第5章全同粒子及二次量子化

第5章全同粒子及二次量子化1§5.1全同粒子量子力學的特征之一是不能區(qū)分亞原子范圍內(nèi)的全同粒子.將一群具有相同質(zhì)量、相同電荷、相同自旋,且在相同物理條件下具有相同物理行為的粒子稱為全同粒子.2O圖1:在質(zhì)心系中觀察粒子在O原子核上的散射D1D2(假設(shè)能量足夠低!)3O圖1a幾率振幅f()D1D2令f()表示探測器放在角度上粒子散射到其中的幾率振幅:4圖1b幾率振幅eif()OD1D2f()表示粒子散射到

()

角度上其中的幾率振幅,或探測器在角度上探測到O原子的振幅.5若所用探測器既能對粒子也能對O原子做出反應,則在D1中探測到某種粒子的概率=|f()|2+|f()|26如果發(fā)生相互作用的是兩個全同粒子,將會如何呢?7首先,這時,a,b兩圖的過程將不能分別;8其次,當我們交換兩個粒子時,我們必須在振幅上乘以某個相位因子ei,而如果把兩個粒子再交換一次,應該回到了第一個過程,故而ei=+1

或1即兩個全同粒子交換前后的振幅要么具有相同的符號,要么具有相反的符號.這兩種情況在自然界確實都存在!9原理5：描寫全同粒子系統(tǒng)的態(tài)矢量,對于任意一對粒子的對調(diào),是對稱的或反對稱的.服從前者的粒子稱為玻色子,服從后者的粒子稱為費米子.玻色子:如光子、介子和引力子;費米子:如電子、子、中微子、核子.10圖2:在質(zhì)心系中觀察粒子對粒子的散射D1D211粒子到達D1的概率=|f()

+f()|2因為,此時(以粒子替代O原子),我們無法再區(qū)分圖1a和圖1b,且粒子對于置換是對稱的,故而應為幾率幅相加.He3+He4?復合粒子呢?12圖3:在質(zhì)心系中觀察電子對電子的散射eeD1D213電子到達D1的概率=|f()

f()|2因為,電子對于置換是反對稱的.14圖4:在質(zhì)心系中觀察電子對電子的散射eeD1D215ee圖4aD1D2ee16ee圖4bD1D2ee17電子到達D1的概率=|f()|2

+

|f()|2圖418§5.2N個全同粒子的狀態(tài)在N個有自旋的粒子體系中,體系的波函數(shù)是4N個坐標的函數(shù)(3N個空間和N個自旋坐標):(1)19用Pij表示粒子i與粒子j間的置換算符,由于粒子全同,交換使得系統(tǒng)物理狀態(tài)不變,即(2)其中,是任意常數(shù)因子.20如果對二個粒子再交換一次,則恢復到原有狀態(tài),故而(3)21(3)式意味著可以有兩種粒子體系,對稱波函數(shù):(4)或者反對稱波函數(shù):(5)22交換簡并考慮N個全同粒子,體系的Schrodinger

方程為(6)其中Hi(ri,si)作用于粒子i上.23如果粒子k的本征函數(shù)為(rk,sk),即單粒子本征值問題是(7)則(6)式的解是單粒子波函數(shù)之積(8)24如果有ni個粒子在態(tài)i中,則總能量的本征值為(9)由于粒子不可區(qū)分,不能指明某個粒子具體處于何態(tài),故有種由單粒子波函數(shù)乘積形成的具有相同能量值E的(8)式.這就是所謂的交換簡并.25對稱波函數(shù)與反對稱波函數(shù)對于玻色子,對稱波函數(shù)由(8)式中全部可能的N!種單粒子波函數(shù)變量交換后的和構(gòu)成,即(10)其中P為對換算符,這里假定單粒子波函數(shù)正交.26反對稱波函數(shù)最好的表示形式是行列式---Slater行列式---它由N個單粒子波函數(shù)組成(11)27§5.3產(chǎn)生和湮滅算符上述有關(guān)全同粒子的對稱性假設(shè)將不同種類的粒子的態(tài)限制為對稱、或者反對稱.這極大地簡化了多粒子態(tài)理論,從而允許我們引進一種包含產(chǎn)生和湮滅算符的更簡潔的理論形式,即所謂的二次量子化.這種形式將不限制于固定粒子數(shù)的系統(tǒng),而是將粒子數(shù)作為一動力學變量處理.進而,這種理論形式可以較容易的推廣到描述高能情況下粒子的產(chǎn)生和湮滅.28新的理論形式中,態(tài)空間(稱之為Fock

空間)的正交基矢包括:真空或無粒子態(tài)；單粒子態(tài)的完備集,{

:(=1,2,3…)}；雙粒子態(tài)的完備集{

}；三粒子態(tài)的完備集{

}；……這些完備集皆具有正確的置換對稱性.29在坐標表象中,這些矢量將為:30一、費米子首先,由下列關(guān)系定義產(chǎn)生算符:(12)31這些矢量在置換時是反對稱的,因此下面為了方便我們將稱函數(shù)x為一軌道,而對于矢量則說被占據(jù),同時其他軌道未被占據(jù).如果軌道未被占據(jù),則表示為:32方程(12)的無窮序列可總結(jié)為下述表達式(13)當然如果軌道已被占據(jù),則因此Pauli不相容原理自動得到滿足.于是(14)33產(chǎn)生算符C+由(13)、(14)式而完全被定義,而且其伴隨算符C=(C+)+的性質(zhì)也可從中推出：從(14)式,我們有(15c)(15a)(15b)34從(15)的三個關(guān)系式可以分別得到(16)(17)(18)(17),(18)(18),(16)(17),(18)35若令,從(17)及(18)式我們可以看出C|0與任意基矢正交,故而(19)36另外,由(18)令,可得C與任意軌道被占據(jù)的態(tài)正交;同時,由(16)C與,除了C=1,任意軌道未被占據(jù)的其它態(tài)正交.因此(20)37又由(16),(21)若在(17),(18)中(~),則知(22)38因此我們看到C的作用效果是:

如果

軌道被占據(jù),則清空

軌道；如果

軌道未被占據(jù),則結(jié)果為零.故而C被稱作湮滅算符.綜上,我們看到產(chǎn)生算符C?增加一個粒子于

軌道(如果它是空的),而湮滅算符從

軌道(如果它被占據(jù))移走一個粒子;否則,結(jié)果為零.39算符方程對任意成立(23)(24)1.考慮算符C?

C?,402.考慮算符C?

C?+C?

C?,(25)(26)41考慮算符C

C?+C?

C

:3.若,則當軌道空、或

軌道已被占據(jù),則上述算符作用結(jié)果必定為0.因此只需考慮其作用于~形式的態(tài)矢情況42若=,則分別考慮軌道被占據(jù)或空的情況:43(27)44容易驗證,所有Fock基矢皆為算符C?

C的本征矢,更嚴格地,為其本征值為0(軌道空)、或為1(軌道被占據(jù))的本征矢,因此C?

C的功能相當于軌道的占有數(shù)算符;而總粒子數(shù)算符是:(28)45基的變換上面已經(jīng)對一特定的單粒子基函數(shù)的集合,C?(對應于函數(shù)x)定義了產(chǎn)生和湮滅算符.46現(xiàn)若作一基變換,則需要考慮新的產(chǎn)生和湮滅算符與原有的算符之間的關(guān)系.設(shè)bj?和bj為相應于基函數(shù)fjx的產(chǎn)生和湮滅算符,這里bj?j,fjx=xj.47兩組函數(shù)集合{x}和{fjx}都既是完備的又是正交的,于是或等價的48新的產(chǎn)生和湮滅算符當然也必須(25),(26)及(27)式.上述要求經(jīng)下面的線性變換都將得到滿足:49作為例子,我們考慮如下的一組產(chǎn)生位置本征矢的算符應用上述結(jié)果,有50其中x=

x正是原有基函數(shù)在坐標表象中的表示,因此這些在空間某點產(chǎn)生和湮滅的新算符被稱之為場算符(fieldoperators).積?(x)(x)稱為數(shù)密度算符,而類似于(28)式的總粒子數(shù)算符等于51二、玻色子玻色子的Fock空間的基矢構(gòu)建與費米子有諸多共同之處,只是現(xiàn)在多粒子態(tài)須是粒子置換下的對稱態(tài).這意味著軌道的多重占據(jù)是可能的了，如可以為三粒子的一對稱態(tài).因此,與在費米子情況中僅需指明被占據(jù)軌道相比,在玻色子情況中則還需指明占有度.52如果單粒子基矢由集合{:(=1,2,3…)}組成,則多玻色子態(tài)可表示為|n1,n2,n3,…,其中n

.53產(chǎn)生算符可根據(jù)下列性質(zhì)定義:(29)54既然態(tài)矢是對稱的,必定有:a?a?=a?

a?

.55利用在有關(guān)費米子的論述中相似的方法,可以知道,a=(a?)?

的作用相當于一湮滅算符,并有下述性質(zhì):(30)56類似地,定義軌道的數(shù)算符為a?

a

,因此,由關(guān)系(31)(32)57現(xiàn)在方程(29)中的正比因子可以確定如下,首先(33)作用以a并注意到(32)式,我們得再作用以a?

得(34)58另一方面上一方程的左邊還可表示為:(35)比較(34)與(35),得59因此最終有(36)60從(32)、(36)我們導出以下對易關(guān)系(37)前已述及的另一關(guān)系式為(38)61與(25)、(26)及(27)式比較,我們看到費米子的產(chǎn)生、湮滅算符滿足反對易關(guān)系,而玻色子的相應算符滿足對易關(guān)系.62§5.4算符的二次量子化形式對于玻色子和費米子來說,用產(chǎn)生算符、湮滅算符表示動力學變量的形式在本質(zhì)上是相同的,這里采用費米子來引入這一形式,因為它的反對易關(guān)系需要更加注意+、號.63n個全同粒子系統(tǒng)的力學量有幾種類型,一種可以寫成n個單體力學量Ri之和,如:動量動能外勢一般的(39)64另一種類型可以寫成n(n1)個雙體力學量之和,如一對粒子的相互作用勢能(xi,xj)等.當然更復雜的還有三體力學量,等.65上述的單體可相加算符可以利用產(chǎn)生、湮滅算符表示為(40)它的優(yōu)點是無需涉及虛擬的粒子下標,也不依賴于粒子數(shù).66下面證明(39)、(40)之間的等價性,這可通過它們對于任意一對n-體態(tài)矢具有相同矩陣元而得證:67首先,我們證明(40)對于基矢的變換不變,比如考慮另一基矢表示的相似的算符為利用前述基變換的相關(guān)結(jié)果我們得68既然(40)不依賴于基,則我們就可選擇任意方便的基來證明(39)、(40)之間的等價性.這里我們選擇新的基函數(shù){|fk},它使得單粒子算符R1對角化:R1|fk=rk|fk,從而得在這個基中,算符R的對角矩陣元等于k(rknk),這里nk為軌道fk

的占有數(shù),而非對角矩陣元為0.這顯然與(39)的矩陣元相一致(假定粒子數(shù)確定knk=n)69下一個須要考慮的動力學變量形如:(41)70上述算符