激活思維專題系列之尖子生培養(yǎng)專題

實(shí)用文案激活思維專題系列之尖子生培養(yǎng)學(xué)案函數(shù)奇偶性單調(diào)性經(jīng)典題型專題.知識(shí)總結(jié)函數(shù)的奇偶性（首先定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）(1) 為奇函數(shù); 為偶函數(shù);(2)奇函數(shù) 在原點(diǎn)有定義(3)任一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù) 一定可以表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和即 （奇） （偶）.函數(shù)的單調(diào)性(注:①先確定定義域;②單調(diào)性證明一定要用定義)(1)定義:區(qū)間 上任意兩個(gè)值 ,若 時(shí)有 ,稱為 上增函數(shù),若 時(shí)有 ,稱 為 上減函數(shù).奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:①定義法,即標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案比差法;②圖象法;③單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)（實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì)）;④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則.周期性:周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中,是化歸思想的重要手段.求周期的重要方法:①定義法;②公式法;③圖象法;④利用重要結(jié)論:若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a ≠b,則T=2|a-b|.二.例題精講【例1】已知定義域?yàn)?的函數(shù) 是奇函數(shù).(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)若對(duì)任意的 ,不等式 恒成立,求 的取值范圍.解析：（Ⅰ）因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 =0，即標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案又由f（1）=-f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．又由題設(shè)條件得：，即 ： ，整理得上式對(duì)一切 均成立，從而判別式【例2】設(shè)函數(shù) 在 處取得極值－2,試用表示 和 ,并求 的單調(diào)區(qū)間.解：依題意有 而故 解得從而 。令 ，得 或 。標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案由于 在 處取得極值，故 ，即 。（1）若，即，則當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而 的單調(diào)增區(qū)間為 ；單調(diào)減區(qū)間為若 ，即 ，同上可得，的單調(diào)增區(qū)間為 ；單調(diào)減區(qū)間為【例 3】(理)設(shè)函數(shù) ,若對(duì)所有的 ,都有成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.(文)討論函數(shù) 的單調(diào)性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，對(duì)函數(shù)g(x)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又g(0)＝0，所以對(duì)x≥0，都有g(shù)(x)≥g(0)，即當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g在(0，ea－1－1)是減函數(shù)，又g(0)＝0，所以對(duì)0＜x＜ea－1－1，都有g(shù)(x)＜g(0)，即當(dāng)a＞1時(shí)，不是對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．綜上，a的取值范圍是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即為g(x)≥g(0)成立．對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，當(dāng)x＞ea－1－1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)－1＜x＜ea1－1，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，所以要對(duì)所有x≥0都有g(shù)(x)≥g(0)充要條件為ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范圍是（－∞，1]．標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案（文）解：設(shè) ，則∵∴ ， ， ，當(dāng) 時(shí)， ，則 為增函數(shù)當(dāng) 時(shí)， ，則 為減函數(shù)當(dāng) 時(shí)， 為常量，無(wú)單調(diào)性【例4】(理)已知函數(shù) ,其中 為常數(shù).(Ⅰ)若 ,討論函數(shù) 的單調(diào)性;(Ⅱ)若 ,且 =4,試證: .(文)已知 為定義在 上的奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，求 的表達(dá)式.（理）標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案（文）解：∵ 為奇函數(shù)， ∴當(dāng) 時(shí)，∵ 為奇函數(shù) ∴∴∴三.鞏固練習(xí)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案1.已知 是 上的減函數(shù),那么 的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知 是周期為 2 的奇函數(shù),當(dāng) 時(shí), ,設(shè)則()A. B. C. D.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()A .B. C. D.4.若不等式 對(duì)于一切 ?(0, )成立,則 的取值范圍是()A.0 B.–2 C.- D.-3標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案設(shè)是上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是()A. 是奇函數(shù) B. 是奇函數(shù)C. 是偶函數(shù) D. 是偶函數(shù)6.已知定義在 上的奇函數(shù) 滿足 ,則 的值為()A.－1B.0C.1D.27.已知函數(shù) 的圖象與函數(shù) （ 且 ）的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱,記 .若 在區(qū)間 上是增函數(shù),則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )A. B. C. D.8.(理)如果函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù),那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9.對(duì)于 上可導(dǎo)的任意函數(shù) ,若滿足 ,則必有( )A. B. C.D.10.已知 ,則( )A. B. C. D.11.已知函數(shù) ,若 為奇函數(shù),則 .12.已知函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù).當(dāng)時(shí), ,則當(dāng) 時(shí), .13.是定義在上的以3為周期的偶函數(shù),且,則方程=0在區(qū)間（0,6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是()A.5 B.4 C.3 D.2標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案14.下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在區(qū)間 上單調(diào)遞減的是( )A. B. C. D.15.若函數(shù) ,則該函數(shù)在 上是( )A.單調(diào)遞減無(wú)最小值 B.單調(diào)遞減有最小值C.單調(diào)遞增無(wú)最大值 D.單調(diào)遞增有最大值16.若函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增,則 的取值范圍是( )A. B. C. D.17.設(shè) 是定義在 上的奇函數(shù) ,且 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則 ______.標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案18.設(shè)函數(shù) 在 上滿足 ,,且在閉區(qū)間［0，7］上,只有 .(Ⅰ)試判斷函數(shù) 的奇偶性;(Ⅱ)試求方程 =0 在閉區(qū)間［-2005,2005 ］上的根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.(理)已知,函數(shù)(1)當(dāng) 為何值時(shí), 取得最小值？證明你的結(jié)論 ;(2)設(shè) 在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù),求 的取值范圍.(文)已知 為偶函數(shù)且定義域?yàn)?, 的圖象與 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱,當(dāng) 時(shí), , 為實(shí)常數(shù),且.(1)求 的解析式;(2)求 的單調(diào)區(qū)間;(3)若 的最大值為12,求 .20.已知函數(shù) 的圖象過(guò)點(diǎn) （0,2）,且在點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案處的切線方程為 .(1)求函數(shù) 的解析式;(2)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.21.已知向量 若函數(shù) 在區(qū)間（－1,1）上是增函數(shù),求的取值范圍.22. (理)已知函數(shù) , , .若 ,且存在單調(diào)遞減區(qū)間,求 的取值范圍.( 文 ) 已 知 函 數(shù)在區(qū)間 上是減函數(shù),且在區(qū)間 上是增函數(shù),求實(shí)數(shù) 的值.鞏固練習(xí)參考答案1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D8.B9.C10.A11.a=12.-x-x413.B14.D15.A16.B17.018.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x) 得函數(shù) 的對(duì)稱標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案軸為 ,從而知函數(shù) 不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù) 的周期為 又 ,故函數(shù) 是非奇非偶函數(shù);由又故f(x) 在[0,10] 和[-10,0] 上均有有兩個(gè)解 ,從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個(gè)解,在[-2005.0]上有400個(gè)解,所以函數(shù) 在[-2005,2005] 上有802個(gè)解.19.(理)解：（I）對(duì)函數(shù) 求導(dǎo)數(shù)得標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案令 得［ +2(1－ ) －2 ］ =0從而 +2(1－ ) －2 =0解得當(dāng) 變化時(shí)， 、 的變化如下表+ 0 － 0 +遞增 極大值 遞減 極小值 遞增∴ 在 = 處取得極大值，在 = 處取得極小值。當(dāng) ≥0時(shí)， <－1, 在 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù),而當(dāng) 時(shí) = ，當(dāng)x=0時(shí)， .所以當(dāng) 時(shí)， 取得最小值（II）當(dāng) ≥0時(shí)， 在 上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是 ，即 ，解得 ，標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案于是 在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是 ，即 的取值范圍是(文)解:(1) 先求 在 上的解析式設(shè) 是 上的一點(diǎn),則點(diǎn) 關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)為 且所以 得 .再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì), 求當(dāng) 上的解析式為所以(2) 當(dāng) 時(shí),因 時(shí),所以標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案因 ,所以 ,所以 而 .所以 在 上為減函數(shù).當(dāng) 時(shí), 因 ,所以因 所以 ,所以 ,即所以 在 上為增函數(shù)(3) 由(2)知 在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù),又因 為偶函數(shù),所以所以 在 上的最大值由 得 .20.解：（Ⅰ）由 的圖象經(jīng)過(guò)P（0，2），知d=2，所以標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案由在 處的切線方程是，知故所求的解析式是（Ⅱ）解得當(dāng)當(dāng)故 內(nèi)是增函數(shù)，在 內(nèi)是減函數(shù)，在 內(nèi)是增函數(shù).解法1：依定義標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案開(kāi)口向上的拋物線，故要使 在區(qū)間（－1，1）上恒成立.解法2：依定義的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，22.(理)解： ，標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案則 因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以 <0有解.又因?yàn)閤>0時(shí)，則ax2+2x－1>0有x>的解.①當(dāng)a>0時(shí)，y