郭中珍 231等腰三角形的性質(zhì)

三角形本章內(nèi)容第2章2.3等腰三角形我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生了解等腰三角形的有關(guān)概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)。

2．通過探索等腰三角形的性質(zhì)，使學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、推理、交流等活動(dòng)。

重難點(diǎn)

重點(diǎn)：等腰三角形等邊對(duì)等角，三線合一性質(zhì).

難點(diǎn)：通過操作，如何觀察、分析、歸納得出等腰三角形性質(zhì)。

退出如圖：在△ABC中,AB=AC，則

△ABC就是等腰三角形

它的各部分名稱分別是什么？ABC(1)相等的兩條邊叫做腰。腰腰底邊(2)另一邊叫底邊。頂角底角底角(3)兩腰的夾角叫頂角。(4)腰與底邊夾角叫底角。說一說溫故而知新閱讀課文P61至P63認(rèn)識(shí)等腰三角形等腰三角形具有哪些性質(zhì)？Wednesday,February1,20236瞿忠儀制作中考試題例1

等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，則這個(gè)三角形周長為（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析另一邊長為2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三邊關(guān)系定理，故選5.∴周長為5+5+2=12cm.自學(xué)指導(dǎo)2023年2月1日8瞿忠儀制作拿出你的等腰三角形紙片，把紙片折折看，讓兩腰AB、AC重疊在一起，折痕為AD.你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎？做一做、想一想、說一說等腰三角形是一種特殊的三角形，它除具有一般三角形的性質(zhì)外，還有一些特殊的性質(zhì)嗎？D看看你本組其他同學(xué)的情況,共同交流,能得出什么結(jié)論?D探究任意畫一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖,作△ABC關(guān)于頂角平分線AD

所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點(diǎn)B的像是點(diǎn)C，點(diǎn)C的像是點(diǎn)

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關(guān)于直線

對(duì)稱.ABABBAD探究由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)D,因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC,射線DA的像是射線

,因此∠BDA=∠CDA=

°,從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA,射線BC的像是射線

,因此∠B

∠C.DC中點(diǎn)DA90高CB=(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。(2)∠B=∠C

(3)∠BAD＝∠CAD，AD為頂角的平分線(4)∠ADB=∠ADC=90°AD為底邊上的高(5)BD=CD，AD為底邊上的中線?，F(xiàn)象(3)、(4)、(5)能用一句話歸納出來嗎？現(xiàn)象(2)能用一句話歸納出來嗎？等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）現(xiàn)象ABCD結(jié)論等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線.結(jié)論等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）．在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）幾何語言：結(jié)論等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）．在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在BC上1、∵AD⊥BC∴∠

=∠

，

=

.

2、∵AD是中線，∴

⊥

，∠

=∠

.3、∵AD是角平分線，∴

⊥

，

=

.幾何語言：BADCADBDCDBDCDBADCADADBCADBC要注意是指頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線這三線重合。動(dòng)腦筋因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB=BC=AC，從而∠C=∠A=∠B.由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關(guān)系呢？等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60°.結(jié)論由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，分別是三個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線.等腰三角形的性質(zhì)1、等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）2、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）一般的三角形有這種性質(zhì)嗎？要注意是指頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線這三線重合。ABCD總結(jié)與反思（1）∵AD⊥BC，∴∠____=∠____，___=___（2）∵AD是中線，∴___⊥___，∠____=∠____（3）∵AD是角平分線，∴___⊥___，___=___BADCADBDCD

ADBC

ADBCBADCADBDCD

根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理的推論，在△ABC中，AB=AC時(shí)，ABCD總結(jié)與反思一、判斷：1、如圖1：

∵AB=AC∴∠1=∠22、如圖2：

∵AB=BC∴∠B=∠C二、填空：如圖3。根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理的推論，在△ABC中，AB=AC時(shí)，1、∵AD⊥BC∴∠

=∠

，

=

。2、∵AD是中線，∴

⊥

，∠

=∠

。3、∵AD是角平分線，∴

⊥

，

=

。

BCA⌒⌒12DE圖1ABCD⌒⌒12圖3BAC圖212BDDCADBC12ADBCBDDC達(dá)標(biāo)練習(xí)一(錯(cuò))（錯(cuò)）例1已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°．求∠C和∠A的度數(shù)．

發(fā)散思維(1)已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°．求∠B和∠C的度數(shù)．發(fā)散思維(2)已知：△ABC是等腰三角形，其中一個(gè)角為80°求另外兩個(gè)角的度數(shù)．解：∵AB＝AC∴∠C＝∠B＝80°()

你能說出它的理由嗎？等邊對(duì)等角又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－80°－80°＝20°．學(xué)以致用例2已知：如圖，房屋的頂角∠BAC=1000，過屋頂A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC。

求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù)。解：在△ABC中，∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）.∴∠B=∠C=(1800-∠A)=400(三角形內(nèi)角和定理).又∵AD⊥BC(已知),∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形的頂角的平分線與底邊上的高互相重合).∴∠BAD=∠CAD=500.ABCD學(xué)以致用學(xué)法指導(dǎo)達(dá)標(biāo)練習(xí)二(A水平)一、填空題：1、等腰三角形若兩邊長為3和7，則其周長為________。2、如果等腰三角形的一個(gè)底角為50°，那么其余兩個(gè)角為______和______。3、如果等腰三角形的頂角為80°，那么它的一個(gè)底角為________。4、等腰三角形的底角可以是直角或鈍角嗎？為什么？二、判斷題：1、等腰三角形的底角都是銳角()2、鈍角三角形不可能是等腰三角形()√×17

50°80°50°達(dá)標(biāo)練習(xí)二(B水平)1、若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°,則它的另外兩個(gè)內(nèi)角為__________________2、若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為120°,則它的另外兩個(gè)內(nèi)角為______70°,70°或40°，100°30°,30°①頂角+2×底角=180°②頂角=180°－2×底角③底角=（180°－頂角）÷2結(jié)論:在等腰三角形中，已知一個(gè)角，就可以求出另外兩個(gè)角。

④當(dāng)已知任意一個(gè)內(nèi)角時(shí),則要分情況討論

如圖（1）在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°,則∠B=,∠C=

.變式練習(xí)：1、如圖（2）在等腰△ABC中，∠A=50°,則∠B=

，∠C=.2、如圖（3）在等腰△ABC中，∠A=120°則∠B=

，∠C=

.做一做72°72°65°65°30°30°中考試題

若等腰三角形中有一個(gè)角等于50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.65°或50°

D.50°或80°解析因?yàn)?0°可作為等腰三角形的一頂角或一底角，故選D.D鞏固練習(xí)做一做在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△

ABC各角的度數(shù).

解：∵在△ABC中，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∵在△ABD中，BD=AD

∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD,

即∠BDC=2∠A

∵在△BDC中，BD=BC

∴∠BDC=∠BCD,

∠A+2∠ACB=180°

即∠A+4∠A=180°

∴∠A=36°

∠ABC=∠BCA=2∠A=72°解：3學(xué)以致用12學(xué)以致用4舉例例5

已知：如圖,在△ABC

中,

AB=AC,點(diǎn)D,

E在邊BC上,且AD=AE.求證：BD=CE.證明：作AF⊥BC,垂足為點(diǎn)F,則AF

是等腰三角形ABC

和等腰三角

形ADE

底邊上的高,也是底邊

上的中線.∴BF=CF，

DF=EF，∴BF

－DF=CF

－EF，即BD=CE.學(xué)以致用學(xué)法指導(dǎo)只要知道等腰三角形底邊上的中線，底邊上的高，頂角的平分線中的任意一個(gè)條件，我們就可以知道另外兩個(gè)條件！如圖

的三角測(cè)平架中,AB=AC,在BC的中點(diǎn)D掛一個(gè)重錘,自