中的各環(huán)節(jié)都具有離散模型的型式下，通過