第9章 Multiple Regression Analysis 多元回歸分析之模型設定和數據問題

MultipleRegressionAnalysisP289

多元回歸分析之模型設定和數據問題

y=b0+b1x1+b2x2+...bkxk+uSpecificationandDataProblems模型設定和數據問題1ChapterOutline 本章大綱FunctionalFormmisspecification

函數形式誤設-討論模型誤設的結果-P289UsingProxyvariablesforunobservedexplanatoryvariables

對觀測不到的變量使用代理變量-討論用代理變量來減輕有偏性PropertiesoftheOLSUnderMeasurementError

有測量誤差的OLS性質-推導和解釋MissingData,NonrandomSamples,andoutliers

數據缺失、非隨機樣本和離群點-討論額外的數據問題2FunctionalForm

函數形式Howdoweknowifwe’vegottentherightfunctionalformforourmodel?我們如何知道模型是否得到正確的函數形式呢？P289:異方差的出現可以看成是模型的錯誤設定，但不影響有偏性和一致性，還可以通過WLS來減輕；本章討論u與xi的相關性，如果相關，稱xi為外生變量，為什么？當被忽略的自變量為其他變量的函數時，將產生函數形式誤設這一問題。何謂函數形式誤設？3FunctionalForm(continued)

函數形式（續(xù)）

First,useeconomictheorytoguideyou首先，用經濟理論的指導Thinkabouttheinterpretation考慮它的解釋Doesitmakemoresenseforxtoaffectyinpercentage(uselogs)orabsoluteterms?x影響y的更合理的方式是百分比的形式（用log形式），還是絕對量的形式？Doesitmakemoresenseforthederivativeofx1tovarywithx1(quadratic)orwithx2(interactions)ortobefixed?x1的系數更合理的形式是隨x1變化（二次形式），隨x2變化（交互作用），還是固定不變？P290:2個誤設案例，一個是忽略了二次項，一個是忽略了交叉項。也可能是沒有用LOG形式；回顧第三章P85假設3不成立的幾種情況，函數形式誤設的后果P290EXP.9.1-閱讀4FunctionalFormMisspecification

函數形式誤設Amultipleregressionmodelsuffersfromfunctionalformmisspecificationwhenitdoesnotproperlyaccountfortherelationshipbetweenthedependentandtheobservedexplanatoryvariables.

當一個多元回歸模型不能正確地說明被解釋變量和觀察到的解釋變量之間的關系時，此模型存在函數形式誤設問題。5FunctionalFormMisspecification

函數形式誤設Misspecifyingthefunctionalformofamodelcanhaveseriousconsequences.Wemayobtainbiasedorinconsistentestimatorsofthepartialeffects.誤設一個模型的函數形式可能產生嚴重的后果。我們得到的局部效應的估計量可能有偏或不一致。Onewayout:toaddquadratictermsofanysignificantvariablestoamodelandtoperformajointtestofsignificance.

一種方法：向模型加入任何重要變量的二次項，進行一個聯合顯著性檢驗。-加入二次項，對二次項系數聯合顯著性F檢驗通過時，顯示的癥狀往往是誤設，如誤將對數模型為水平模型。另外經濟數據中，二次項可以解決大部分非線性問題-P2906Example:ModelingCrime

例子：對犯罪建模-P292Dependentvariable:被解釋變量：Narr86,#timesarrested,1986（1986年被捕次數）ExplanatoryVariables：解釋變量：pcnvproportionofpriorconvictions以前被定罪比例avgsen

avgsentencelength,mos.平均判刑期限，單位：月tottime timeinprisonsince18,mos.18歲以來的服刑時間，單位：月Ptime86mos.inprisonduring19861986年的服刑時間，單位：月解讀：1.為什么加入二次項，因為水平項T檢驗很顯著；2.加入變量的二次項后，原先的水平變量系數變化很大；同時二次項聯合F顯著；3.二次項加入，模型的解讀變得困難，可能有更深刻的實際意義7Example:ModelingCrime

例子：對犯罪建模Explanatoryvariables解釋變量Qemp86#quartersemployed,19861986年被雇傭季度數inc86 legalincome,1986,$100s1986年合法收入，單位：百美元black =1ifblack如果是黑人，black=1hispan =1ifHispanic如果是西班牙裔，hispan=1First,weregressthedependentvariablesontheindependentvariables,withoutanysquareterms.首先，我們將被解釋變量向解釋變量回歸，不包含任何平方項。8

regnarr86pcnv

avgsen

tottimeptime86qemp86inc86blackhispanSource|SSdfMSNumberofobs=2725-------------+------------------------------F(8,2716)=26.47Model|145.390104818.173763Prob>F=0.0000Residual|1864.957052716.686655763R-squared=0.0723-------------+------------------------------AdjR-squared=0.0696Total|2010.347162724.738012906RootMSE=.82865------------------------------------------------------------------------------narr86|Coef.Std.Err.tP>|t|[95%Conf.Interval]-------------+----------------------------------------------------------------

pcnv|-.1332344.0403502-3.300.001-.2123546-.0541141

avgsen|-.0113177.0122401-0.920.355-.0353185.0126831

tottime|.0120224.00943521.270.203-.0064785.0305233

ptime86|-.0408417.008812-4.630.000-.0581206-.0235627qemp86|-.0505398.0144397-3.500.000-.0788538-.0222258

inc86|-.0014887.0003406-4.370.000-.0021566-.0008207black|.3265035.04541567.190.000.2374508.4155561

hispan|.1939144.03971134.880.000.1160469.2717818_cons|.5686855.036046115.780.000.4980048.6393661------------------------------------------------------------------------------9Plottingnarr86againstpncv

繪圖：narr86關于pncv10Plottingnarr86againstinc86

繪圖：narr86關于pncv11Plottingnarr86againstptime86

繪圖：narr86關于pncv12

narr86Coef.Std.Err.tP>|t|[95%Conf.Interval]

pcnv.5525236.15423723.580.000.2500892.8549579

pcnvsq

-.7302119.1561177-4.680.000-1.036333-.4240903

avgsen-.0170216.0120539-1.410.158-.0406574.0066142

tottime.011954.00928251.290.198-.0062474.0301554

ptime86.2874334.04425826.490.000.2006501.3742166

pt86sq-.0296076.0038634-7.660.000-.037183-.0220321qemp86-.0140941.0173612-0.810.417-.0481366.0199485

inc86-.0034152.0008037-4.250.000-.0049912-.0018392

inc86sq7.19e-062.56e-062.810.0052.17e-06.0000122black.292296.044836.520.000.2043916.3802004

hispan.1636175.03945074.150.000.0862609.240974_cons.5046065.036835313.700.000.4323784.5768347AddingQuadratictermstosignificantVariables加入重要變量的平方項13Drawbacksofaddingsquaretermstodetectfunctionalformmisspecification

取消加入平方項以檢測函數形式誤設

Theoretically,wecantestjointexclusionrestrictionstoseeifhigherordertermsorinteractionsbelongtothemodel理論上，我們作排除性約束的聯合檢驗，來看高階項和交叉項是否屬于模型。Itcanbetedioustoaddandtestextraterms.Manydegreesoffreedomsmaybeused. 加入和檢驗另外的項過程會很單調乏味且冗長。當原模型解釋變量多時可能會消耗掉許多自由度。14Drawbacksofaddingsquaretermstodetectfunctionalformmisspecification

取消加入平方項以檢測函數形式誤設Somenonlinearitiescannotbepickedupbyaddingquadraticterms.Forexample,wemayfindasquaretermmatterswhenusinglogsismoreappropriate. 一些非線性關系不能通過加入二次項捕捉。例如，當我們發(fā)現平方項重要時，可能對數形式更加適合。15Ramsey’sRESETP292

Ramsey回歸設定誤差檢驗AtestoffunctionalformisRamsey’sregressionspecificationerrortest(RESET)一種函數形式的檢驗是Ramsey回歸設定誤差檢驗（RESET）。RESETaddspolynomialsintheOLSfittedvaluestotheoriginalregression.RESET在原回歸中加入OLS擬合值的多項式-沒有明確的原理指出到底要加入多少個高次方的項，但是平方和立方一般是有用的。16Ramsey’sRESET

Ramsey回歸設定誤差檢驗

Insteadofaddingfunctionsofthex’sdirectly,weaddandtestfunctionsof?我們加入并檢驗?的多次項函數，而不是直接加入x的函數。注意：如何加入函數項的？P293So,estimatey=b0+b1x1+…+bkxk+d1?2+d1?3+errorandtest所以，估計y=b0+b1x1+…+bkxk+d1?2+d1?3+error，并檢驗。H0:d1=0,d2=0,usingFstatisticorLMstatistic.H0:d1=0,d2=0，用F統計量或LM統計量。17Ramsey’sRESET

Ramsey回歸設定誤差檢驗AsignificantFstatisticsuggestssomesortoffunctionalformproblem.一個顯著的F統計量說明函數形式可能存在問題。ThedistributionofFisapproximatelyF2,n-k-3inlargesamplesunderthenullhypothesisandtheG-Massumptions.在零假設和G-M假定下，F的分布大樣本近似為F2,n-k-3分布。自由度的說明：減少了2個自由度P29318ImplementingRESETinStata

在STATA中實施RESETSTATAusescommandovtestafterregcommand.STATA在reg命令后，使用ovtest命令。?2,?3,and?4

areusedinstata.STATA使用?2,?3和?4

。regnarr86pcnv

avgsen

tottimeptime86qemp86inc86blackhispan

ovtest

RamseyRESETtestusingpowersofthefittedvaluesofnarr86RESET檢驗使用narr86擬合值的冪函數項 Ho:modelhasnoomittedvariablesF(3,2713)=4.19,Prob>F=0.005819ImplementingRESETinStata

在STATA中實施RESETAnalternativeistospecifytheoption,rhs.一個替代的方法是指定選擇，rhsInthiscasethepowertermsofalltheexplanatoryvariablesinsteadofthefittedvaluesareusedinthetest.在這種情況下，檢驗中使用所有解釋變量的冪函數項，而不是擬合值的相應項。ovtest,rhs RamseyRESETtestusingpowersoftheindependentvariablesRESET檢驗使用解釋變量的冪函數項Ho:modelhasnoomittedvariablesF(18,2698)=9.73Prob>F=0.000020CautionsinUsingRESET

使用RESET的注意事項RESETisgoodatdetectingmisspecificationsintheformofnonlinearities,notgeneralomittedvariables. RESET在探測非線性形式的函數誤設時很好用，而不是用于檢測一般的遺漏變量。Wooldridge(1995)showsthatRESEThasnopowerfordetectingomittedvariableswhenevertheyhaveexpectationsthatarelinearintheincludedindependentvariables. Wooldridge在1995年證明：當被遺漏變量的期望值時所包含自變量的線性函數時，RESET無法探測出遺漏變量問題。P294：對RESET作用的正確評價：1.有的認為可以檢測遺漏變量和異方差，但是Wooldridge不這樣認為21CautioninusingofRESET

使用RESET的注意事項However,iftheomittedvariablehavenonlinearexpectationsinthedependentvariables,asignificantRESETcanindicateomitted-variableproblem. 盡管如此，如果被遺漏變量的期望是自變量的非線性形式時，一個顯著的RESET可以指出遺漏變量問題。AlsonoticethatthedrawbackoftheRESETtestiswhenthenullisrejected,RESETdoesnotsuggestwhattodointhenextstep. 也要注意到，RESET檢驗的一個缺陷是，當零假設被拒絕后，它并不能建議我們下一步怎么做。22HousingPriceExample

住房價格的例子Thisexampleisusedfortwopurposes. 使用這個例子有兩個目的。First,logformscanbebetterindealingwithnonlinearitiesthenusingthelevelvariables. 首先，處理非線性問題時，log形式可能比變量原形式更好。Second,asignificantRESETmayindicatenonlineareffectofomittedvariables,likethevariable“assess”addedinlater. 其次，一個顯著的RESET可能指出被遺漏變量的非線性效應，比如稍后加入的變量“assess”。23HousingPriceExample

住房價格的例子Dataused:hprice1.dta,variables使用數據：hprice1.dta,變量assessassessedvalue,$1000s（評估價，單位：千美元）pricehouseprice,$1000s（房價，單位：千美元）lotsizesizeoflotinsquarefeet（土地的面積，單位：平方英尺）sqrftsizeofhouseinsquarefeet（房屋的面積，單位：平方英尺）bdrmsnumberofbedrooms（臥室數）24HousingPriceExample

住房價格的例子

P293閱讀

regpricelotsize

sqrft

bdrms

ovtest

RamseyRESETtestusingpowersofthefittedvaluesofprice（RESET檢驗用擬合價格的冪函數項）Ho:modelhasnoomittedvariablesF(3,81)=4.26

Prob>F=0.007625HousingPriceExample:thelogforms

住房價格的例子：log形式Thelogformdonotrejectthenullofnomisspecificationat5%significancelevel.Log形式的回歸在5％水平上沒有拒絕零假設：沒有函數形式誤設。--結論：第二個模型即對數模型更好一些。-P293reg

lprice

llotsize

lsqrft

bdrmsovtestRamseyRESETtestusingpowersofthefittedvaluesoflprice

（RESET檢驗用lprice擬合值的冪函數項）Ho:modelhasnoomittedvariablesF(3,81)=2.45

Prob>F=0.069226HousingPriceExample:thelogforms

住房價格的例子：log形式reg

lprice

lassess

llotsize

lsqrft

bdrmsInthisstepvariablelassessisasignificantvariablewitht=6.89.這一步中，變量lassess顯著，t=6.89ovtest

RamseyRESETtestusingpowersofthefittedvaluesoflprice

（RESET檢驗使用lprice擬合值的冪函數項）Ho:modelhasnoomittedvariablesF(3,80)=1.11

Prob>F=0.350927HousingPriceExample:thelogforms

住房價格的例子：log形式Noticetheresultsaredifferentfromthetextbooksince?2,?3,and?4

areusedinstata,insteadof?2,?3

asinthetextbook

. 注意這里的結果和課本上不同，因為課本上使用?2,?3

，這里stata用的是?2,?3,和

?4

。Youcanreplicatethetextbookresultbyputting?2,?3

intothemainequation,anduseFtesttotesttheirjointsignificances.

你可以通過以下方法得到課本的結果：向主方程加入?2,?3

，使用F檢驗檢驗它們的聯合顯著性。28NonnestedAlternativeTests:MR

非嵌套替代模型的檢驗：MRP294

-如何檢驗非嵌套模型？二種方法：MR方法、DM方法

Whichofthefollowingmodelisbetter?下面哪一個模型更好？MizonandRichard(1986):Constructacomprehensivemodelthatcontainseachmodelasaspecialcaseandthentotesttherestrictionsthatledtoeachofthemodels.

MizonandRichard(1986):

構造一個綜合模型，將每個模型都作為一個特殊情況包含其中，然后檢驗導致每個模型變的約束。注意：第6章P199曾提出用擬合優(yōu)度監(jiān)測29NonnestedAlternativeTests

非嵌套替代模型的檢驗Intheaboveexample,thecomprehensivemodelis在上例中，綜合模型是：

andtest

30NonnestedAlternativeTests:DM

嵌套替代模型的檢驗：DMDavidsonandMacKinnon(1981):if(9.6)istrue,thenthefittedvaluesfrom(9.7),shouldbeinsignificantin(9.6).DavidsonandMacKinnon(1981):如果（9.6）正確，那么從（9.7）得到的擬合值在（9.6）中應當不顯著。注意：D-M檢驗的思路，是一個t檢驗P29431NonnestedAlternativeTests:DM

嵌套替代模型的檢驗：DMTotest(9.6),wefirstestimatemodel(9.7)byOLStoobtainthefittedvalues.為了檢驗（9.6），我們首先通過OLS估計模型（9.7）以得到擬合值。Putthisfittedvalueasanadditionalexplanatoryvariablein(9.6),usetstatistictotestitssignificance.將得到的擬合值作為另外的解釋變量放到（9.6）中，用t統計量檢驗其顯著性。32TheHousingPriceExample:MR

住房價格的例子：MRThecompetingmodels:競爭模型是：

(1)

reg

lprice

bdrmscolonialassesslotsize

sqrft(2)reg

lprice

bdrmscoloniallassess

llotsize

lsqrft

Thecombinedregression:組合的回歸：

reg

lpricecolonialbdrmsassesslotsize

sqrft

lassess

llotsize

lsqrft

33TheHousingPriceExample:MR

住房價格的例子：MRTestingwhether(2)istherightone:檢驗（2）是否正確：testassesslotsize

sqrft

F(3,79)=2.92,Prob>F=0.0392Testingwhether(1)istherightone:檢驗（1）是否正確： testlassess

llotsize

lsqrftF(3,79)=3.97,Prob>F=0.0108Inclusive.34TheHousingPriceExample:DM

住房價格的例子：DMTestingwhether(2)istherightone:檢驗（2）是否正確：

reg

lpriceassessbdrms

lotsize

sqrftcolonial

predictyl,xb

reg

lprice

lassess

llotsize

lsqrft

bdrmscolonialylThetablebelowshowthatylisaninsignificantvariable.下表顯示yl

不是一個顯著的變量。35

Source|SSdfMSNumberofobs=88-------------+------------------------------F(6,81)=48.11Model|6.2607657361.04346095Prob>F=0.0000Residual|1.7568377981.021689355R-squared=0.7809-------------+------------------------------AdjR-squared=0.7646Total|8.0176035287.092156362RootMSE=.14727

-----------------------------------------------------------------------------

lprice|Coef.Std.Err.tP>|t|[95%Conf.Interval]-------------+---------------------------------------------------------------

lassess|.6762505.33745562.000.048.00481971.347681

llotsize|-.0119247.0419541-0.280.777-.0954003.0715508

lsqrft|-.1258866.1407801-0.890.374-.4059949.1542216

bdrms|.0152289.0245180.620.536-.0335542.0640121colonial|.0243595.0397240.610.541-.0546788.1033977

yl|.4346309.36462431.190.237-.2908571.160119_cons|.3062863.57372220.530.595-.83524091.447813-----------------------------------------------------------------------------36

Source|SSdfMSNumberofobs=88-------------+------------------------------F(6,81)=48.27Model|6.2654426361.04424044Prob>F=0.0000Residual|1.7521608981.021631616R-squared=0.7815-------------+------------------------------AdjR-squared=0.7653Total|8.0176035287.092156362RootMSE=.14708

----------------------------------------------------------------------------

lprice|Coef.Std.Err.tP>|t|[95%Conf.Interval]-------------+--------------------------------------------------------------assess|.0004822.00099150.490.628-.0014906.002455

bdrms|-.0032415.0236591-0.140.891-.0503157.0438326

lotsize|1.48e-061.68e-060.880.381-1.86e-064.83e-06

sqrft|.0000404.00005820.690.489-.0000753.0001562colonial|.0207546.04268410.490.628-.0641735.1056826

ys|.7382357.3435822.150.035.05461531.421856_cons|1.2247571.6193960.760.452-1.9973334.446848----------------------------------------------------------------------------Testingwhether(1)istherightone檢驗（1）是否正確：37NonnestedAlternativeTests:Comments

嵌套替代模型的檢驗：注釋Theaboveexamplefavorsthelogmodel,butitisoftenpossibletoseebothmodelsberejected,orneithermodelberejected.上面的例子偏好log模型，但可能經常看到兩個模型都被拒絕，或，沒有一個被拒絕。38NonnestedAlternativeTests:Comments

嵌套替代模型的檢驗：注釋WhenbotharerejectedMoreworkonspecificationneedstobedone.However,iftheeffectsofkeyindependentvariablesonyarenotverydifferent,thenitdoesnotreallymatterwhichmodelisused.

當兩個都被拒絕需要在模型設定上花更多功夫盡管如此，如果關鍵解釋變量對y的效應差別不是很大，那么用哪個模型關系不是很大。WhenbotharenotrejectedWecanusetheadjustedR-squaredtochoosebetweenthem.當兩個都未被拒絕我們可以用調整過的R2在它們之間選擇。39ProxyVariablesP295

代理變量

Whatifmodelismisspecifiedbecausenodataisavailableonanimportantxvariable?如果模型誤設是因為得不到一個重要解釋變量的數據，怎么辦？比如人的能力，是一個模糊變量，很難衡量Itmaybepossibletoavoidormitigateomittedvariablebiasbyusingaproxyvariable.可能通過使用一個代理變量避免或減輕遺漏變量偏誤。Aproxyvariableissomethingthatisrelatedtotheunobservedvariablethatwewouldliketocontrolforinouranalysis. 代理變量就是與我們在分析中試圖控制而又觀測不到的變量相關的變量。注意：引入代理變量的目的是什么？不是檢測beta3，而是為了正確獲取beta1和beta240ProxyVariables

代理變量-代理變量要與原始變量相關-P29641ProxyVariables

代理變量42ProxyVariables

代理變量43ProxyVariables

代理變量

P296

引入代理變量需要怎樣的條件呢？44ProxyVariables

代理變量P296

45ProxyVariables(continued)

代理變量（續(xù)）Whenthesetwoassumptionsaresatisfied,wearerunningregressionsy=(b0+b3d0)+b1x1+b2x2+b3d3x3+(u+b3v3)andhavejustredefinedintercept,errortermx3coefficient.當這兩個假設被滿足，我們作回歸y=(b0+b3d0)+b1x1+b2x2+b3d3x3+(u+b3v3)，只要重新定義截距項，誤差項和x3系數。46TheIQExample.reg

lwage

educ

expertenuremarriedsouthurbanblack

Source|SSdfMSNumberofobs=935-------------+------------------------------F(7,927)=44.75Model|41.837761975.97682312Prob>F=0.0000Residual|123.818521927.133569063R-squared=0.2526-------------+------------------------------AdjR-squared=0.2469Total|165.656283934.177362188RootMSE=.36547

----------------------------------------------------------------------------

lwage|Coef.Std.Err.tP>|t|[95%Conf.Interval]-------------+---------------------------------------------------------------

educ|.0654307.006250410.470.000.0531642.0776973

exper|.014043.00318524.410.000.007792.020294tenure|.0117473.0024534.790.000.0069333.0165613married|.1994171.03905025.110.000.1227801.276054south|-.0909036.0262485-3.460.001-.142417-.0393903urban|.1839121.02695836.820.000.1310056.2368185

black|-.1883499.0376666-5.000.000-.2622717-.1144281_cons|5.395497.11322547.650.0005.173295.617704--------------------------------------------------------------------------

47PlottingstandardizedIQagainstStandardizedWage

繪圖：標準化的IQ關于標準化的工資4849TheRegressionAddingIQ

加入IQ的回歸.reg

lwage

educ

expertenuremarriedsouthurbanblacksdIQ

Source|SSdfMSNumberofobs=935-------------+------------------------------F(8,926)=41.27Model|43.536016185.44200202Prob>F=0.0000Residual|122.120267926.131879338R-squared=0.2628-------------+------------------------------AdjR-squared=0.2564Total|165.656283934.177362188RootMSE=.36315----------------------------------------------------------------------------

lwage|Coef.Std.Err.tP>|t|[95%Conf.Interval]-------------+--------------------------------------------------------------

educ|.0544106.00692857.850.000.0408133.068008

exper|.0141458.00316514.470.000.0079342.0203575tenure|.0113951.00243944.670.000.0066077.0161825married|.1997644.03880255.150.000.1236134.2759154south|-.0801695.0262529-3.050.002-.1316916-.0286473urban|.1819463.02679296.790.000.1293645.2345281

black|-.1431253.0394925-3.620.000-.2206304-.0656202

sdIQ|.0535739.01492933.590.000.0242747.0828731_cons|5.536914.119208846.450.0005.3029635.770864----------------------------------------------------------------------------50CautionsinUsingProxyVariables

使用代理變量注意事項

Whenassumptionsarenotsatisfiedwecannotgetconsistentestimators.Sayx3*=d0+d1x1+d2x2+d3x3+v3

Thenweareactuallyestimatingy=(b0+b3d0)+(b1+b3d1)x1+(b2+b3d2)x2+b3d3x3+(u+b3v3)Biaswilldependonsignsofb3anddj當假設不滿足時，我們不能得到無偏、一致的估計量比如x3*=d0+d1x1+d2x2+d3x3+v3實際上，我們可以估計y=(b0+b3d0)+(b1+b3d1)x1+(b2+b3d2)x2+b3d3x3+(u+b3v3)。偏誤方向將依賴于b3

和dj的符號。51LaggedDependentVariables

滯后的被解釋變量

P302

Whatifthereareunobservedvariables,andyoucan’tfindreasonableproxyvariables?如果存在不可觀測的變量，并且你又找不到合理的解釋變量，怎么辦？Maybepossibletoincludealaggeddependentvariabletoaccountforomittedvariablesthatcontributetobothpastandcurrentlevelsofy 可以包含一個滯后的被解釋變量，說明同時影響過去和當前y水平的被遺漏變量。Obviously,youmustthinkpastandcurrentyarerelatedforthistomakesense.很顯然的,我們必須認為過去和當前的y相關，才有意義。52TheCrimeExample

犯罪的例子Variables:變量lcrmrtelog(crimerateper1000persons)（log（以1000人為單位的犯罪率））llawexpclog(lawexpenditure)（log（訴訟費用））lcrmrt_1lcrmrtelagged（滯后的lcrmrte

）unemunemploymentrate（失業(yè)率）53TheCrimeExample:WithoutLaggedDependentVariable

犯罪的例子：不包含滯后的被解釋變量.reg

lcrmrte

llawexpc

unemifyear==87Source|SSdfMSNumberofobs=46-------------+------------------------------F(2,43)=1.30Model|.2719871992.1359936Prob>F=0.2824Residual|4.4899821443.104418189R-squared=0.0571-------------+------------------------------AdjR-squared=0.0133Total|4.7619693445.105821541RootMSE=.32314

----------------------------------------------------------------------------

lcrmrte|Coef.Std.Err.tP>|t|[95%Conf.Interval]-------------+--------------------------------------------------------------

llawexpc|.2033652.17265341.180.245-.1448236.5515539

unem|-.0290032.0323387-0.900.375-.0942205.0362141_cons|3.3428991.2505272.670.011.82097215.864826----------------------------------------------------------------------------54TheCrimeExample:WithLaggedDependentVariable

犯罪的例子：包含滯后的被解釋變量.reg

lcrmrte

llawexpclcrmrt_1unem

Source|SSdfMSNumberofobs=46-------------+------------------------------F(3,42)=29.73Model|3.2373284631.07910949Prob>F=0.0000Residual|1.5246408842.036300973R-squared=0.6798-------------+------------------------------AdjR-squared=0.6570Total|4.7619693445.105821541RootMSE=.19053

----------------------------------------------------------------------------

lcrmrte|Coef.Std.Err.tP>|t|[95%Conf.Interval]-----------+----------------------------------------------------------------

llawexpc|-.1395764.1086412-1.280.206-.3588231.0796704lcrmrt_1|1.193923.13209859.040.000.92733711.460508

unem|.008621.01951660.440.661-.0307652.0480072_cons|.0764511.82114330.090.926-1.5806831.733585----------------------------------------------------------------------------55MeasurementError

測量誤差

P392

Sometimeswehavethevariablewewant,butwethinkitismeasuredwitherror有時，我們有需要的變量，但我們認為它的測量存在誤差。Examples:Asurveyaskshowmanyhoursdidyouworkoverthelastyear,orhowmanyweeksyouusedchildcarewhenyourchildwasyoung例子：一個調查問你在過去的一年中工作了多少小時，或當你的孩子小時，你照看孩子用了多少周。Measurementerrorinydifferentfrommeasurementerrorinxy的測量誤差與x的測量誤差不同。56MeasurementErrorinaDependentVariable

被解釋變量的測量誤差

Lety*bethevariableofourinterest,butyisitsreportedvalue.Definemeasurementerrorase0=y–y*令y*為我們感興趣的變量，但y是它的報告值。定義測量誤差為e0=y–y*

。Themodely=b0+b1x1+…+bkxk+u+e0isestimated.估計的模型y=b0+b1x1+…+bkxk+u+e0

WhenwillOLSproduceunbiasedresults?什么時候OLS產生有偏的結果？57MeasurementErrorinaDependentVariable

被解釋變量的測量誤差Ife0andxj,uareuncorrelated，theresultsisunbiased.如果e0和xj,u不相關，結果無偏。IfE(e0)≠0thenb0willbebiased,though如果E(e0)≠0，那么b0有偏。Whileunbiased,wefacelargervariancesthanwithnomeasurementerror當無偏時，我們要比沒有測量誤差時面臨更大的方差。見P303公式結論：1、當e與資本了相關時，導致有偏性，2、無關時，只增大方差，模型還是合適的58MeasurementErrorinanExplanatoryVariable

解釋變量的測量誤差

Wewishtoestimatey=b0+b1x1*+u.

我們希望估計y=b0+b1x1*+u。Definemeasurementerrorase1=x1–x1*.定義測量誤差為e1=x1–x