運籌學(線性規(guī)劃)

page1德州學院數(shù)學科學學院運籌學教案運籌帷幄之中決勝千里之外線性規(guī)劃LinearProgramming線性規(guī)劃介紹歷史悠久，理論成熟，應用廣泛運籌學的最基本的方法之一，網(wǎng)絡規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標規(guī)劃和多目標規(guī)劃都是以線性規(guī)劃為基礎的。解決稀缺資源最優(yōu)分配的有效方法，使付出的費用最小或獲得的收益最大。page2線性規(guī)劃理論的發(fā)展：1939年前蘇聯(lián)康托洛維奇（KOHTOPOBUZ）《生產組織與計劃中的數(shù)學方法》提出“解乘數(shù)法”。線性規(guī)劃介紹列奧尼德·康托羅維奇，前蘇聯(lián)人，由于在1939年創(chuàng)立了享譽全球的線形規(guī)劃要點，對資源最優(yōu)分配理論做出了貢獻，而獲得諾貝爾經濟學獎。page3美國科學院院士DANTZIG（丹齊克），1948年在研究美國空軍資源的優(yōu)化配置時提出線性規(guī)劃及其通用解法“單純形法”。被稱為線性規(guī)劃之父。線性規(guī)劃介紹

線性規(guī)劃之父的Dantzig(丹齊克)。據(jù)說，一次上課，Dantzig遲到了，仰頭看去，黑板上留了幾個幾個題目，他就抄了一下，回家后埋頭苦做。幾個星期之后，疲憊的去找老師說，這件事情真的對不起，作業(yè)好像太難了，我所以現(xiàn)在才交，言下很是慚愧。幾天之后，他的老師就把他召了過去，興奮的告訴他說他太興奮了。Dantzig很不解,后來才知道原來黑板上的題目根本就不是什么家庭作業(yè)，而是老師說的本領域的未解決的問題，他給出的那個解法也就是單純形法。這個方法是上個世紀前十位的算法。

page4線性規(guī)劃介紹

1960年，“最佳資源利用的經濟計算”康托洛維奇和庫伯曼斯(Koopmans)。兩人因對資源最優(yōu)分配理論的貢獻而獲1975年諾貝爾經濟學獎

佳林·庫普曼斯，美國人，他將數(shù)理統(tǒng)計學成功運用于經濟計量學，對資源最優(yōu)分配理論做出了貢獻。page51961年，查恩斯與庫伯提出了目標規(guī)劃，艾吉利提出了用優(yōu)先因子來處理多目標問題。20世紀70年代，斯．姆．李與杰斯開萊尼應用計算機處理目標規(guī)劃問題。計算機50約束100變量

30000約束3000000變量線性規(guī)劃介紹page6從1964年諾貝爾獎設經濟學獎后，到1992年28年間的32名獲獎者中有13人(40%)從事過與線性規(guī)劃有關的研究工作，其中著名的有Simon，Samullson，Leontief，Arrow，Miller等。線性規(guī)劃介紹保羅-薩繆爾遜（PAULASAMUELSON）,他發(fā)展了數(shù)理和動態(tài)經濟理論，將經濟科學提高到新的水平。他的研究涉及經濟學的全部領域。于1970年獲得諾貝爾經濟學獎。華西里·列昂惕夫（WASSILYLEONTIEF），美國人，他發(fā)展了投入產出方法，該方法在許多重要的經濟問題中得到運用。曾獲1973年諾貝爾經濟科學獎?？夏崴?J-阿羅（KENNETHJ.ARROW）,美國人，因與約翰-?？怂梗↗OHNR.HICKS）共同深入研究了經濟均衡理論和福利理論獲得1972年諾貝爾經濟學獎。牟頓-米勒（MERTONM.MILLER）,1923-2000,美國人,由于他在金融經濟學方面做出了開創(chuàng)性工作，于1990年獲得諾貝爾經濟獎。page7線性規(guī)劃介紹線性規(guī)劃研究的主要問題：有一定的人力、財力、資源條件下，如何合理安排使用，效益最高?某項任務確定后，如何安排人、財、物，使之最省?

page8線性規(guī)劃(LinearProgramming)

LP的數(shù)學模型圖解法單純形法單純形法的進一步討論－人工變量法

LP模型的應用本章主要內容：page9生產和經營管理中經常提出如何合理安排，使人力、物力等各種資源得到充分利用，獲得最大的效益，這就是規(guī)劃問題。線性規(guī)劃通常解決下列兩類問題：（1）當任務或目標確定后，如何統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少的資源（如資金、設備、原標材料、人工、時間等）去完成確定的任務或目標（2）在一定的資源條件限制下，如何組織安排生產獲得最好的經濟效益（如產品量最多、利潤最大.）線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型1.規(guī)劃問題page10

例1美佳公司計劃制造I，II兩種家電產品。已知各制造一件時分別占用的設備A、B的臺時、調試時間及A、B設備和調試工序每天可用于這兩種家電的能力、各售出一件時的獲利情況如表I—l所示。問該公司應制造A、B兩種家電各多少件，使獲取的利潤為最大？項目III每天可用能力設備A（h）設備B（h）調試工序（h）06152115245利潤（元）21線性規(guī)劃數(shù)學模型page11目標函數(shù)約束條件解：用變量x1和x2分別表示美佳公司制造家電I和II的數(shù)量。項目III每天可用能力設備A（h）設備B（h）調試工序（h）06152115245利潤（元）21例1用數(shù)學語言描述線性規(guī)劃數(shù)學模型page12例2捷運公司擬在下一年度的1-4月的4個月內需租用倉庫堆放物資。已知各月份所需倉庫面積數(shù)列見下表。倉庫租借費用隨合同期定，期限越長折扣越大，具體數(shù)字見下表。租借倉庫的合同每月初都可辦理，每份臺同具體現(xiàn)定租用面積數(shù)和期限。因此該廠可根據(jù)需要，在任何一個月初辦理租借臺同。每次辦理時可簽一份，也可簽若干份租用面積和租借期限不同的合同，試確定該公司簽訂租借合同的最優(yōu)決策，目的是使所付租借費用最小。月份1234所需倉庫面積15102012合同租借期限1個月2個月3個月4個月合同期內的租費2800450060007300線性規(guī)劃數(shù)學模型page13解：設變量xij表示捷運公司在第i(i＝1．…，4)個月初簽訂的租借期為j〔j＝1，…，4)個月的倉庫面積的合同(單位為100m2)。約束條件目標函數(shù)例2月份1234所需倉庫面積15102012合同租借期限1個月2個月3個月4個月合同期內的租費2800450060007300線性規(guī)劃數(shù)學模型page14線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型page15xa例3如圖所示，如何截取x使鐵皮所圍成的容積最大？線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型page16例4

某企業(yè)計劃生產甲、乙兩種產品。這些產品分別要在A、B、C、D、四種不同的設備上加工。按工藝資料規(guī)定，單件產品在不同設備上加工所需要的臺時如下表所示，企業(yè)決策者應如何安排生產計劃，使企業(yè)總的利潤最大？設備產品ABCD利潤（元）

甲

2

1

4

0

2

乙

2

2

0

4

3有效臺時12

81612線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型page17解：設x1、x2分別為甲、乙兩種產品的產量，則數(shù)學模型為：maxZ=2x1+3x2

x1≥0,x2≥0s.t.

2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12運輸問題page18問題分析page19模型page20

AB備用資源煤1230

勞動日3260

倉庫0224

利潤4050求：最大利潤的生產計劃。練習1生產計劃問題線性規(guī)劃數(shù)學模型page21maxZ=40x1+50x2解:設產品A,B產量分別為變量x1

，x2x1

+2x2

303x1+2x2

602x2

24x1，x2

0s.t.線性規(guī)劃數(shù)學模型page22求：最低成本的原料混合方案？

原料ABＣ每單位成本

14102261253171642538

每單位添加劑中維生12148

素最低含量練習2混合配料問題線性規(guī)劃數(shù)學模型page23

原料ABＣ每單位成本

14102261253171642538

每單位添加劑中維生12148

素最低含量

原料ABＣ每單位成本

14102261253171642538

每單位添加劑中維生12148

素最低含量解：設每單位添加劑中原料i的用量為xi(i=1,2,3,4)minZ=2x1

+5x2+6x3+8x44x1

+6x2+x3+2x412x1

+x2+7x3+5x4142x2

+x3+3x4

8

xi

0(i=1,…,4)線性規(guī)劃數(shù)學模型page24s.t.2.線性規(guī)劃的數(shù)學模型由三個要素構成決策變量Decisionvariables目標函數(shù)Objectivefunction約束條件Constraints其特征是：（1）問題的目標函數(shù)是多個決策變量的線性函數(shù)，通常是求最大值或最小值；（2）問題的約束條件是一組多個決策變量的線性不等式或等式。

怎樣辨別一個模型是線性規(guī)劃模型？

線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型page25線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型page26目標函數(shù)：約束條件：3.線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式簡寫為：注釋page27概念page28線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型page29向量形式：其中：線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型page30矩陣形式：其中：比例性：決策變量變化引起目標的改變量與決策變量改變量成正比；可加性：每個決策變量對目標和約束的影響獨立于其它變量；連續(xù)性：每個決策變量取連續(xù)值；確定性：線性規(guī)劃中的參數(shù)aij,bi,ci為確定值。隱含的假設線性規(guī)劃數(shù)學模型page31線性規(guī)劃的適用情況要解決的問題的目標可以用數(shù)值指標反映對于要實現(xiàn)的目標有多種方案可選擇有影響決策的若干約束條件線性規(guī)劃數(shù)學模型page32線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型page333.線性規(guī)劃問題的標準形式特點：(1)目標函數(shù)求最大值（有時求最小值）(2)約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項bi都大于或等于零(3)決策變量xj為非負。規(guī)范形式page34線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型模型轉換約束轉換目標轉換變量轉換實例page35約束轉換不等式變等式等式變不等式不等式變不等式page36不等式變等式松弛變量剩余變量page37不等式變不等式page38例5：將minZ=-x1+2x2-3x3x1+x2+x37x1-x2+x32x1，x20，x3無限制化為標準型線性規(guī)劃標準形式page39解：①令x3=x4-

x5②加松弛變量x6③加剩余變量x7

④令Z'=-ZmaxZ'=x1-2x2+3x4-3x5x1+x2+x4-x5+x6=7x1-x2+x4-x5-x7=2x1,

x2,

x4,…,x70minZ=-x1+2x2-3x3x1+x2+x37x1-x2+x32x1，x20，x3無限制線性規(guī)劃標準形式page40

例6

把問題轉化為標準形式page41(1)minZ=2x1-x2+2x3練習3將下列線性規(guī)劃問題化成標準型：-x1

+x2+x3

=

4-x1

+x2-x3

6x1

0

，x2

0,x3

無約束

s.t.(2)maxZ=2x1+x2+3x3+x4x1

+x2+x3+x3

72x1

-3x2+x3

=-8x1

-2x3+2x4

1x1,

x3

0,x2

0

，x4

無約束

s.t.線性規(guī)劃標準形式(3)minZ=2x1+3x2+5x3x1

+x2-x3

-5

-6x1

+7x2-9x3

=15|19x1

-7x2+5x3|13x1,

x2

0,x3

無約束

s.t.(4)maxZ=x1-3x2-x1

+2x2-5

x1

+3x2=10x1,

x2

無約束

s.t.線性規(guī)劃標準形式page43定義1：滿足約束(2)、(3)的x=(x1…xn)T稱為LP問題的可行解，全部可行解的集合稱為可行域。定義2：滿足(1)的可行解稱為LP問題的最優(yōu)解線性規(guī)劃的標準型4．線性規(guī)劃的圖解法page44maxZ=Cx(1)Ax=b(2)x

0(3)圖解法求解的目的：一是判別線性規(guī)劃問題的求解結局；二是在存在最優(yōu)解的條件下，把問題的最優(yōu)解找出來。

4．線性規(guī)劃的圖解法page45圖解法的步驟：1、在平面上建立直角坐標系；2、圖示約束條件，找出可行域；3、圖示目標函數(shù)和尋找最優(yōu)解。4．線性規(guī)劃的圖解法page46例7maxZ=40x1+50x2

x1+2x2303x1+2x2602x224

x1,x204．線性規(guī)劃的圖解法page47解：(1)、確定可行域

x10x1=0(縱)x20x2=0(橫)x1+2x230x1+2x2=30(0,15)(30,0)x23x1+2x2=60(0,30)(20,0)

2x2=244．線性規(guī)劃的圖解法0102030DABC203010x1page48(2)、求最優(yōu)解最優(yōu)解：x*=(15,7.5)

Zmax

=975Z=40x1+50x20=40x1+50x2(0,0)，(10,-8)C點：x1+2x2=30

3x1+2x2=604．線性規(guī)劃的圖解法page490102030DABC203010x1x2Z=40x1+80x2=0

x1+2x2=30DABCx20x1解:最優(yōu)解：BC線段B點C點x(1)=(6,12)x(2)=(15,7.5)x=x(1)+(1-)x(2)(01)例8、maxZ=40x1+80x2

x1+2x2303x1+2x2602x224

x1,x204．線性規(guī)劃的圖解法page504．線性規(guī)劃的圖解法X1=6+(1-)·15X2=12+(1-)·7.5X1=15-9X2=7.5+4.5(01)X==+(1-)maxZ=1200

X1615

X2127.5page51無界解無有限最優(yōu)解例9、maxZ=2x1+4x2

2x1+x28-2x1+x22x1,x20Z=02x1+x2=8-2x1+x2=28246x240x14．線性規(guī)劃的圖解法page52例10、maxZ=3x1+2x2-x1-x21x1,x20無解無可行解-1x1-1x204．線性規(guī)劃的圖解法page53唯一解無窮多解無有限最優(yōu)解無可行解有解無解當目標函數(shù)的直線族與某約束條件平行，且該問題有解時。約束條件無公共區(qū)域。有解但可行域可伸展到無窮時總結4．線性規(guī)劃的圖解法page54由圖解法得到的啟示(1)、線性規(guī)劃問題的解的情況有四種：唯一最優(yōu)解；無窮多最優(yōu)解；無界解；無可行解。(2)、若線性規(guī)劃可行域存在，則可行域是一個凸集。(3)、若有最優(yōu)解，定可在可行域的頂點得到。(4)、解題思路是找出凸集的各頂點的最大目標函數(shù)值。4．線性規(guī)劃的圖解法page55練習：用圖解法解以下問題：

maxZ=5x1+6x2x1

-2x2

2

-2x1

+3x22x1,

x2

無約束

s.t.4．線性規(guī)劃的圖解法page56maxZ=CxAx

=bx0Am×n

滿秩

x

=(x1…xn)T

一、線性規(guī)劃問題的解的概念5．線性規(guī)劃基本概念page57定義1：基(基陣)——設A為約束方程組的m×n階系數(shù)矩陣設(n>m)，其秩為m，B是矩陣A中的一個m×m階的滿秩子矩陣，稱B是線性規(guī)劃問題的一個基。

P1P2…Pm……Pna11a12…

a1m……a1nA=a21a22…

a2m……

a2n

……am1am2…

amm

……amnB5．線性規(guī)劃基本概念page58A=(P1…

PmPm+1…

Pn

)=(BN)

基向量非基向量…x=(x1…

xm

xm+1…

xn

)T=(xB

xN)T

基變量非基變量

xB

xN…B中的每一個列向量Pj稱為基向量，與基向量對應的變量稱為基變量，其他變量稱為非基變量。5．線性規(guī)劃基本概念page59Ax=b的求解xB

xN(BN)=bBxB

+NxN=bBxB

=b-NxNxB

=B-1b-B-1NxNA=(BN)x=(xB

xN

)T若B為單位矩陣xB

=b-NxN若xN＝0xB

=B-1b5．線性規(guī)劃基本概念page60定義2：可行解——滿足方程約束條件的解x＝（x1，x2，…xn)T,稱為線性規(guī)劃問題的可行解。全部可行解的集合稱為可行域。定義3：最優(yōu)解——使目標函數(shù)達到最大值的可行解，稱為最優(yōu)解。5．線性規(guī)劃基本概念page61定義4：基本解——對應于基B，x=為Ax=b的一個解，則x為線性規(guī)劃問題的基本解，也稱基解。B-1b0定義5：基本可行解——基B，基本解x=若B-1b0，稱基解為基本可行解，也稱基可行解。

B-1b0※基本解中最多有m個非零分量?！窘獾臄?shù)目不超過Cnm=個。n!m!(n-m)!定義6：可行基——對應于基可行解的基稱為可行基。5．線性規(guī)劃基本概念page62例11x1+2x2+x3=303x1+2x2+x4=602x2+x5=24x1…x50121003201002001P1P2P3P4P5A=5．線性規(guī)劃基本概念page63x1x2x3x4x5x=b=306024B=(P3P4P5)=I

是滿秩子矩陣

非基N=(P1P2)x3=30-(x1+2x2)x4=60-(3x1+2x2)x5=24-2x25．線性規(guī)劃基本概念page64令x1=

x2=0,x3=30,x4=60,x5=2400306024x===xN

0xB

B-1b5．線性規(guī)劃基本概念page65例12：給定約束條件

-x3+x4=0x2+x3+x4=3-x1+x2+x3+x4=2

xj

0(j=1,2,3,4)求出基變量是x1,x3,x4的基本解，是不是可行解？5．線性規(guī)劃基本概念page66

0-11解：B=(P1P3P4)=011-111

01-10B-1=-1/21/2031/21/202b=5．線性規(guī)劃基本概念page67

x1

x3=B-1b

x4

xB

=

01-101

=-1/21/203=3/2

1/21/2023/2∴x=(1,0,3/2,3/2)T是5．線性規(guī)劃基本概念page68線性規(guī)劃解之間的關系線性規(guī)劃解之間的關系：可行解基本解非可行解基本可行解最優(yōu)解page69退化基本可行解與退化基1、退化基本可行解：基本可行解中存在取零值的基變量，則稱該基本可行解為退化的基本可行解。2、退化基：退化的基本可行解對應的基，稱為退化基。page70凸集——D是n維空間的一個集合，x(1),

x(2)∈D,若對任何x(1),

x(2)，有x=x(1)+(1-)x(2)∈D(01)，則D為凸集。定義1：凸集——如果集合D中任意兩個點，其連線上的所有點也都是集合D中的點，則稱D為凸集。二、凸集及其頂點5．線性規(guī)劃基本概念page71x(1)x(2)凸多邊形凹多邊形x(1)x(2)5．線性規(guī)劃基本概念page72

x(1),x(2),…,x(k)

是n維歐氏空間中的k個點，若有一組數(shù)

μ1,μ2,…,μk

滿足

0μi1(i=1,…,k)定義2μ

i=1ki=1有點x=μ1x(1)

+…+μkx(k)則稱點x為x(1),x(2),…,x(k)

的凸組合。凸組合5．線性規(guī)劃基本概念page73

凸集D,點xD，若找不到兩個不同的點x(1),x(2)D使得

x=x(1)

+(1-)x(2)

(0<<1)

則稱x為D的頂點。定義3頂點5．線性規(guī)劃基本概念page74證明：設LP問題的可行解域為集合CC={x|Ax=bx0}任取x(1),x(2)C,則

x=x(1)

+(1-)x(2)

0

(0

1)又因為Ax(1)

=b，Ax(2)

=b所以Ax=A[x(1)

+(1-)x(2)

]=b

+(1-)b=b

則

xC，C為凸集定理1：LP問題的可行解域一定是凸集。三、幾個基本定理的證明5．線性規(guī)劃基本概念page75只須證明：

D的k個頂點x(1),…,x(k)

，有

預理1D為有界凸多面集，xD，x必可表為D的頂點的凸組合。0μi1，使x=μ1x(1)

+…+μkx(k)μ

i=1ki=15．線性規(guī)劃基本概念page76證明可用歸納法（略）x(1)x(2)x(3)x’xx’在邊界上x在內部x(1)(1-)x(2)(1-)x(3)x=++x＝x’

+(1-)x(2)

(0

1)x’＝x(1)

+(1-)x(3)

(0

1)5．線性規(guī)劃基本概念page77證明：設x(1),…,x(k)

為可行域頂點，若x*不是頂點，但

maxZ=Cx*

定理2：可行域有界，最優(yōu)值必可在頂點得到Cx*=μ

iC

x(i)ki=1μ

iCx(m)ki=1=Cx(m)[設Cx(m)＝Max(C

x(i))]1ikμ

ix(i)ki=1μ

i=1ki=10μi1x*=5．線性規(guī)劃基本概念page78引理2：LP問題的可行解x是基本可行解x的非0分量對應的系數(shù)列向量線性無關證明：（1）必要性。由基可行解的定義顯然。（2）充分性。若向量P1，P2,…

Pk線性獨立，則必有k

m。

當k=m時，它們恰好構成一個基，從而x=(x1,x2,…,xm,0,…,0)為相應的基可行解。當k<m時，則一定可從其余列向量中找出(m-k)個與P1,P2,…,Pk構成一個基，其對應的解恰為x，所以據(jù)定義它是基可行解。5．線性規(guī)劃基本概念page79證明(反證法）：()假設x不是基本可行解x＝(x1,…,xn

)Txj

>0j=1,…,kxj

=0j=k+1,…,n由引理2知，p1,…,pk

線性相關必有不全為0的1,…,

k使1p1+…+

k

pk

=0做＝(1,…,

k,0…,0)T則有A

＝1p1+…+

k

pk

=0可行域C中點x是頂點x是基本可行解定理3：5．線性規(guī)劃基本概念page80選任一不為零的數(shù)令

x(1)

=x+

0

x(2)

=x－

0又Ax(1)

=Ax+A＝b

Ax(2)

=Ax－A=b

所以x(1)Cx(2)C因為x＝1/2x(1)+1/2x(2)所以x不是可行域的頂點5．線性規(guī)劃基本概念page81證明：()不是頂點，不是基可行解設x為可行解xj

>0j=1,…,kxj

=0j=k+1,…,n若x不是頂點，則有x(1)＝x(2)C，使得：

x=x(1)

+(1-)x(2)

(0<

<

1)

xj

=xj

(1)

+(1-)xj

(2)

(j=1,…,k)0=xj

(1)

+(1-)xj

(2)

(j=k+1,…,n)5．線性規(guī)劃基本概念page82因為>0，1->0，xj

(1)

0，xj

(2)

0所以xj

(1)＝

xj

(2)＝

0(j=k+1,…,n)因為Ax(1)

=bAx(2)

=bp

jxj(1)=bnj=1p

jxj(2)=bnj=1即p1x1(1)+…+pk

xk(1)=b(a)p1x1(2)+…+pk

xk(2)=b(b)5．線性規(guī)劃基本概念page83由(a)－(b)得(x1(1)－x1(2))p1+…+(xk(1)－xk(2))pk=0即x不是基可行解所以p1,…,pk

線性相關定理4若線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解，一定存在一個基可行解是最優(yōu)解。5．線性規(guī)劃基本概念page84

(LP)問題的基本可行解可行域的頂點。若(LP)問題有最優(yōu)解，必可以在基本可行解(頂點)達到。若(LP)問題有可行解，則可行解集(可行域)是凸集(可能有界，也可能無界)，有有限個頂點。5．線性規(guī)劃基本概念LP問題解的性質page856．單純形法

6.1、單純形法迭代原理

6.2、單純形法計算步驟

6.3、人工變量法

6.4、兩階段法

6.5、計算中的幾個問題page866.1單純形法迭代原理一、確定初始基可行解二、從一個基可行解轉換為相鄰基可行解三、最優(yōu)性檢驗和解的判別page87A中總存在一個單位矩陣（P1,P2,…,Pm)。一、確定初始基可行解當約束條件為時，加上松馳變量的系數(shù)矩陣即為單位矩陣。當約束條件為或＝時，可以構造人工基，人為產生一個單位矩陣。基向量、基變量、非基向量、非基變量可得初始基可行解:x=(x1,…,xm,xm+1,…xn)T=(b1,…,bm,0,…,0)T6.1單純形法迭代原理page88兩個基可行解相鄰指的是它們之間變換且僅變換一個基變量。設x(0)=(x10,x20,…xm0,0,…0)T，有Pixi0=bmi=1系數(shù)矩陣的增廣矩陣二、基可行解的轉換6.1單純形法迭代原理page89Pj=aijPimi=1Pj－

aijPi＝0

mi=1兩邊乘上一個正數(shù)θ>0，得θ

(Pj－aij

Pi）=0

mi=1同相加整理得：Pixi0=bmi=1所以得到另一個點x(1),使Pixi(1)=bni=1可行解?基解?6.1單純形法迭代原理page90所以x(1)是可行解令存在：6.1單純形法迭代原理page91重新排列后不含非基向量的增廣矩陣：因alj＞0，故上述矩陣元素組成的行列式不為零，P1,P2,…Pl-1,Pj,Pl+1,…,Pm

是一個基。所以，x(1)

，是基可行解。00…010…06.1單純形法迭代原理page92進行初等變換：b=(b1-θa1j,…,bl-1-θal-1,j,θ,bl+1-

θal+1,j,…bm-amj)T由此x(1)是x(0)相鄰的基可行解，且由基向量組成的矩陣仍為單位矩陣。x(1)=(b1-θa1j,…,bl-1-θal-1,j,θ,bl+1-

θal+1,j,…bm-amj)T

？6.1單純形法迭代原理page93將基本可行解x（0）和x（1）分別代入目標函數(shù)得：三、最優(yōu)性檢驗和解的判別6.1單純形法迭代原理page94是對線性規(guī)劃問題的解進行最優(yōu)性檢驗的標志。當所有的σi<=0時，現(xiàn)有頂點為最優(yōu)解。當所有的σi<=0時，又對某個非基變量xj,有Cj-Zj=0，且可找到θ

＞0，則有無窮多最優(yōu)解。當存在某個σj>0，又Pj<=0,則有無界解。通常簡寫為6.1單純形法迭代原理page951)找出初始基可行解，建立單純形表。6.2單純形法計算步驟Cjc1…cm…cj…cnCBxBbx1…xm…xj…xnc1x1b110…a1j…a1nc2x2b200…a2j…a2n…………….……………cmxmbm01…amj…amn

σj=cj-zj0…0……page966.2單純形法計算步驟

5）以a’l,k為主元素進行旋轉運算，轉2）。3）若，使得但則此問題無界解，停止.否則，轉下一步.page97例13用單純形法求解線性規(guī)劃問題maxZ=2x1+x25x2

156x1

+2x2

24x1

+x2

5x1,

x2

0s.t.6.2單純形法計算步驟page98解：1、先將上述問題化成標準形式有maxZ=2x1+x2+0·x3+0·x4+0·x56.2單純形法計算步驟找到一個初始基可行解x=(0,0,15,24,5)

5x2+x3=15s.t.6x1+2x2+x4=24x1+x2

+x5=5

x1,

…,x50page992、列初始單純形表：因為σ1＞σ2，確定x1為換入變量。因為θ＝min{-，24/6，5/}＝4所以6為主元素，x4為換出變量。Cj21000θCBxBbx1x2x3x4x50x315051000x424620100x5511001

σj=cj-zj6.2單純形法計算步驟page1003、列新單純形表：因為σ2＞0

，確定x2為換入變量。因為θ＝min{15/5，4/2/6，1/4/6}＝3/2。所以4/6為主元素，x5為換出元素。Cj21000θCBxBbx1x2x3x4x50x315051002x1412/601/600x5104/60-1/61

σj=cj-zj6.2單純形法計算步驟page1014、列新單純形表：因為Cj-Zj＜0，所以達到最優(yōu)解。最優(yōu)解為：x=(7/2,3/2,15/2,0,0)。目標函數(shù)值為Z＝2×7/2+1×3/2+0×15/2+0+0=8.5Cj21000θCBxBbx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2000-1/42/3

σj=cj-zj6.2單純形法計算步驟page102練習題解：原問題化為標準型6.2單純形法計算步驟page103Cj3501000θCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x5351110100350x612510-1010120x7500-11001－

σj=cj-zj3501000列初始單純形表156.2單純形法計算步驟page104Cj3501000θCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x523-40111-10235x212510-1010－0x7500-110015

σj=cj-zj-220060-5016列新單純形表6.2單純形法計算步驟page105Cj3501000θCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x518-40201-1-195x21751-10011－1x4500-11001－

σj=cj-zj-220600-5－626列新單純形表6.2單純形法計算步驟page106Cj3501000θCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x39-20100.5-0.5-0.55x22631001x414-20010.5-0.50.5

σj=cj-zj-10000-3-2-36.2單純形法計算步驟page1076.3人工變量法當化為標準形后的約束條件的系數(shù)矩陣中不存在單位矩陣時，可以人為地增加變量，在最優(yōu)解中人工變量取值必須為零。為此，令目標函數(shù)中人工變量的系數(shù)為任意大的負值－M。亦稱大M法。page108例1：maxZ=6x1+4x22x1+3x2

1004x1+2x2

120x1=14x2

22x1x2

06.3人工變量法page109maxZ=6x1+4x22x1+3x2+x3=1004x1+2x2+x4=120x1=14x2-x5=

22x1…x5

0解：化成標準型6.3人工變量法page110maxZ=6x1+4x2-Mx6-Mx72x1+3x2+x3=1004x1+2x2+x4=120x1+x6=14x2-x5+x7=

22x1…x7

0加人工變量6.3人工變量法page111Cj64000-M-MθCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x310023100000x41204201000-Mx6141000010-Mx7220100-101

σj=cj-zj列初始單純形表6.3人工變量法page112Cj64000-M-MθCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x31002310000500x4120420100030-Mx614100001014-Mx7220100-101

σj=cj-zjM＋6M+400-M000x37203100-200x46402010-406x1141000010-Mx7220100-101

σj=cj-zj0M+400-M6-M06.3人工變量法page113Cj64000-M-MθCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x3600103-2-30x42000012-4-26x11410000104x2220100-101

σj=cj-zj000046-M4-M0x52001/301-2/3-10x41600-2/310-8/306x11410000104x224011/300-2/3-2

σj=cj-zj00-4/300-M-10/3-M6.3人工變量法page114Cj64000-M-MθCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x3600103-2-30x42000012-4-26x11410000104x2220100-101

σj=cj-zj000046-M4-M0x52001/301-2/3-10x41600-2/310-8/306x11410000104x224011/300-2/3-2

σj=cj-zj00-4/300-M-10/3-M6.4兩階段法為了克服大M法的困難，對添加人工變量后的線性規(guī)劃問題分兩個階段來計算，稱為兩階段法。解題思路：第一階段是先求解一個目標函數(shù)中只包含人工變量的線性規(guī)劃問題，即令目標函數(shù)中其它變量的系數(shù)取零，人工變量的系數(shù)取某個正的常數(shù)(一般取1)，在保持原問題約束條件不變的情況下求這個目標函數(shù)極小化時的解。顯然在第一階段中，當人工變量取值為0時，目標函數(shù)值也為0。這時候的最優(yōu)解就是原線性規(guī)劃問題的一個基可行解。page115作輔助問題minW=yi

i=1mxj

，

yi0j=1naij

xj

+yi

=bi(i=1,2,…,m)原問題maxZ=Cj

xj

j=1nxj

0j=1naij

xj

=bi(i=1,2,…,m)6.4兩階段法page116解題過程：第1階段：解輔助問題。當進行到最優(yōu)表時，①、若W=0,則得到原問題的一個基本可行解，轉入第2階段。②、若W>0,則判定原問題無可行解。第2階段：去除人工變量，求解原問題。第一階段的最優(yōu)解為原問題的初始基可行解。6.4兩階段法page117例2：maxZ=-x1+2x2x1+x2

2-x1+x21x2

3x1x2

0解：第(1)階段：minW=x6+x7x1+x2-x3+x6=2-x1+x2-x4+x7=1x2+x5=3x1…x7

06.4兩階段法page118列初始單純形表Cj00000-1-1θCBxBbx1x2x3x4x5x6x7-1x6211-10010-1x71-110-10010x530100100

σj=cj-zj第二階段：去除人工變量，列新單純形表求解。6.4兩階段法page119

0000011

x1x2x3x4x5x6x7CBxB

3

0

-2110

001x6211-100101x71-1

(1)0-10010x530100100CB

xB

1

-201-1002x61(2)0-1101-1x21-1

10-1001x52100110-1

xB

0

0000011x11/210-1/21/201/2-1/2x23/20

1-1/2-1/201/21/2x53/200-1/21/21-1/2-1/2

6.4兩階段法page120

-12000x1x2x3x4x5CBxB

3/2001/23/20-1x11/210-1/2(1/2)02x23/201-1/2-1/200x53/2001/21/21

xB4-30200x4120-110x2211-100x51-10(1)01

xB

6

1000-2x4210011x2301001x31-10