第4章平面力系的簡化和平衡方程

建筑力學(xué)ArchitecturalMechanics

主講：杜留記河南城建學(xué)院土木工程系力學(xué)教研室第四章平面力系的簡化與平衡方程4.1平面任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩4.2平面任意力系簡化結(jié)果的討論4.3平面任意力系的平衡條件·平衡方程4.4平面平行力系的平衡方程4.5物體系的平衡問題4.6考慮摩擦的平衡問題平面任意力系：作用在物體上各力的作用線都分布在同一平面內(nèi)，既不匯交于一點(diǎn)，也不完全平行。工程實(shí)例：屋架、吊車：平面結(jié)構(gòu)承受平面力系。P1P2FAxFAyFDDABDCP145AP2(a)B空間對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱的外力，可簡化為平面問題。如汽車受力。QPBAXAYAYBQPBAOOO—簡化中心F’n

mn

m3

F’3F’2m2LOF3F2F1FnO平面任意力系平面匯交力系平移平移合成力合成力偶矩合成F’1m1平面力偶系O’§4-1平面任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩主矩的大小：LOOyxα指向：由R’x、R’y符號(hào)定。與x方向所夾銳角α方向平面任意力系平面匯交力系力平面力偶系力偶矩建立坐標(biāo)系xy主矢的大?。骸?-1平面任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩§4-1平面任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩簡化中心：O點(diǎn)稱為簡化中心。主矢R′：力系中各力的矢量和；和簡化中心的位置無關(guān)。主矩MO：平面力系中各力對(duì)于簡化中心的矩的代數(shù)和稱為該力系對(duì)簡化中心的主矩，其一般隨簡化中心的位置的改變而變化。結(jié)論：平面任意力系向作用面任一點(diǎn)簡化后，一般得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力的力矢量等于力系中各力的矢量和，即力系的主矢；力偶的矩等于各力對(duì)簡化中心之矩的代數(shù)和，即力系對(duì)簡化中心的主矩。例在邊長為a=1m的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，作用有

F1、F2、

F3

、F4等四個(gè)力，如圖所示。已知F1=40N，F(xiàn)2=60N，F(xiàn)3=60N，F(xiàn)4=80N。試求該力系向A點(diǎn)簡化的結(jié)果。F1F2AyxF360°F430°解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7NR′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°-80cos30°=-106.1NR′=√(R′

x)2+(R′

y)2=122.4Ncos=60.7/122.4,=60.27°cos=(-106.1/122.3)︳,=29.9°RMAMA=∑Mo（Fi）=(-60cos45°-60*cos60°-60sin60+80sin30°)*1=-84.4N·m§4-1平面任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩此時(shí)，簡化結(jié)果與簡化中心位置無關(guān)。此時(shí)，簡化結(jié)果與簡化中心位置有關(guān)。2、1、合力偶原力系力偶系其合力偶矩原力系匯交力系合力2、3、1、4、§4-2平面任意力系簡化結(jié)果的討論LOOdOO1即：合力矢等于主矢；合力作用線在簡化中心O那一側(cè)取決于主矢、主矩方向；合力作用線到O點(diǎn)的距離由h確定。原力系為平衡力系。3、4、原力系合力力偶等效表示OO1h減去平衡力系§4-2平面任意力系簡化結(jié)果的討論合力矩定理LOOOhO1hOO1R為原力系合力R’’＝R’＝R

平面任意力系的合力對(duì)于作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中所有各力對(duì)于該點(diǎn)的矩的代數(shù)和?！?-2平面任意力系簡化結(jié)果的討論例試求合力的大小,方向及作用線到A點(diǎn)的距離。AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o解:主矢Rx=20cos60o+18cos30o=25.59kNRy=25+20sin60o-18sin30o=33.32kN§4-2平面任意力系簡化結(jié)果的討論求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30oR'MA

=1×25+2×20sin60o-3×18sin30o

=32.64kN·mMARd§4-2平面任意力系簡化結(jié)果的討論§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

如果平面任意力系向任一點(diǎn)簡化后的主矢和主矩都等于零，表明簡化后的匯交力系和附加力偶系都自成平衡，則原力系必為平衡力系。所以，主矢和主矩都等于零是平面任意力系平衡的充分條件。反之，如果主矢和主矩中有一個(gè)量不為零，則原力系可合成為一個(gè)合力或一個(gè)力偶；如果主矢和主矩都不為零，則原力系可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力。這種情況下，力系不平衡，所以，主矢和主矩都等于零又是力系平衡的必要條件。

平面任意力系平衡的充要條件是:力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即：平面任意力系平衡的充要條件：主矢，主矩即：所以：平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零。上式稱為平面任意力系的平衡方程。有獨(dú)立三個(gè)方程，只能求解三個(gè)未知數(shù)這是平面任意力系平衡方程的基本形式§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

二矩式：三矩式：x軸不得垂直于A、B連線。A、B、C三點(diǎn)不共線。三組方程都可用來解決平面任意力系的平衡問題。究竟選用哪一組方程，須根據(jù)具體條件確定。對(duì)于受平面任意力系作用的單個(gè)剛體的平衡問題，只可以寫出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解三個(gè)未知量。任何第四個(gè)方程只是前三個(gè)方程的線性組合，因而不是獨(dú)立的。我們可以利用這個(gè)方程來校核計(jì)算的結(jié)果?！?-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

利用平衡方程，求解平衡問題的步驟為：1）選—選取研究對(duì)象。應(yīng)既受已知力，又受要求的力或與要求力相關(guān)的力。2）畫—畫受力圖。3）建—建立坐標(biāo)系，原點(diǎn)可任意，使坐標(biāo)軸與較多的未知力平行。4）列—列平衡方程。注意：矩心應(yīng)取在多個(gè)未知力作用線的交點(diǎn)上。5）解—解平衡方程。6）答—答案，必要時(shí)作出討論或說明。§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

－Pdcos45例

兩根直徑為d的圓鋼，每根重P=2kN，擱置在槽內(nèi)。忽略接觸面的摩擦，求A、B、C三點(diǎn)的約束力。O1O2ⅠⅡPPABC45o解：3個(gè)未知量NCNBNA解方程。（略）研究對(duì)象：兩根圓鋼NA－NC＝0NB＝0－P＝0

NC

dsin45°O1xy－P§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

ACBPFC45yx解得：FC＝28.28kN例已知如圖AC＝CB＝l，載荷P＝10kN。設(shè)梁和桿的自重不計(jì)，求鉸鏈A的約束約束力和桿DC所受的力。DCF’DF’CPABD45解：研究對(duì)象：AB梁。AXA＋FCcos45＝0

YA＋FCsin45－P＝0

FCsin45l－P2l＝0ll由作用反作用公理，CD桿受壓力28.28kN

XA＝－20kNYA＝－10kN(負(fù)號(hào)表明約束力方向與圖示相反)CXAYA§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

PABCD45yxllAXAYAFCC45PBDl如果寫出對(duì)A、C兩點(diǎn)的力矩方程和對(duì)x軸的投影方程：如果寫出對(duì)A、D、C三點(diǎn)的力矩方程？思考！§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

例

水平梁長為4m，重P=10kN，作用在梁的中點(diǎn)C。承受均布載荷q=6kN/m

，力偶矩m＝8kNm。試求A、B處的約束力。P4m2mqmCBA45°解：研究對(duì)象：水平梁AB。BXAYARB－8解得：qx2§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

平面平行力系：各力的作用線相互平行的平面力系

。若取y軸與諸力作用線平行，必恒有或平面平行力系有2個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解2個(gè)未知數(shù)。AB連線不能平行于各力作用線。平面平行力系的平衡方程xy§4-4平面平行力系的平衡方程

例已知F=40KN，M=150KNm。求支座A、B處的反力。ABFM解：研究對(duì)象：AB梁.

畫受力圖.6m3mABFMFBFAMA=0-M+FB

·

6-F·9=0FB==85KNMB=0-FA·

6-M-F·3=0FA==-45KN§4-4平面平行力系的平衡方程

§4-5物體系的平衡問題

物體系統(tǒng)是指由若干個(gè)物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng).PACBQQBqEDCA討論物體系統(tǒng)平衡時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)的外力，還要考慮系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力（內(nèi)力）。解靜定物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:1)分析系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成；2)按照便于求解的原則,適當(dāng)選取整體或個(gè)體為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析并畫受力圖；3)列平衡方程并解出未知量。*.一般需取多次研究對(duì)象；受力圖正確；定路徑?！?-5物體系的平衡問題

①根據(jù)求解的問題，恰當(dāng)?shù)倪x取研究對(duì)象：要使所取物體上既包含已知條件，又包含待求的未知量。②對(duì)選取的研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，正確地畫出受力圖。③建立平衡方程式，求解未知量：a)根據(jù)所研究的力系選擇平衡方程式的類別（如匯交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。b)建立投影方程時(shí)，投影軸的選取原則上是任意的，并非一定取水平或鉛垂方向，應(yīng)根據(jù)具體問題從解題方便入手去考慮。c)建立力矩方程時(shí)，矩心的選取也應(yīng)從解題方便的角度加以考慮。d)求解未知量?！?-5物體系的平衡問題

靜定與超靜定問題

對(duì)每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目.則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就可以求得全部未知量,這樣的問題稱為靜定問題。若未知量的數(shù)目超過獨(dú)立平衡方程的數(shù)目.則單獨(dú)應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就不能求出全部未知量,這樣的問題稱為靜不定問題?！?-5物體系的平衡問題

靜定問題超靜定問題§4-5物體系的平衡問題

CB三角拱由兩部分組成，可列出6個(gè)獨(dú)立的平衡方程，是靜定結(jié)構(gòu)，可解。例已知三角拱的重力及載荷和幾何尺寸，求A、B的約束力。QXBYBXCYCXAYAPACBQQXBXAYYB研究對(duì)象的選取方案：（1）AC和BC（2）整體和BC（3）整體和AC分析受力ACPQY’CX’C§4-5物體系的平衡問題

XBXAYAYB解一（1）研究對(duì)象：整體YBYA（2）研究對(duì)象：BCCXB代入（1）式，可解得XA。XCBXBYBCYCQPACBQQ§4-5物體系的平衡問題

PACBQQ（1）研究對(duì)象：AC（2）研究對(duì)象：BC方程含XC’、YC’方程含XA、YA方程含XA、XC方程含XC、YC方程含XB、YB方程含XB、XCPQACY’CX’CXAYAXCBXBYBCYCQ6個(gè)方程、6個(gè)未知力，聯(lián)立可解研究對(duì)象不同計(jì)算量相差很大。解二§4-5物體系的平衡問題

解：YC=0.5kNmA=-4kNmYA=3.5kNXA=0例

已知m=10kNm，q=2kN/m，求A、B、C三處的約束力。qCAB1mm1m1m1mCBABmqqYAXAmAYCYCYBXBYBXBYAXAmA全面進(jìn)行受力分析，選取合適的研究對(duì)象XB=01）研究對(duì)象：BCYB=1.5kN2）研究對(duì)象：整體§4-5物體系的平衡問題

例三鉸拱ABC的支承及荷載情況如圖所示.已知P=20kN,均布荷載q=4kN/m.求鉸鏈支座A和B的約束反力.1m2m2m3mABCqPXAYAXBYB1）研究對(duì)象：整體解：mA(Fi)=0-4×3×1.5-20×3+4YB=0YB=19.5kNYi=0YA-20+19.5=0YA=0.5kN§4-5物體系的平衡問題

2）研究對(duì)象：BCXCYC1m3mBCPXBYBmC(Fi)=0-1×20+2×19.5+3XB=0XB

=-6.33kNXA=-5.67kNXi=04×3+XA+XB=0整體分析：§4-5物體系的平衡問題

摩擦是自然界最普遍的一種現(xiàn)象，絕對(duì)光滑而沒有摩擦的情形是不存在的。不過在許多問題中，摩擦對(duì)所研究的問題是次要因素，可以略去不計(jì)，但對(duì)于另外一些實(shí)際問題，摩擦卻是重要的甚至是決定性的因素，必須加以考慮。例如，重力壩依靠摩擦防止在水壓力作用下可能產(chǎn)生的滑動(dòng)；帶輪和摩擦輪的傳動(dòng)等。另外一方面摩擦阻力會(huì)消耗能量，產(chǎn)生熱、噪聲、振動(dòng)、磨損，特別是在高速運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)械中，摩擦往往表現(xiàn)得更為突出。兩個(gè)相互接觸的物體產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)或具有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢時(shí)，彼此在接觸部位會(huì)產(chǎn)生一種阻礙對(duì)方相對(duì)運(yùn)動(dòng)的作用。這種現(xiàn)象稱為摩擦，這種阻礙作用，稱為摩擦阻力?！?-6考慮摩擦的平衡問題

摩擦應(yīng)用§4-6考慮摩擦的平衡問題

摩擦滑動(dòng)摩擦滾動(dòng)摩擦靜滑動(dòng)摩擦動(dòng)滑動(dòng)摩擦靜滾動(dòng)摩擦動(dòng)滾動(dòng)摩擦摩擦干摩擦濕摩擦滑動(dòng)趨勢滑動(dòng)滾動(dòng)趨勢滾動(dòng)接觸面間無潤滑介質(zhì)接觸面間有潤滑介質(zhì)§4-6考慮摩擦的平衡問題

1、靜滑動(dòng)摩擦力1）靜滑動(dòng)摩擦定律APQ

重量為P的物體放在粗糙的固定水平面上,受到一個(gè)水平拉力Q的作用。當(dāng)力Q增加到某個(gè)數(shù)值QK時(shí),物體處于將動(dòng)未動(dòng)的臨界狀態(tài)。此時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值Fm

,稱為最大靜摩擦力。APQFNFs當(dāng)時(shí)Xi=0Q-Fs=0F

s=Q

靜摩擦力的大小由平衡條件確定,并介于零和最大靜摩擦力之間,方向與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢的方向相反。fs—靜摩擦系數(shù)無量綱§4-6考慮摩擦的平衡問題

2）動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律

f—?jiǎng)踊瑒?dòng)摩擦因數(shù)，它無量綱，與接觸物體材料和表面情況有關(guān)。動(dòng)摩擦力與靜摩擦力不同，沒有變化范圍。通常動(dòng)摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)。

動(dòng)摩擦力的大小與接觸物體間的正壓力成正比，方向沿接觸處的公切線，與相對(duì)滑動(dòng)趨勢反向。實(shí)際上動(dòng)摩擦系數(shù)還與接觸物體間相對(duì)滑動(dòng)的速度大小有關(guān)，不同材料物體，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對(duì)滑動(dòng)速度變化規(guī)律也不同，當(dāng)滑動(dòng)速度不大時(shí)，動(dòng)摩擦系數(shù)可近似認(rèn)為是個(gè)常數(shù)?！?-6考慮摩擦的平衡問題

2、摩擦角與自鎖現(xiàn)象1）摩擦角稱為摩擦角

（angleoffriction）物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，全約束反力和法線間的夾角稱為摩擦角。FN

—正壓力F

—靜摩擦力FR—全約束反力（全反力）φ—全反力與接觸面法線的夾角§4-6考慮摩擦的平衡問題

（不滑動(dòng)的條件）自鎖：當(dāng)主動(dòng)力合力的作用線在ψ角內(nèi)，無論主動(dòng)力Q多大，都能使物體保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。摩擦錐：如果物體與支承面的靜摩擦系數(shù)在各個(gè)方向都相同，則摩擦角范圍在空間就形成為一個(gè)錐體，稱為摩擦錐。FQFR2）自鎖現(xiàn)象自鎖條件§4-6考慮摩擦的平衡問題

斜面自鎖條件螺紋自鎖條件§4-6考慮摩擦的平衡