C數(shù)學(xué)建模與誤差分析

化工數(shù)學(xué)高海麗福建農(nóng)林大學(xué)材料工程學(xué)院Email:haili_gao@課程特點(diǎn)以數(shù)學(xué)方法為主；低起點(diǎn)，大跨度；著重內(nèi)容的實(shí)用性和先進(jìn)性課程考核方式本課程為考試課，考試形式為閉卷。評分標(biāo)準(zhǔn)（滿分：100分）,平時成績占50%，（作業(yè)：30分，課堂表現(xiàn)：20分）授課教材及主要參考書：教材：《化工數(shù)學(xué)》，周愛月，化學(xué)工業(yè)出版社，2011年9月，第三版。參考書1：《計(jì)算物理學(xué)講義》，劉金遠(yuǎn)，大連理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院參考書2：《化工數(shù)學(xué)》，宋懷俊，鄭州大學(xué)出版社，2006年。參考書3：《AnIntroductiontoComputationalPhysics》,TaoPang，世界圖書出版社（影印版），2006年，第二版。參考書4：《計(jì)算物理學(xué)》，顧昌鑫主編，復(fù)旦大學(xué)出版社，2009年。參考書5：《高等工程數(shù)學(xué)》課件，趙彤，中科院研究生院。課程介紹目錄第一章數(shù)學(xué)建模與誤差分析第二章方程的數(shù)值解法*第三章數(shù)據(jù)處理*第四章常微分方程數(shù)值解法*第五章偏微分方程數(shù)值解法*第六章蒙特卡洛方法第一章數(shù)學(xué)建模與誤差分析

1.1化工數(shù)學(xué)概論

1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1.2數(shù)學(xué)建模及其重要意義1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述1.1.4計(jì)算機(jī)編程語言1.2數(shù)值方法與誤差分析*

1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

1.2.2誤差定義

1.2.3誤差的種類及其來源1.2.4數(shù)值計(jì)算應(yīng)注意的問題第一章數(shù)學(xué)建模與誤差分析

1.1化工數(shù)學(xué)概論

1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1.2數(shù)學(xué)建模及其重要意義1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述1.1.4計(jì)算機(jī)編程語言1.2數(shù)值方法與誤差分析*

1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性1.2.2誤差定義

1.2.3誤差的種類及其來源

1.2.4數(shù)值計(jì)算應(yīng)注意的問題1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)教學(xué)及學(xué)習(xí)中有兩種能力—“算數(shù)學(xué)”（計(jì)算、推導(dǎo)、證明，…）與“用數(shù)學(xué)”（實(shí)際問題建模及模型結(jié)果的分析、檢驗(yàn)、應(yīng)用）的培養(yǎng)應(yīng)該并重1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型過去讓同學(xué)們用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的困難（手工計(jì)算，高級語言編程，…）。計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算、圖形功能和方便的數(shù)學(xué)軟件，使學(xué)生可以自由地選擇算法和軟件，在屏幕上通過數(shù)值的、幾何的觀察、聯(lián)想、類比，去發(fā)現(xiàn)線索，探討規(guī)律。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型

1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型你需要——數(shù)學(xué)模型華羅庚先生曾說“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁……無一不可用數(shù)學(xué)來表達(dá)?！?.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型1.《星際爭霸》“農(nóng)民采集飽和度建?！?，贛南師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，08數(shù)本2班341000。2.《星際爭霸》中的運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型此原理對男生有著重要的指導(dǎo)意義：強(qiáng)大的愛情攻勢有事不一定能達(dá)到

滿意的效果，反而不利與學(xué)業(yè)的成長；有時通過慢慢接觸，慢慢了解，再加上

適當(dāng)?shù)淖非笮袆?，女生的疏遠(yuǎn)度就會慢慢降低。學(xué)習(xí)成績也不會降低！?。。。。。。?.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模和最優(yōu)化的案例就在咱們周圍不去了解和利用數(shù)學(xué)技術(shù)解決身邊的問題，實(shí)在可惜！1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型需要事先說明的問題（丑話說在前面）：（1）數(shù)學(xué)模型是一種定量分析問題的工具，數(shù)學(xué)建模有一定的藝術(shù)性，否則問題的分析會變糟（2）定性分析是定量分析的基礎(chǔ)（3）定量分析是定性分析的支持（4）從數(shù)學(xué)模型中求解出來的最終答案，僅僅是為實(shí)際問題的系統(tǒng)處理提供了有用的可以作為決策基礎(chǔ)的信息。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.1數(shù)學(xué)模型需要事先說明的問題：（課程定位）數(shù)學(xué)建模不是一朝一夕的事情，在做這件事情之前需要有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本課程將會向大家介紹這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為將來數(shù)學(xué)建模做準(zhǔn)備數(shù)學(xué)建模過程現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)實(shí)問題的信息現(xiàn)實(shí)問題的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)世界表述解釋驗(yàn)證求解

？實(shí)踐實(shí)踐理論求解方法數(shù)值法演繹法數(shù)值解解析解1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.2數(shù)學(xué)建模過程及其重要意義數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ颓蠼饽Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備模型假設(shè)形成一個比較清晰的數(shù)學(xué)問題在合理與簡化之間作出折中了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征針對問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.2數(shù)學(xué)建模過程及其重要意義實(shí)際問題確保模型的合理性、適用性與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較模型應(yīng)用模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ颓蠼饽Ｐ蜆?gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題盡量使用簡單的數(shù)學(xué)工具各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如：結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.2數(shù)學(xué)建模過程及其重要意義數(shù)學(xué)建模的意義作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模自然有著與數(shù)學(xué)同樣悠久的歷史。進(jìn)入20世紀(jì)以來，隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，以及計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模越來越受到人們的重視，數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實(shí)世界中有著重要意義。（1）在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地（2）在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具。（3）數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的領(lǐng)域。

美國科學(xué)院一位院士總結(jié)了將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力過程中的成功和失敗，得出了“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)”的結(jié)論，認(rèn)為數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)競爭力是有重要意義”，因而“計(jì)算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑”。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.2數(shù)學(xué)建模過程及其重要意義1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述化學(xué)工程的基本研究對象是工業(yè)裝置的各類傳遞現(xiàn)象（動量傳遞、質(zhì)量傳遞、能量傳遞）和化學(xué)反應(yīng)過程。早期的化學(xué)工程研究主要采用試驗(yàn)方法，通過量綱分析和相似理論，將實(shí)驗(yàn)室研究的結(jié)果外推到工業(yè)化。對于化學(xué)反應(yīng)過程，試驗(yàn)?zāi)Ｐ团c工業(yè)原型之間一般難以滿足近似條件，致使相似放大的方法往往失敗。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)生了過程系統(tǒng)工程這一學(xué)科，以高度的模型化和數(shù)學(xué)化為其特征，在過程的模擬和系統(tǒng)的綜合方面發(fā)展出一系列有效的數(shù)學(xué)方法。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述化工中的一般問題含有多個組分的兩相或多相物質(zhì)在某個給定的工程體系之中相互接觸，在一定條件下，每種組分可能發(fā)生相轉(zhuǎn)變，并伴隨著熱效應(yīng)；也可能發(fā)生放熱或吸熱的化學(xué)反應(yīng)。給定初始條件，要求確定系統(tǒng)在規(guī)定點(diǎn)的狀態(tài)（在一定的接觸時間以后），或者達(dá)到一定狀態(tài)裝置的尺寸大小。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述(一）為了描述這種一般系統(tǒng)，通常要用到下述四種類型的關(guān)系（1）物料平衡：對每種組分有著不同的物料平衡關(guān)系；如果存在化學(xué)反應(yīng)，還要使用相應(yīng)的化學(xué)計(jì)量關(guān)系式。它所依據(jù)的是質(zhì)量守恒定律。（2）能量平衡：熱力學(xué)第一定律表明系統(tǒng)內(nèi)能的變化，等于加進(jìn)系統(tǒng)內(nèi)的熱量與系統(tǒng)對外界所做功之差，即△U=Q-W。如果沒有熱量加進(jìn)系統(tǒng)，系統(tǒng)對外也沒有做功，則熱力學(xué)第一定律可簡化為焓平衡。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述（3）速率方程：當(dāng)考慮時間因素時，就要應(yīng)用速率方程，它包括傳遞速率和反應(yīng)速率，例如各種相界面間的質(zhì)量傳遞，發(fā)生在不同相中的單個的化學(xué)反應(yīng)等。（4）平衡關(guān)系：平衡狀態(tài)是指系統(tǒng)的壓力、溫度和濃度等不隨時間而變化的狀態(tài)。在多相系統(tǒng)中要考慮到從一相到另一相的傳遞凈速率問題，平衡一般發(fā)生在相間的邊界界面上。二、大多數(shù)化學(xué)與化工問題可以用微分方程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，一般步驟是：（1）畫出示意圖，列出所給數(shù)據(jù)；（2）確定自變量和因變量：通常可獨(dú)立選擇用來描述系統(tǒng)變化的量稱為自變量，而當(dāng)自變量變化時，反映體系某些性質(zhì)的隨之變化的量稱為因變量。自變量和因變量是由不同的問題所決定的。對于非穩(wěn)態(tài)問題，時間一般選做自變量；（3）寫出系統(tǒng)規(guī)定的自變量及其對應(yīng)的因變量的數(shù)值，這就是所謂的邊界條件或初始條件；（4）選用前述的四種關(guān)系式，列出問題的數(shù)學(xué)模型或方程式，其中要注意簡化問題時所采取的假設(shè)和近似的合理性；（5）求解數(shù)學(xué)模型，獲得合乎邏輯的解。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述

1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述反應(yīng)級數(shù)二、濃度與反應(yīng)速率基元反應(yīng)：反應(yīng)物通過一步反應(yīng)變成生成物；非基元反應(yīng)：反應(yīng)物通過多步，才能轉(zhuǎn)變成生成物。質(zhì)量作用定律：基元反應(yīng)速率與濃度的相互關(guān)系。

1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述三、反應(yīng)級數(shù)一級反應(yīng)：如：如：零級反應(yīng)：酶的催化反應(yīng)，光敏反應(yīng)往往也是零級反應(yīng)。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述二級反應(yīng)：三級反應(yīng)：如：如：

1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述催化作用：改變反應(yīng)的自由能，不能改變反應(yīng)方向。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述例：氣凝膠熱導(dǎo)率的數(shù)值模擬

Two-dimensionalEnergyEquationwhere,Hisinternalheatgeneration.2.1X10-4mm1.3X10-4mmHotair:800CColdair:200CSolidclayAirCalculatedthermalconductivity:0.06495(W/Km)Testedthermalconductivity:0.04397(W/Km)1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.4計(jì)算機(jī)編程語言工程數(shù)學(xué)是以計(jì)算方法為基礎(chǔ)，計(jì)算機(jī)為工具來解決工程問題。使用計(jì)算機(jī)室通過計(jì)算機(jī)編程語言實(shí)現(xiàn)的。工程數(shù)學(xué)常用的計(jì)算機(jī)編程語言是：Fortran語言，C，C++語言等。這些年來MATLAB軟件使用的愈來愈廣泛。下面簡單介紹一下Fortran語言和MATLAB軟件。

Fortran語言是世界上廣泛流行的、最適于數(shù)值計(jì)算的一種計(jì)算機(jī)語言，是世界上最早出現(xiàn)的高級程序設(shè)計(jì)語言。從1954年第一個Fortran語言版本問世至今，經(jīng)過多年在各個領(lǐng)域，特別是在科學(xué)工程計(jì)算領(lǐng)域，積累了大量成熟可靠的Fortran語言代碼。

現(xiàn)在常用的

Fortran語言的編譯版本是

CompaqVisualFortran6.5等，有

IMSL數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)庫可供直接調(diào)用，為開發(fā)和處理大型復(fù)雜計(jì)算提供了便利的手段。MATLAB

語言是當(dāng)今國際上科學(xué)界最具影響力、也是最有活力的軟件。它起源于矩陣運(yùn)算，并已經(jīng)發(fā)展成一種高度集成的計(jì)算機(jī)語言。它提供了強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè)計(jì)流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面設(shè)計(jì)、便捷的與其他程序和語言接口的功能。MATLAB語言在各國高校與研究單位起著重大的作用。

MATLAB語言由美國TheMathWorks開發(fā)，2003年推出了其全新的MATLAB6.5.1正式版。目前MATLAB每年都有最新版本推出。1.1化工數(shù)學(xué)概論1.1.4計(jì)算機(jī)編程語言第一章數(shù)學(xué)建模與誤差分析

1.1化工數(shù)學(xué)概論

1.1.1數(shù)學(xué)模型1.1.2數(shù)學(xué)建模及其重要意義1.1.3化工問題的數(shù)學(xué)描述1.1.4計(jì)算機(jī)編程語言1.2數(shù)值方法與誤差分析*

1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

1.2.2誤差定義

1.2.3誤差的種類及其來源

1.2.4數(shù)值計(jì)算應(yīng)注意的問題

數(shù)值方法已成為科學(xué)研究的第三種基本手段。所謂數(shù)值方法，是指將欲求解的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)問題）簡化成一系列算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)上求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性和誤差進(jìn)行分析、計(jì)算。這里所說的“算法”，不只是單純的數(shù)學(xué)公式，而且是指由基本的運(yùn)算和運(yùn)算順序的規(guī)定所組成的整個解題方案和步驟。一般可以通過框圖（流程圖）來直觀地描述算法的全貌。

選定適合的算法是整個數(shù)值計(jì)算中非常重要的一環(huán)，例如，當(dāng)計(jì)算多項(xiàng)式

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

表數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性

由表1.2.1可見，按不同算式和近似值計(jì)算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里?？梢娊浦岛退惴ǖ倪x定對計(jì)算結(jié)果的精確度影響很大。因此，在研究算法的同時，還必須正確掌握誤差的基本概念、誤差在數(shù)值運(yùn)算中的傳播規(guī)律、誤差分析的基本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性。否則，一個合理的算法也可能會得出一個錯誤的結(jié)果。

衡量一個算法的好壞時，計(jì)算時間的多少是非常重要的一個標(biāo)志。由于實(shí)際的執(zhí)行時間依賴于計(jì)算機(jī)的性能，因此所謂算法所花時間是用它執(zhí)行的所有基本運(yùn)算的總次數(shù)來衡量的。這樣時間與運(yùn)算的次數(shù)直接聯(lián)系起來了。當(dāng)然，即使用一個算法計(jì)算同一類型的問題時，由于各問題的數(shù)據(jù)不同，計(jì)算快慢也會不同，一般是用最壞情況下所花的時間來作討論。什么叫做誤差？誤差的種類有哪些？1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.1數(shù)值方法與算法穩(wěn)定性基本定義：1.誤差誤差是近似值與準(zhǔn)確值之差，即：式中：表示誤差；表示準(zhǔn)確值，又稱精確值、真值；表示近似值。

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

按四舍五入取得的近似數(shù)都是有效數(shù)字。1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義

關(guān)于有效數(shù)字，有如下幾點(diǎn)結(jié)論：1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.2誤差定義數(shù)值計(jì)算過程中會出現(xiàn)各種誤差，可分為兩大類：1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.3誤差的種類及其來源1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.3誤差的種類及其來源1模型誤差在建模過程中，欲將復(fù)雜的物理現(xiàn)象抽象、歸納為數(shù)學(xué)模型，往往只得忽略一些次要因素的影響，而對問題作某些必要的簡化。這樣建立起來的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上必定只是所研究的復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似的描述，它與真正客觀存在的實(shí)際問題之間有一定的差別，這種誤差稱為“模型誤差”。2觀測誤差在建模和具體運(yùn)算過程中所用到的一些初始數(shù)據(jù)往往都是通過人們實(shí)際觀察、測量得來的，由于受到所用觀測儀器、設(shè)備精度的限制，這些測得的數(shù)據(jù)都只能是近似的，即存在著誤差，這種誤差稱為“觀測誤差”或“初值誤差”。3截?cái)嗾`差在不少數(shù)值運(yùn)算中常遇到超越計(jì)算，如微分、積分和無窮級數(shù)求和等，它們需用極限或無窮過程來求得。然而計(jì)算機(jī)卻只能完成有限次算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，因此需將解題過程化為一系列有限的算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算。這樣就要對某種無窮過程進(jìn)行“截?cái)唷?，即僅保留無窮過程的前段有限序列而舍棄它的后段。這就帶來了誤差，稱它為“截?cái)嗾`差”或“方法誤差”。1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.3誤差的種類及其來源

1.2數(shù)值方法與誤差分析1.2.3誤差的種類及其來源4舍入誤差